K T L UN CH NG 2
3.2.1. Quy trình tích phân Itô
Quy trình tích phân Itô đóng m t vai trò quan tr ng trong vi c đ nh giá ch ng khoán phái sinh. Gi đ nh th nh t c a mô hình Black Scholes, ph ng trình
(2.6), v ý ngh a toán h c và tài chính c a ph ng trình này đ c nêu trong Malliaris và Brock (1982), ph i tuân theo quy trình tích phân Itô.
V m t toán h c, hàm liên t c b t k có th g n gi ng v i hàm đa th c v m c đ chính xác. Tuy nhiên, h u h t giá tài s n đ u r t ng u nhiên và đ c th hi n d i d ng m t đa th c b c cao. Vì v y, nh ng ph ng pháp g n đúng thì không có tác d ng trong vi cmô t l i nhu n c a tài s n.
M t ph ng pháp ti p c n thay th ph ng pháp g n đúng c a đa th c là l p nh ng chênh l ch giá tài s n c s c ng tuân nh m t b c ng u nhiên, t c là:
SRt R- SRt-1 R= dSRt R (3.13) Gi đ nh r ng l i nhu n tài s n có thay đ i µ ≠ 0 và đ b t n >0 đi u này cho phép chúng ta đ a ra ph ng trình (2.6).
V y t su t sinh l i c a tài s n b t k trong kho ng th i gian kinh doanh dt
là:
RRt R= (3.14)
( ) = µ.dt + .dZ (3.15) E( ) = E(µ).dt + E( .dZ ) (3.16)
Trong đó:
= (3.17)
E(µ)=µ (µ là m t h ng s ) (3.18)
E( .dZRtR) = .E(dZRtR) = 0 do E(dZRtR) = 0 và Var(dZRtR)=1; (3.19)
V y đ ki m đ nh quá trình giá tài s n c s có đ ng thái tuân theo mô hình Brown hình h c (GBM) theo gi đ nh (2.6) t ng đ ng v i vi c ki m đ nh giá tài s n c s có tuân theo quy trình Itô, t c là bi n dZRtR là m t bi n ng u nhiên mô t b c ng u nhiên liên t c theo phân ph i chu n v i m c trung bình b ng 0 (µ=0) và
ph ng sai b ng 1( =1).
Khi Black và Scholes (1973) và Merton (1973) gi đ nh r ng tài s n c s theo quá
trình tích phân Itô trong (2.6), đây là m t b c c c k thành công cho phép các nhà nghiên c u s d nglý thuy t toán h c hi n hành có l p lu n trên c s tài chính đ gi i quy t đ nh giá tài s n phái sinh. Khi đó giá c a tài s n c s theo quy trình ng u nhiên s đ c xác đ nh b icông th c sau:
SRtR = SR0R . µ . . (3.20)
trong đó µ thay đ i và là đ b t n c a giá tài s n, ZRtR v i t €(0,∞) là quá trình Wiener có phân ph i chu n v i m c trung bình b ng 0 và ph ng sai b ng 1.
L y lô-ga-rit (3.20), ta có:
ln(S ) = ln(S ) + µ . + . Z (3.21)
Ph ng trình (3.21) nói lên r ng giá tài s n c s mô t b ng (3.20) đ c phân ph i
lo-ga-rit chu n v i k v ng và ph ng sai đ c đ a ra b ng:
E(lnSRtR)= ln(SR0R) + µ . (3.22) Var(ln SRtR) = P 2 P . t (3.23) SRtR = SR0R . (µ. ) (3.24)