Phơng pháp 1: Đặt nhân tử chung
a) Phơng pháp đặt nhân tử chung đợc dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung. Cụ thể: AB + AC + AD = A(B + C + D)
b) Các bớc tiến hành: B
ớc 1: Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc. B
ớc 2: Viết các hạng tử trong ngoặc bằng cách chia từng hạng tử của đa thức cho nhân tử chung.
Phơng pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
a) Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng thức đợc dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức.
b) Các hằng đẳng thức quan trọng 1) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a 2 a.b b ( a+ + = + b)2 (a,b 0)≥ 2) a2 - 2ab + b2 = (a - b)2 a 2 a.b b ( a− + = − b)2 (a,b 0)≥ 3) a2 – b2 = (a + b).(a – b) 4) a b ( a− = + b).( a− b) (a,b 0)≥ 5) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 +3a b 3b a+ + b3 =( a+ b)3 (a,b 0)≥ 6) a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3 a3 −3a b 3b a+ − b3 =( a− b)3 (a,b 0)≥ 7) a3 +b3 =(a b)(a+ 2 −ab b )+ 2 a a b b+ = a3 + b3 =( a+ b)(a− ab b) (a,b 0)+ ≥
an + bn =(a + b)(an-1 - an-2b + ... - abn-2 + bn-1) với n lẻ 26
8) a3 −b3 =(a b)(a− 2 +ab b )+ 2
a a b b− = a3 − b3 =( a− b)(a+ ab b) (a,b 0)+ ≥ an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1). an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + ... + abn-2 + bn-1).
9) a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)2
a b c 2 ab 2 ac 2 bc ( a+ + + + + = + b + c)2 (a,b 0)≥
a2 +b2 +c2 +d2 +2ab 2ac 2ad 2bc 2bd 2cd (a b c d)+ + + + + = + + + 2
10) Lũy thừa bậc n của một nhị thức (nhị thức Niu tơn) – Đối tợng HSG 0 1 2 2 2 3 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4 5 5 4 3 2 2 3 4 5 (a b) 1 (a b) 1a 1b (a b) 1a 2ab 1b (a b) 1a 3a b 3ab 1b (a b) 1a 4a b 6a b 4ab 1b
(a b) 1a 5a b 10a b 10a b 5ab 1b
+ = + = + + = + + + = + + + + = + + + + + = + + + + + ≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠
Viết tam giác Pa – xcan để khai triển n
(a b)+ nh sau: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠.. Cách viết:
+ Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1
+ Mỗi số trên một dòng kể từ dòng thứ hai đều bằng số liền trên cộngvới số bên trái của số liền trên.
Phơng pháp 3: Nhóm các hạng tử
Phơng pháp này thờng đợc dùng cho những đa thức cần phân tích thành nhân tử cha có nhân tử chung hoặc cha áp dụng ngay đợc hằng đẳng thức mà sau khi nhóm các hạng tử đó hoặc biến đổi sơ bộ rồi nhóm lại thì xuất hiện hằng đẳng thức hoặc có nhân tử chung, cụ thể:
B
ớc 1: Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm. B
ớc 2: Nhóm để áp dụng phơng pháp hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung.
B
ớc 3: Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức.
Phơng pháp 4: Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử; hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử
*) Lí thuyết chung: Phơng pháp này nhằm biến đổi đa thức để tạo ra những hạng tử thích hợp để nhóm hoặc sử dụng hằng đẳng thức:
*) Các tr ờng hợp:
a, Trờng hợp đa thức dạng ax2 + bx + c ( a, b, c ∈ Z; a, b, c ≠ 0) Tính : ∆ = b2 - 4ac:
- Nếu ∆ = b2 - 4ac < 0: Đa thức không phân tích đợc.
- Nếu ∆ = b2 - 4ac = 0: Đa thức chuyển về dạng bình phơng của một nhị thức bậc nhất
- Nếu ∆ = b2 - 4ac > 0
+) ∆ = b2 - 4ac = k2 ( k ∈ Q) đa thức phân tích đợc trong trờng Q. +) ∆ = b2 - 4ac ≠ k2 đa thức phân tích đợc trong trờng số thực R. b, Trờng hợp đa thức từ bậc 3 trở lên:
- Nhẩm nghiệm của đa thức:
+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bằng 0 ⇒ đa thức có nghiệm bằng 1.
+) Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ ⇒ đa thức có nghiệm bằng - 1.
- Lu ý định lý: " Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ớc của hạng tử tự do. Nếu đa thức có nghiệm hữu tỉ dạng p
q thì p là ớc của hạng tử tự do, q là ớc dơng của hệ số của hạng tử có bậc cao nhất".
- Khi biết một nghiệm của đa thức ta có thể dùng phép chia đa thức, hoặc dùng sơ đồ Hooc ne để hạ bậc của đa thức.–
Phơng pháp 5: Dùng phép chia đa thức (nhẩm nghiệm)
- Đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) khi và chỉ khi: f(x)= g(x).q(x) (q(x) là thơng của phép chia)
*) Đặc biệt : f(x) chia hết cho x - a <=> f(a) = 0
Phơng pháp 6: Phơng pháp đặt ẩn phụ (đổi biến)
- Dựa vào đặc điểm của đa thức đã cho ta đa vào 1 hoặc nhiều biến mới để đa thức trở thành đơn giản .Phơng pháp này thờng đợc sử dụng để đa một đa thức bậc cao về đa thức bậc 2 mà ta có thể phân tích đợc dựa vào tìm nghiệm của đa thức bậc 2 .
- Cần phát hiện sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức để chọn và đặt ẩn phụ cho thích hợp
Phơng pháp 7: Phơng pháp hệ số bất định (đồng nhất hệ số)
Trên cơ sở bậc của đa thức phải phân tích, ta xác định các dạng kết quả, phá ngoặc rồi đồng nhất hệ số và giải.
Phơng pháp 8: Phơng pháp vận dụng định lí về nghiệm của tam thức bậc hai
- áp dụng định lý: Nếu đa thức P = ax2 + bx + c có nghiệm x1, x2 thì : P = a(x - x1)(x - x2)
