Quy trình tích phân Itô

Một phần của tài liệu ỨNG DỤNG MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN BLACK SCHOLES TRÊN SÀN GIAO DỊCH HÀNG HÓA QUỐC TẾ LUÂN ĐÔN ĐỐI VỚI SẢN PHẨM CÀ PHÊ ROBUSTA.PDF (Trang 28)

K T L UN CH NG 2

3.2.1. Quy trình tích phân Itô

Quy trình tích phân Itô đóng m t vai trò quan tr ng trong vi c đ nh giá ch ng khoán phái sinh. Gi đ nh th nh t c a mô hình Black Scholes, ph ng trình

(2.6), v ý ngh a toán h c và tài chính c a ph ng trình này đ c nêu trong Malliaris và Brock (1982), ph i tuân theo quy trình tích phân Itô.

V m t toán h c, hàm liên t c b t k có th g n gi ng v i hàm đa th c v m c đ chính xác. Tuy nhiên, h u h t giá tài s n đ u r t ng u nhiên và đ c th hi n d i d ng m t đa th c b c cao. Vì v y, nh ng ph ng pháp g n đúng thì không có tác d ng trong vi cmô t l i nhu n c a tài s n.

M t ph ng pháp ti p c n thay th ph ng pháp g n đúng c a đa th c là l p nh ng chênh l ch giá tài s n c s c ng tuân nh m t b c ng u nhiên, t c là:

SRt R- SRt-1 R= dSRt R (3.13) Gi đ nh r ng l i nhu n tài s n có thay đ i µ ≠ 0 và đ b t n >0 đi u này cho phép chúng ta đ a ra ph ng trình (2.6).

V y t su t sinh l i c a tài s n b t k trong kho ng th i gian kinh doanh dt

là:

RRt R= (3.14)

( ) = µ.dt + .dZ (3.15) E( ) = E(µ).dt + E( .dZ ) (3.16)

Trong đó:

= (3.17)

E(µ)=µ (µ là m t h ng s ) (3.18)

E( .dZRtR) = .E(dZRtR) = 0 do E(dZRtR) = 0 và Var(dZRtR)=1; (3.19)

V y đ ki m đ nh quá trình giá tài s n c s có đ ng thái tuân theo mô hình Brown hình h c (GBM) theo gi đ nh (2.6) t ng đ ng v i vi c ki m đ nh giá tài s n c s có tuân theo quy trình Itô, t c là bi n dZRtR là m t bi n ng u nhiên mô t b c ng u nhiên liên t c theo phân ph i chu n v i m c trung bình b ng 0 (µ=0) và

ph ng sai b ng 1( =1).

Khi Black và Scholes (1973) và Merton (1973) gi đ nh r ng tài s n c s theo quá

trình tích phân Itô trong (2.6), đây là m t b c c c k thành công cho phép các nhà nghiên c u s d nglý thuy t toán h c hi n hành có l p lu n trên c s tài chính đ gi i quy t đ nh giá tài s n phái sinh. Khi đó giá c a tài s n c s theo quy trình ng u nhiên s đ c xác đ nh b icông th c sau:

SRtR = SR0R . µ . . (3.20)

trong đó µ thay đ i và là đ b t n c a giá tài s n, ZRtR v i t €(0,∞) là quá trình Wiener có phân ph i chu n v i m c trung bình b ng 0 và ph ng sai b ng 1.

L y lô-ga-rit (3.20), ta có:

ln(S ) = ln(S ) + µ . + . Z (3.21)

Ph ng trình (3.21) nói lên r ng giá tài s n c s mô t b ng (3.20) đ c phân ph i

lo-ga-rit chu n v i k v ng và ph ng sai đ c đ a ra b ng:

E(lnSRtR)= ln(SR0R) + µ . (3.22) Var(ln SRtR) = P 2 P . t (3.23) SRtR = SR0R . (µ. ) (3.24)

Một phần của tài liệu ỨNG DỤNG MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN BLACK SCHOLES TRÊN SÀN GIAO DỊCH HÀNG HÓA QUỐC TẾ LUÂN ĐÔN ĐỐI VỚI SẢN PHẨM CÀ PHÊ ROBUSTA.PDF (Trang 28)