Do những hạn chế của phương pháp nghịch đảo ma trận đáp ứng nên phương pháp chỉnh hóa được đưa ra để tìm các ước lượng trơn cho phổ thựcµ(nghĩa là các ước lượng ít chịu ảnh hưởng của thăng giáng thống kê ở phổ đo thực nghiệm).
Với phương pháp này, ta xét một vùng không gian µ xung quanh lời giải cơ hội cực đại (hay bình phương tối thiểu) chứa các nghiệm có thể chấp nhận được, như vậy có một mức chấp nhận sự phù hợp giữa kỳ vọng ν và dữ liệu n. Vùng không gian này có thể được xác định bằng cách chologL nằm trong một giới hạn nào đó quanh giá trị cực đại
của nó. Vùng chấp nhận của không gian µbằng:
logL(µ)≥logLmax−∆logL (1.48) Để chọn lựa một cách thích hợp∆logL, các giá trị của ∆logLphải làm cân bằng độ chệch và phương sai của phổ giải cuộn.
Tiếp theo, để xác định mức độ trơn của nghiệm ta dùng hàm S(µ) được gọi là hàm
chỉnh hóa. Một số dạng hàm của S(µ) như hàm chỉnh hóa Tikhonov, hàm chỉnh hóa
dựa trên entropy cực đại,. . . Cách làm chung là chọn nghiệm có tính trơn nhất từ các nghiệm chấp nhận được, xác định bằng bất đẳng thức (1.48).
Việc cực đại hóa hàm chỉnh hóa S(µ) với ràng buộc rằng logL(µ) vẫn bằng với
logLmax−∆logL tương đương với việc cực đại hóa hàm sau:
α[logL(µ)−(logLmax−∆logL)] +S(µ) (1.49) theo µ và α. Ở đây α là nhân tử Lagrange, gọi là tham số chỉnh hóa, và được chọn tương ứng với một giá trị cụ thể của ∆logL. Với một giá trị α cho trước, nghiệm được xác định bằng cách tìm cực đại của tổ hợp có trọng số củalogL vàS(µ)
Φ(µ) =αlogL(µ) +S(µ) (1.50) Với α = 0 ta được phân bố trơn nhất có thể nghĩa là phớt lờ đi hoàn toàn những ảnh hưởng dữ liệu đo n. Với α rất lớn thì dẫn đến lời giải dao động mạnh như phương pháp nghịch đảo ma trận đáp ứng, tương ứng khi hàm cơ hội đạt giá trị cực đại.
HàmlogL vàS có thể biểu diễn theoµhoặcν, vì ta luôn có mối liên hệν =Rµ+β. Tương tự, ta cũng luôn có:
ˆ
ν =Rµˆ+βˆ (1.51) Chú ý khác với phương pháp nghịch đảo ma trận đáp ứng ta không cóµˆ =n.
Nhắc lại là µtot = P
jµj và νtot = P
iνi = P
i,jRijµj cũng là hàm của µ. Ở đây ta chỉ xét ước lượngµˆ sao cho ước lượng tổng số sự kiện đo νˆtot bằng với tổng số sự kiện đo thực nghiệm. ˆ νtot = N X i=1 ˆ νi = N X i=1 M X j=1 Rijµˆj +βi =ntot (1.52) Điều kiện này không thể tự thỏa mãn trong trường hợp tổng quát, nên ta sẽ điều chỉnh nó vào (1.50). ϕ(µ, λ) = αlogL(µ) +S(µ) +λ[ntot− N X i=1 νi] (1.53) trong đó λ là nhân tử Lagrange. Khi cho ∂ϕ/∂λ= 0 thì P
Tùy từng trường hợp cụ thể, dạng hàm chỉnh hóa và giá trị các tham số kèm theo được chọn để có được ước lượng với độ chệch và phương sai thích hợp. Phương pháp chỉnh hóa có thể điều chỉnh mức độ ảnh hưởng của dữ liệu đo đạc lên kết quả giải cuộn, và có thể sử cho nhiều trường hợp tổng quát. Trong khi đó phương pháp nghịch đảo ma trận chỉ sử dụng được khi ma trận đáp ứng khả nghịch.
Trong lập trình tính toán, ta thường áp dụng các phương pháp giải cuộn lặp, kết quả giải cuộn sẽ đạt được sau một chuỗi các bước tính toán. Bằng cách chọn dạng của phương trình lặp, nghiệm mà ta có được sẽ được chỉnh hóa.
Thuật toán giải cuộn Gold và thuật toán nội suy
2.1 Thuật toán giải cuộn Gold[4][7]
Để thuận tiện cho việc trình bày thuật toán giải cuộn, ta biểu diễn lại phương trình giải cuộn như sau:
y=R·x (2.1) y1 y2 .. . yN = R11 R12 · · · R1M R21 R22 · · · R2M .. . ... . .. ... RN1 RN2 · · · RN M x1 x2 .. . xM
với y là phổ đo có N kênh, R là ma trận đáp ứng và x là phổ kết quả giải cuộn có M
kênh. Việc dẫn ra thuật toán từ phương pháp chỉnh hóa khá là phức tạp, nên ở đây ta chỉ trình bày dạng cuối của thuật toán Gold. Thuật toán Gold được mở rộng dựa trên thuật toán Van Cittert. Dạng tổng quát của thuật toán Van Cittert cho một hệ rời rạc tuyến tính áp dụng cho (2.1).
x(k+1) =x(k)+µ(y−Rx(k)) (2.2) trong đók là số lần lặp, và µ là thừa số hồi phục. Để đảm bảo hội tụ, thừa số hồi phục
µphải nằm trong khoảng 0< µ <2/λmax, với λmax là trị riêng lớn nhất của ma trậnR. Trong trường hợp ma trận R không vuông tức M 6=N, ta thay thế y và R bằng các đại lượng sau:
với RT là ma trận chuyển vị của ma trận R.
Một trong những nhược điểm của thuật toán này là nghiệm có thể có giá trị âm, và không có nghĩa trong trường hợp giải cuộn các phổ phân bố năng lượng trong vật lý hạt nhân. Mặc dù dựa trên thuật toán của Van Cittert, thuật toán Gold vẫn đảm bảo tất cả các thành phần của nghiệm xđều dương. Nhân hai vế phương trình (2.1) với RT ta có:
RTy=RTR·x (2.3) Ma trận(RTR)đối xứng và do đó các trị riêng của nó là thực. Các trị riêng của ma trận
(RTR)(RTR)là bình phương của các trị riêng thực này nên chúng dương. Khi nhân thêm
(RTR) phương trình (2.3) trở thành:
(RTRRT)y= (RTRRTR)·x (2.4) Áp dụng vào phương trình (2.2), thuật toán lặp có dạng sau:
x(k+1) =x(k)+µ(y0−Hx(k)) (2.5) với ma trận H = (RTR)(RTR) và y0 = (RTRRT)y. Trong thuật toán Gold thừa số hồi phục được tính như sau:
µi = x
(k) i
PM
j=1Hijx(k)j (2.6)
thay vào phương trình (2.5) ta được:
x(k+1)i =x(k)i + x (k) i PM j=1Hijx(k)j h yi0 − M X j=1 Hijx(k)j i (2.7) hay x(k+1)i = y 0 ix(k)i PM j=1Hijx(k)j (2.8)
Nghiệm của thuật toán này luôn dương khi các thành phần của dữ liệu đo và ma trận đáp ứng dương. Thuật toán này phù hợp cho việc xử lý phổ, như với phổ gamma. Dạng của thuật toán Gold được xuất phát từ phương trình (2.4), nhưng thực tế bước nhân với ma trận RTR là không cần thiết. Việc bỏ bước này cho các kết quả tốt hơn đối với phổ gamma.
Tương tự như thuật toán Gold gốc, khi không nhân với RTR ta cũng có
x(k+1)i = zix
(k) i
di (2.9)
với d=RTR·x(k);z =RTy. Nếu ta chọn nghiệm ban đầu:
và nếu tất cả các thành phần của y và R dương, thì ước lượng của thuật toán này luôn dương.
Khi thuật toán giải cuộn Gold hội tụ về một trạng thái ổn định (nghiệm), việc tăng số lần lặp là vô ích vì kết quả không thay đổi. Tuy nhiên, đôi khi ta không hài lòng với độ phân giải đạt được và muốn làm giảm độ rộng của các đỉnh trong phổ. Để đạt được kết quả tốt hơn, ta cần dừng vòng lặp lại và thay đổi nghiệm ở lần lặp đó x(L) rồi thực hiện lại việc giải cuộn. Để thay đổi nghiệm này, ta sử dụng một hàm boost phi tuyến tính và hàm mũ đã được chứng minh là cho kết quả tốt nhất. Thuật toán Gold boost có thể được mô tả như sau:
1. Thiết lập nghiệm ban đầu
x(0) = [1,1, . . . ,1]T
2. Thiết lập số lần lặp lại mong muốn R và số vòng lặp L
3. Cho số lần lặp lại r= 1
4. Sử dụng thuật toán giải cuộn Gold vớik = 0,1, . . . , L−1 tìm nghiệm x(L)
5. Nếu r=R dừng việc tính toán, nếu không (a) Áp dụng boost, tức thiết lập
x(0)i =x(L)i p; i= 1,2, . . . , M với p > 0là hệ số boost (b) r=r+ 1
(c) Tiếp tục bước 4
2.2 Ma trận đáp ứng và thuật toán nội suy2.2.1 Ma trận đáp ứng 2.2.1 Ma trận đáp ứng
Trong trường hợp giải cuộn khử miền liên tục của phổ gamma, nghĩa là chỉ đưa các số đếm ở miền liên tục về đúng đỉnh của nó, thì ma trận đáp ứng chỉ mang thông tin về sự sai lệch số đếm và phân giải của đầu dò, không mang thông tin về hiệu suất. Do đó, từng hàm đáp ứng sẽ được chuẩn hóa, nên ma trận đáp ứngRij trong trường hợp này với các chỉ số thứ nhất i= 1, ..., N chỉ số kênh của phổ đo và chỉ số thứ hai j = 1, ..., M chỉ kênh của phổ thực khi lấy tổng theo chỉ số thứ nhất sẽ bằng một.
N
X
i=1
Trong khóa luận này, các hàm đáp ứng sử dụng cho giải cuộn khử miền liên tục được mô phỏng bằng phương pháp Monte Carlo, và ta chỉ mô phỏng một số hàm đáp ứng theo các khoảng chia nhất định rồi tiến hành nội suy để thu được ma trận đáp ứng đầy đủ.
Hình 2.1: Ma trận đáp ứng gamma với đường nét đậm là hàm đáp ứng mô phỏng còn
đường nét nhuyễn là hàm đáp ứng nội suy
Hình 2.2: Ma trận đáp ứng được dùng trong xác định hoạt độ
Ngoài ra, giải cuộn còn có thể áp dụng trong việc xác định hoạt độ bằng phương pháp Full Spectrum Analysis (FSA), khi đó ma trận đáp ứng được xây dựng từ các phổ gamma thực nghiệm của một số đồng vị phóng xạ được chuẩn hóa. Cách xây dựng ma trận đáp
ứng như vậy giúp tận dụng thông tin của toàn phổ gamma để phân tích hoạt độ. Phương pháp này có nhiều ưu điểm như loại bỏ phần lớn sai số do trùng phùng, việc trừ phông Compton, sai số thống kê và những sai số kỹ thuật của hệ đo. Hơn thế nữa, phương pháp này còn rút gọn được thời gian phân tích và tính toán. Hướng nghiên cứu này mở ra một khả năng nâng cao độ chính xác của việc phân tích hoạt độ mẫu đo thể tích thường sử dụng trong phép đo môi trường hoặc phân tích kích hoạt neutron.
Với phương pháp này kết quả của chương trình giải cuộn không phải là phổ gamma phân bố số đếm theo năng lượng, mà phân bố tổng số đếm của từng đồng vị phóng xạ theo thứ tự của chúng trong ma trận đáp ứng.
2.2.2 Thuật toán nội suy[4]
Đối với giải cuộn loại bỏ nền liên tục, việc mô phỏng từng hàm đáp ứng cho từng kênh là không khả thi vì tốn rất nhiều thời gian. Để khắc phục, chỉ một số hàm đáp ứng được mô phỏng và sau đó các hàm đáp ứng khác sẽ được nội suy dựa trên các hàm đáp ứng mô phỏng đó. Nên mục này sẽ trình bày chi tiết thuật toán nội suy.
Từ hai hàm đáp ứng R1(E1, e), R2(E2, e) với E1, E2 là năng lượng của các gamma đơn năng của hai hàm đáp ứng vàe là năng lượng ứng với các kênh của phổ đáp ứng. Vì được tạo nên từ nhiều thành phần, mỗi hàm đáp ứng có thể được chia thành n vùng với biên đầu tiên bằng không và các biên tiếp theo là e1(k) và e2(k) (k ∈ h1, ni). Do đó, đối với mỗi hàm đáp ứng nội suyRi(Ei, e)các biên của nó được tính như sau:
ei(k) = Ei −E2
E1 −E2[e1(k)−e2(k)] +e2(k),k ∈ h1, ni (2.11) Trong mỗi đoạn k ∈ h1, ni, thì mỗi năng lượng ei ∈ hei(k −1), ei(k)i của hàm đáp ứng nội suy sẽ xác định được hai điểm tương ứnge1(jk), ei(k)ở hai hàm đáp ứng mô phỏng
e1(jk) = ei(jk)−ei(k−1)
ei(k)−ei [e1(k)−e1(k−1)] +e1(k−1) (2.12)
e2(jk) = ei(jk)−ei(k−1)
ei(k)−ei [e2(k)−e2(k−1)] +e2(k−1) (2.13) Từ hai hàm đáp ứng mô phỏngR1, R2 ta lấy ra các giá trị xác suất tại năng lượng e1(jk)
vàe2(jk):
y1(jk) = R1(E1, e1(jk))
y2(jk) = R2(E2, e2(jk)) (2.14) Tiếp theo giá trị xác suất cần tìm của hàm đáp ứng nội suy Ri cho năng lượng ei được nội suy theo công thức
yi(jk) = Ei−E2
Hình 2.3: Minh họa nội suy hàm đáp ứng Ri(Ei, e) từ hai hàm đáp ứng R1(E1, e) và
R2(E2, e) với số vùng là 4
Sử dụng thuật toán này ta có có thể xây dựng tất cả các hàm đáp ứng giữa các khoảng chia nhất định, từ đó có được ma trận đáp ứng hoàn hỉnh. Ở đây, các hàm đáp ứng được chia thành 4 vùng:
- Vùng từ 0 đến đỉnh tán xạ ngược
- Vùng từ đỉnh tán xạ ngược đến bờ Compton
- Vùng từ bờ Compton đến biên trái của đỉnh quang điện - Vùng ứng với đỉnh quang điện
Các hàm đáp ứng nội suy cũng như các hàm đáp ứng mô phỏng chịu ảnh hưởng của nhiễu thống kê. Về nguyên tắc, các hàm đáp ứng mô phỏng có thể được làm trơn, và do đó nhiễu thống kê cũng được loại bỏ khỏi hàm đáp ứng nội suy. Ảnh hưởng của việc làm trơn lên kết quả giải cuộn là không đáng kể.
Trong khóa luận này, dữ liệu của các hàm đáp ứng được chuyển thành các histogram của ROOT giúp cho việc viết và chạy chương trình nội suy dễ dàng hơn, và cũng rút ngắn được thời gian nội suy.
Áp dụng giải cuộn Gold cho phổ gamma và xác định hoạt độ
Mục đích chính của giải cuộn phổ gamma là đưa những số đếm sai lệch về đúng đỉnh của nó. Dù một phổ giải cuộn được triệt phông hoàn toàn nhưng các đỉnh năng lượng toàn phần không được trả về đúng như phổ thực của nó thì phổ giải cuộn đó không có ý nghĩa gì.
Để đánh giá tính chính xác của phổ giải cuộn ta có thể xác định tỷ số S/S0 là tỷ số giữa diện tích đỉnh năng lượng toàn phần trước và sau giải cuộn. Tỷ sốS/S0 tương đương với tỷ sốP/T (Peak to Total), và được so sánh với tỷ sốP/T để đánh giá một cách tương đối độ chính xác của phổ giải cuộn. Kết quả giải cuộn được gọi là tốt khi độ chênh lệch giữa S/S0 và P/T ứng với các năng lượng khác nhau không khác biệt nhau quá nhiều. Chính vì thế độ chênh lệch giữa hai tỷ số này ở một năng lượng nào đó có nhỏ thế nào đi nữa nhưng khác biệt quá lớn với các đỉnh năng lượng còn lại, thì kết quả giải cuộn không đáng tin cậy. Độ sai lệch giữa S/S0 và P/T có thể được xem như sai số hệ thống do không thể mô phỏng hoàn hảo thiết bị ghi nhận.
3.1 Phép kiểm tra sự phù hợp của ma trận đáp ứng
Phép kiểm tra này được thực hiện nhằm khảo sát ảnh hưởng của ma trận đáp ứng lên phổ thực dựa trên phổ đo được tạo ra từ sự kết hợp phổ thực và ma trận đáp ứng. Phổ đo này được gọi là phổ đo lý thuyết để phân biệt với phổ đo thực nghiệm là kết quả của một thí nghiệm thực sự. Phổ thực không có được trong thực tế, vì thế nó được tạo ra dựa trên lý thuyết hay những kiến thức về loại phổ ta muốn tạo. Sau đó, phổ đo lý thuyết được giải cuộn với chính ma trận đáp ứng mà nó được tạo ra. Vấn đề được đặt ra
là thuật toán giải cuộn có trả lại phổ giải cuộn đồng nhất với phổ thực hay không. Để thực hiện phép kiểm tra trước tiên phổ thực được tạo dựa trên một phổ được đo của nguồn điểm Cs-137 bằng hệ phổ kế HPGe mà ma trận đáp ứng được mô phỏng bằng chương trình MCNP [1]. Phổ thực chỉ có một đỉnh năng lượng 661 keV tập trung ở hai kênh và có diện tích 19361237. Giá trị diện tích đỉnh 19361237 chính là số đếm tổng của phổ Cs-173 này. Tác dụng ma trận đáp ứng lên phổ thực dựa theo phương trình y=Rx
ta có được phổ đo lý thuyết. Phổ đo lý thuyết, phổ đo thực nghiệm và phổ thực cùng được thể hiện trên Hình 3.1.
Hình 3.1: So sánh phổ thực, phổ đo lý thuyết, và phổ đo thực nghiệm
Những ảnh hưởng của thiết bị trong ma trận đáp ứng tác dụng lên phổ thực thu được phổ đo lý thuyết có dạng như dạng của phổ đo bằng đầu dò HPGe. Diện tích đỉnh năng lượng toàn phần của phổ đo lý thuyết là 4832276 và trải rộng khoảng 20 kênh, nên tỷ sốP/T bằng 0,250. Trong khi diện tích đỉnh ở phổ đo thực nghiệm là 4421805 trải rộng khoảng24 kênh và có P/T bằng 0,228. Độ rộng của đỉnh năng lượng toàn phần của phổ