Cho đồ thị hàm số y = f (x), đồ thị của các hàm số y = f (ax + b) và
[ay + b) = /(*) thu được bằng việc thực hiện trình tự các phép biến đối từ đồ thị hàm y = f (x)
Với hàm soy = f (ax + b)(a, b > 0), sự biến đối được cho bên dưới theo thứ tự: i. Tịnh tiến theo phương nằm ngang b đơn vị về phía bên trái,
ii. Co theo phương ngang với tỉ lệ phân so
ez
Ví dụ 2.5.1:
Vẽ đồ thị hàm số y = (2x + 3)2 từ đồ thị hàm số y = X2 + Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y = X2
+ Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số y = (2x)2 bằng phép co theo trục Ox với hệ số co _Ị_
+ Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số y = (2x+3)2 bằng phép tịnh tiến về hướng âm trục Ox 3 đơn vị.
Dựng đồ thị của hàm số — y = ln(2x-3) bằng các phép biến đổi từ đồ thị hàm y
= ln X Hướng dẫn:
+ Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y = ln X.
+ Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ln (2x) bằng phép co theo trục Ox với hệ số co là —.
2
+ Bước 3: Vẽ đồ thị hàm số y = ln (2x-3) bằng phép tịnh tiến sang phải theo trục Ox 3 đơn vị.
+ Bước 4: Vẽ đồ thị hàm số -y = ln (2x+3) bằng phép đối xứng qua trục Ox.
Hình 2.5.2
Chú ý: Khi biến đối một đường cong, các đường tiệm cận , các điểm, các trục đối xúng sẽ được biến đối theo.
Ví dụ 2.5.3:
Trong các đồ thị riêng biệt, dựng đồ thị các hàm số sau bằng việc ứng dụng trình tự các phép biến đối từ các hàm số cơ bản tương ứng.
(a) y = e2-x+ ì
(b)X2 + 2 x + 4 ỵ2 =
3 Hướng dẫn:
(a) y = e ĩ - x + \ = > y - \ = e - 3 * 2 + Bước 1: Vẽđồthị hàm y = ex.
+ Bước 2: Vẽ đồthị hàm y = e"xbằng phép đối xứng qua trục Oy.
+ Bước 3: Vẽ đồthị hàm số y = e'x+2 bàng phép tịnh tiến theo trục Ox. + Bước 4: Vẽ đồ thị hàm số y - 1 = e"x+2 bằng phép tịnh tiến theo trục Oy.
oHình 2.5.3 Hình 2.5.3 X2 + 2 x + 4 ỵ 2 = 3 <=> X2+ 2;c +1 + 4y2 =4<^>(x + l)2+ 4 ỵ 2 = 4 y = e y = e2_x + 1 e2 + 1
Ví dụ 2.5.4:
(a) , Tìm phương trình đường cong thu được sau khi đường X3 = 1 - y
trải qua liên tiếp các sự biến đối sau:
A: Tịnh tiến theo phương ngang 1 đơn vị theo hướng dương của trục Ox B: Co dãn theo chiều ngang song song trục Ox với tỉ lệ là 2 C: Co dãn theo chiều dọc song song trục Oy với tỉ lệ là 1/2 D: Tịnh tiến theo chiều dọc 3 đon vị theo hướng âm truc Oy.
(b) Một đường cong y = f(x)trải qua liên tiếp các sự biến đổi A, B,C,D ở trên, và kết quả thu được là đường cong có phương trình 4y = X -14. Xác định phương tình đường cong ban đầu y = f(x)
Lời giải: a ) X3 = l — y - ^ > ( x - l Ÿ = l - y Hình 2.5.4 Y y \3 = l-2(y + 3)
1 H ị x - i y = l - y i l — x — l 2 V D Y Ơ' c' >4Î-Y-3Î = -y-14 u J ( 1 ^ 8 >4 —y— 3 = 2x —14 u J -^->4^Iy-3j = 2(* + l)-14 = > 2 y - \ 2 = 2 x- \ 2 y = X = - 2 y - 5 2.6. Một số dạng đồ thị đặc biệt Đồ thị hàm số dạng: y = lf(x)l và y = f (Ixl)
Đồ thị của hàm số y = lf(x)l và y = f (Ixl) được biến đối từ đồ thị hàm y = f ( x )
Hàm sô Sự biên đôi Các điêm
y = \ f ( x ) \ • Với phần đồ thị phía trên trục
Ox, tức là với y > 0, phần đồ thị này không thay đổi. • Với phần đồ thị phía dưới trục Ox, tức là với y < 0, lấy đối xứng của
phần đồ thị này với trục Ox.
• Với
J>>0:(x,;y)->(x,;y)
• Với y<0:(*,y)- >(x,-;y)
y = f ( \ x \ ) • Với phần đồ thị bên trái trục
Oy, tức là với X < 0, bỏ phần đồ thị này.
• Với phần đồ thị bên phải trục Oy, tức là X > 0, giữ nguyên phần đồ thị này, và lấy đối xứng của phần đồ thị này với trục Oy
• Với
Ví dụ 2.6.1
Dựng đồ thị hàm ỵ = x 2 - 2 x (C), từ đó dựng đồ thị các hàm số:
(a) ỵ = \ x2- 2 x \ (b)y = \ x \2- 2 \ x \
Lời giải:
a) y =\ X2 - 2 x \
Đồ thị hàm số y = \ x 2 - 2 x \ nhận được từ việc biến đổi đồ thị (C): Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên Ox, lấy đối xứng của phần đồ thị phía dưới Ox qua trục Ox.
b) y =lxl2 —21x1 (C’)
Đồ thị (C’) nhận được từ sự biến đổi đồ thị (C): + Bỏ phần đồ thị của (C) nằm bên trái trục Oy
+ Giữ nguyên phần đồ thị của (C) nằm bên phải trục Oy và lấy đối xứng phần đồ thị này qua Oy
Hình 2.6.2
Ví dụ 2.6.2:
Cho hàm s ố ỵ =
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (Ci)
b) Tìm m đế phương trình có 4 nghiêm phân biệt
X2-3x + 6 2 1 = m +1 (1) X -1 Hướng dẫn: a) Vẽ đồ thị Hình 2.6.3 X - 3* + 6 X — \ (C,)
X - 3 x + 6
b) Vẽ đồ thị hàm ỵ = x - ì
Đồ thị (C2) nhận được từ đồ thị (Ci): Giữ nguyên phần đồ thị của (Ci) phía trên Ox, Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị của (Ci) phía dưới Ox rồi bỏ phần đồ thị của (Ci) phía dưới Ox Đồ thị:
Biện luận: số nghiệm của phương trình (1) là số giao điếm của đồ thị
X2 - 3 x + 6
và đường thắng y = m 2 +1
x — \
Từ đồ thị hàm số ta thấy đế phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì
m > 2 m < - 2 (C2) hàm ỵ = m +1 > 5 m - 4 > 0 m > 2 m < — 2
CHƯƠNG 3.MỘT SÓ ví DỤ VÀ BÀI TẬP