Phương pháp nghịch đảo ma trận đáp ứng là phương pháp dễ dàng nghĩ ra cho việc xây dựng các ước lượng cho phổ thực µ, tuy nhiên thông thường phương pháp này tạo ra kết quả không thể sử dụng được. Xét trường hợp số kênh ở phổ thực và phổ đo bằng nhauM =N. Giả sử phương trình ν =Rµ+β có thể chuyển ngược thành:
µ=R−1(ν −β) (1.42) Chọn lựa dễ dàng có được cho ước lượng củaν là dữ liệu đo tương ứng:
ˆ
ν =n (1.43)
Ước lượng của µđơn giản là:
ˆ
µ=R−1(n−β) (1.44) Ước lượng trên có thể rút ra từ việc cực đại hóa hàm cơ hội:
logL(µ) =
N
X
i=1
logP(ni;νi) (1.45) vớiP(ni;νi)là phân bố Poisson hoặc phân bố nhị thức. Ước lượng trên cũng có thể được chứng minh bằng phương pháp bình phương tối thiểu, khi ta cực tiểu hóa hàmχ2.
χ2(µ) =
N
X
i,j=1
(νi−ni)(V−1)ij(νj−nj) (1.46) Giá trị kỳ vọng của µˆj được tính bởi:
E[ˆµj] = N X i=1 (R−1)ijE[ni−βi] = N X i=1 (R−1)ij(νi−βi) =µj (1.47)
và do ta giả sử rằngνˆi =ni không chệch nên ước lượngµˆj là ước lượng không chệch. Ta xét ví dụ đơn giản ở Hình 1.4, phân bố thực ban đầu µ được thể hiện ở Hình 1.4(a), và các giá trị kỳ vọng của phân bố đo được được thể hiện ở Hình 1.4(b).
Để đơn giản phông β được cho bằng 0, phổ ν được tính theo ν = Rµ. Ma trận đáp ứng R dựa trên hàm phân bố Gaussian với độ lệch chuẩn bằng 1,5lần bề rộng kênh, và hiệu suất εi đều bằng một.
Hình 1.4(c) thể hiện phổ đon= (n1, ..., nN) được tạo ra bằng mô phỏng Monte Carlo sử dụng phân bố Poisson với giá trị trung bình νi ở Hình 1.4(b). Số sự kiện trong mỗi
Hình 1.4: (a) Phổ thực (giả thiết)µ, (b) phổ đo kỳ vọng ν =Rµ,
(c) phổ dữ liệu đon, và (d) ước lượngµˆtheo phương pháp nghịch đảo ma trận đáp ứng. kênh từ 102 đến 103, sai số thống kê tương đối (tỷ số giữa độ lệch chuẩn với trị trung bình) của ni từ3% đến 10%.
Hình 1.4(d) thể hiện các giá trị ước lượng µˆ có được từ việc nghịch đảo ma trận phương trình (1.44). Vạch sai số chỉ độ lêch chuẩn cho mỗi kênh. Với độ sai lệch của ni
là3%−10%,µˆj biến đổi lớn từ kênh này qua kênh khác, và vạch sai số rất lớn cỡ giá trị được ước lượng. Chú ý giai đo theo chiều dọc của phổ này tăng lên nhiều so với các phổ đo. Các hệ số tương quan với các kênh lân cận gần bằng−1.
Lý do của các sai số lớn này là do trong thực tế ta không có giá trị kỳ vọng của ν; nếu ta biết đơn giản ta chỉ cần tính µ =R−1ν. Thay vào đó ta chỉ có dữ liệu n, là các biến ngẫu nhiên và chịu ảnh hưởng của thăng giáng thống kê. Nhắc lại là các ảnh hưởng của ma trận đáp ứng làm thay đổi dạng chính xác của phân bố thực. Nếu có nhiều đỉnh gần nhau trongµ, cho dù chúng bị chồng chập trongν, thì dạng ban đầu vẫn còn lại một phần nào đó. Khi nhân R−1 vào ν thì dấu vết còn lại của phân bố ban đầu có thể được phục hồi lại. Thực tế, dữ liệu n chịu thăng giáng thống kê nên dẫn đến kết quả không chấp nhận được như Hình 1.4 (d).
Ước lượng theo phương pháp nghịch đảo ma trận đáp ứng chính là kết quả rút ra từ phương pháp cơ hội cực đại hay phương pháp bình phương tối thiểu, và được chứng minh là một ước lượng không chệch và hiệu quả, nghĩa là nó có phương sai nhỏ nhất có thể cho một ước lượng không chệch. Nó cũng là kết quả thu được khi sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu.
Tuy kết quả trong 1.4(d) khác biệt rất nhiều với phổ thực, nhưng nó có các ưu điểm như dễ thực hiện và có phương sai nhỏ nhất cho một ước lượng không chệch, nhưng phương sai này lại rất lớn.
Nếu ta bỏ qua hạn chế trên, việc nghịch đảo ma trân đáp ứng cho nhiều giá trị quan trọng và cho ta một khởi điểm để bắt đầu các phương pháp khác. Việc giảm thiểu phương sai của ước lượng này sẽ gây ra một độ chệch cho kết quả giải cuộn. Vì thế giải cuộn đòi hỏi việc xây dựng một ước lượng chệch µˆ sao cho độ chệch nhỏ, phù hợp với những kiến thức tiên nghiệm về phổ thực. Nói cách khác, mục tiêu của ta là tìm sự cân bằng lý tưởng nhất giữa độ lệch và phương sai.
Việc cần kết hợp những kiến thức tiên nghiệm khiến ta nghĩ đến thống kê Bayes vì xác suất tiên nghiện được kết hợp với dữ liệu để tìm ra xác suất hậu nghiệm của phổ thực. Tuy nhiên, có nhiều khó khăn vì những kiến thức tiên nghiệm thường phức tạp và mang bản chất định tính khó đưa ra theo dạng xác suất.
Lưu ý khi số kênh M của phổ giải giải cuộn không bằng với số kênh của phổ đo N. Khi M > N, thì phương trình (1.39) ν =Rµ+β chưa xác định và nghiệm không duy nhất. Khi đó phương pháp chỉnh hóa có thể được dùng để chọn nghiệm là ước lượngµˆ. Còn khi M < N phương trình (1.39) xác định và nghiệm chính xác thường không tồn tại. Nghiệm gần đúng vẫn có thể tính được với các phương pháp như cơ hội cực đại hoặc bình phương tối thiểu. NếuM lớn hơnN thì tương quan giữa các ước lượng có thể gây ra phương sai lớn. Trong những trường hợp như vậy, ta có thể dựa vào phương pháp chỉnh hóa làm giảm phương sai nhưng đổi lại làm tăng độ chệch.