Ta nhắc lại rằng nửa nhúm S được gọi là nửa nhúm ∨ - nửa dàn (hay nửa nhúm ∧ - nửa dàn) dưới quan hệ ≤ nếu S là một ∨ - nửa dàn, nghĩa là với mỗi cặp phần tử a,b ∈ S cú một cận trờn nhỏ nhất a ∨ b ∈ S (tương ứng S là một ∧ -
nửa dàn, nghĩa là với mỗi cặp phần tử a,b ∈ S cú một cận dưới lớn nhất a ∧ b ∈
S và với mọi bộ ba a,b,c ∈ S cú c (a ∨ b) = ca ∨ cb, (a ∨ b) c = ac ∨ bc (tương ứng c (a ∧ b) = ca ∧ cb , (a ∧ b) c = ac ∧ bc).
Trong phần mở đầu tiết 2.2 chỳng ta đó thấy rằng cú khả năng một quan hệ thứ tự ≤ trong B với 1 < a,ba vừa cú một đối nguyờn tử vừa thoả món điều kiện {bnan: n ≥ 0} được giới hạn trờn.
Để bắt đầu tiết này chỳng ta chỉ ra rằng điều đú khụng xảy ra nếu B là
∨ - nửa dàn nửa nhúm dưới quan hệ ≤ . Nghĩa là trong trường hợp này, hoặc nún theo ≤ tuõn theo điều kiện chuỗi tăng, hoặc bnan < a với mọi số nguyờn khụng õm và do đú ≤ là một quan hệ thứ tự toàn phần.
2.3.1. Bổ đề. Giả sử ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận tương thớch trờn B với 1 < a, ba sao cho B là một nửa nhúm ∨ - nửa dàn. Giả sử rằng {bnan: n ≥ 0} được giới nội trờn trong B. Thế thỡ bnan< a với mọi số tự nhiờn n.
Chứng minh. Giả sử t = min {s ∈ Z+: bnan < as, ∀n ≥ 0}. Chỳng ta cần chứng minh t = 1. Giả t ≠ 1, khi đú theo Mệnh đề 2.2.4 cú một đối nguyờn tử br+1ar. Vỡ bn+tan+t < at nờn bn+1an < 1, ∀n ≥ 0. Do đú, vỡ br+1ar là đối nguyờn tử, nờn hoặc bn+tat≤ br+1ar, ∀n ≥ 0 hoặc tồn tại n sao cho bn+tat ∨ br+1ar = 1.
Nếu xuất hiện trường hợp sau, giả sử m = n + r + 1. Thế thỡ bn+tan = bt . bnan ≤ bt.bmam = bm+tam < 1 nờn bm+tam∨ br+1ar = 1. Nhưng khi đú am ∨ am+t-1 = am+t (bm+tam ∨ br+1ar) = am+t. Vỡ m + t > m và m + t > m + t - 1, đú là điều khụng thể xảy ra. Từ đú: bn+tan ≤ br+1ar, ∀n ≥ 0. Giả sử k ≥ 0 và n ≥ k + (r + 1) - t. Thế thỡ bn+tan ≤ br+1ar kộo theo bn+tan+t = bn+tan.at ≤ br+1ar.at = br+1ar+1.at-1, nờn bằng cỏch nhõn trỏi với ar+1 và nhõn bờn phải với br+1, nhận được
b(n+t)-(r+1)a(n+1) - (r+1) = ar+1 . bn+tan+t.br+1 ≤ ar+1 . at-1.br+1 = at-1. Từ đú, vỡ k ≤ n - (r + 1) + t = (n + t) - (r + 1), cú bkak ≤ at-1, ∀k ≥ 0. Điều này mõu thuẫn với t nhỏ nhất. Do đú t = 1.
2.3.2. Hệ quả. Giả sử ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận tương thớch trờn B với 1 < a,ba sao cho B là nửa nhúm ∨ - nửa dàn thỡ B hoặc được sắp thứ tự từ điển hoặc thoả món điều kiện chuỗi tăng trờn nún của nú.
Kết quả chớnh của tiết này liờn quan với những trường hợp khi B là một nửa nhúm ∨ - nửa dàn. Điều này hoàn toàn tự nhiờn như kết quả tiếp theo sẽ chỉ ra.
2.3.3. Định lý. Thứ tự từ điển là quan hệ thứ tự bộ phận tương thớch duy nhất
≤ với 1 < a, ba sao cho B trở thành một nửa nhúm ∧ - dàn.
Chứng minh. Giả thiết rằng ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận tương thớch trờn B với 1 < a, ba biến B thành một nửa nhúm ∧ - nửa dàn. Thế thỡ theo Định lý 2.2.7, hoặc ≤ là thứ tự từ điển hoặc cú một đối nguyờn tử.
Giả thiết rằng xảy ra trường hợp thứ hai. Thế thỡ tồn tại n > 0 sao cho bnan < a nhưng bn+1an+1 ⊄ a. Thế thỡ bnan ≤ a ∧ bn+1an+1 và do đú theo Bổ đề 2.2.3 cú a ∧ bn+1an+1 là một luỹ đẳng. Từ đú a ∧ bn+1an+1 = bnan . Nhưng điều này kộo theo 1 = anbnanbn = an(a ∧ bn+1an+1 ) bn = anabn ∧ an bn+1an+1, bn = a ∧ ba = ba. Vỡ B là một nửa nhúm ∧ - nửa dàn. Điều này mõu thuẫn.
Năm 1975, R.McFadden đó chứng tỏ rằng cỏc nhúm tự do cú thể được sắp thứ tự toàn phần nhưng chỳng khụng thừa nhận thứ tự dàn nào làm chỳng được sắp thứ tự toàn phần. Định lý 2.3.3 chứng tỏ rằng nửa nhúm bicyclic cũng cú tớnh chất ấy. Năm 1974, Turo Saito đó chỉ ra rằng nửa nhúm ngược tự do cú thể được sắp thứ tự toàn phần.
2.3.4. Hệ quả. Nửa nhúm bicyclic B cú thể được sắp thứ tự toàn phần nhưng nú khụng thừa nhận thứ tự dàn nào khụng phải là thứ tự toàn phần.
Chứng minh. Giả sử B là một nửa nhúm được sắp thứ tự dàn dưới một quan hệ thứ tự bộ phận tương thớch ≤ . Thế thỡ điều đú cũng xảy ra dưới mỗi một trong bốn thứ tự bộ phận trong quỹ đạo của ≤ . Nhưng một trong chỳng
cú tớnh chất là 1 nhỏ hơn cả a, ba. Theo Định lý 2.3.3, B được sắp thứ tự toàn phần dưới thứ tự này và vỡ vậy dưới quan hệ ≤ .
Định lý 2.3.3 chỉ ra rằng cú một quan hệ thứ bộ phận tương thớch duy nhất với 1 < a, ba biến B thành nửa nhúm ∧ - nửa dàn. Hơn nữa nú khụng phải là trường hợp đối với cỏc quan hệ thứ tự ∨ - nửa dàn. Thực tế cú một họ vụ hạn cỏc quan hệ thứ tự với những bổ sung nào đú để chỳng trở thành một quan hệ thứ tự từ điển.
2.3.5. Định lý. Giả sử ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận tương thớch trờn B với 1 < a, ba sao cho với quan hệ đú B trở thành nửa nhúm ∨ - nửa dàn. Thế thỡ hoặc B được sắp thứ tự từ điển hoặc cú một đối nguyờn tử duy nhất bnan-1 . Trong trường hợp sau thứ tự bộ phận trờn B được cho bởi
bras≤ buav ⇔ 0 (− ≤ −< +1)( − <) ≤( − ) s r v u s v n s v n r u hoặc và hoặc
Số nguyờn dương n được xỏc định duy nhất bởi n = max{t: btat < a}. Chứng minh. Giả sử rằng B khụng được sắp thứ tự theo lối từ điển dưới quan hệ ≤ và giả sử K là một nún của nú.Thế thỡ B cú một đối nguyờn tử duy nhất bnan-1 và K thoả món điều kiện chuỗi tăng.Chỳng ta đũi hỏi rằng K = K(bnan-1) .Cỏc kết quả cũn lại được suy ra trực tiếp từ điều đú.
Trước hết, chỳ ý rằng cỏc phần tử w của B với w ≤ 1 thoả món điều kiện chuỗi tăng và B cú một đối nguyờn tử duy nhất w < 1 kộo theo w ≤ bnan-1. Hơn nữa, theo Mệnh đề 2.1.11, w = bras ∈ K(bnan-1) nếu và chỉ nếu ns ≤ (n- 1)r; vỡ vậy K (bnan-1) = {1, bnan-1} ∨ {bras: ns ≤ (n-1)r}.
Giả thiết rằng K ≠ K(bnan-1), chỳng ta chỉ ra rằng điều này dẫn tới mõu thuẫn. Theo điều kiện chuỗi tăng, tập hợp X = {w ∈ B: w < 1; w ∉ K(bnan-1)} cú một phần tử cực đại buav. Thế thỡ v < u và vỡ buav ∉ K (bnan-1) nờn (n - 1) u < nv. Từ đú v + 1
này kộo theo buav = bu-n.bnan-1.av-(n-1)≤ bu-nav-(n-1). Vỡ bnan-1 ≤ 1. Hơn nữa, vỡ n > 0, bất đẳng thức trờn là thực sự, nờn buav < bu-nav-(n-1). Nhưng buav≤ bnan-1 kộo theo bu-nav-(n-1)
= an. buan-1 ≤ an. bnan-1. bn-1 = 1. Từ đú, theo tớnh cực đại của buav, cú bu-nav-(n-1) ∈ K (bnan-1). Nhưng (n - 1)(u - n) - n {v - (n - 1)} = (n - 1) u - nv < 0 vỡ buav ∉ K (bnan-1). Điều này mõu thuẫn với bu-nav-(n-1) ∈ K (bnan-1).
Bõy giờ chứng minh khẳng định ngược lại của Định lý 2.3.5 cũng đỳng. Nghĩa là, nếu K = K (bnan-1) với n ≥ 0 nào đú thỡ quan hệ thứ tự bộ phận nhận được ≤ biến B thành một nửa nhúm ngược ∨ - nửa dàn với 1 < a, ba.
Bước đầu tiờn là nhận ra cận dưới của bras và buav dưới quan hệ thứ tự bộ phận này. Điều này cú thể thực hiện được bằng phương phỏp đồ thị.
Trước hết, ta thấy rằng B là một dàn phõn phối dưới quan hệ ≤ . Từ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
dạng ≤ nhận được bras≤ bxay ⇔ y x (r s)≤ + −x s< dy cx (dr cs)≤x s≥ + −
và
hoặc và
trong đú c = n, d = n - 1. Như vậy, về mặt hỡnh học, tập hợp tất cả cỏc phần tử byax của B thoó món byax ≥ bras tương ứng với tập hợp cỏc điểm cú toạ độ nguyờn khụng õm và nằm trong miền bờn phải cựng được giới hạn bởi cỏc đường thẳng y = x + (r - s) , dy = cx + (dr - cs) cựng đi qua điểm (s, r). Cho trước cỏc phần tử bras và buav ở vị trớ tổng quỏt, ta thấy giao của cỏc miền tương ứng đó được cho bởi cỏc điểm bờn phải dưới cựng của hỡnh bỡnh hành được tạo ra bởi bốn đường thẳng. Hơn nữa, chỳng ta cần cụng thức chớnh xỏc để chứng minh phộp nhõn phõn phối đối với phộp hợp. Từ đú sẽ thấy B khụng phải là nửa nhúm ∧ - nửa dàn dưới quan hệ ≤ . Điều này khụng chỉ dựa vào một mỡnh đồ thị mà cũn phải dựa vào cỏc bổ đề sau:
2.3.6. Bổ đề. Giả sử K = K(bcad) trong đú c - d = 1 và giả sử ≤ là quan hệ thứ tự bộ phận tương thớch. Thế thỡ bras∨ buav = bpaq trong đú
q = d{(r - s) ∧ (u - v)} - (dr - cs) ∧ (du - cv)
Chưng minh. Chỳng ta sẽ tỡm nú một cỏch thuận tiện nếu sử dụng nhận xột x ∨ y = -(-x ∧ -y) với x, y là cỏc số nguyờn.
Trước hết chỳng ta chứng tỏ rằng p,q ≥ 0.Vỡ d ≤ c nờn dr - cs ≤ cr – cs = c (r - s) và du - cv ≤ cu - cv = c (u - v) nờn (dr - cs) ∧ (du - cv) ≤ c (r - s) ∧ c (u - v) = c{(r - s) ∧ (u - v)} điều đú chứng tỏ rằng p ≥ 0. Mặt khỏc cs - dr ≥ ds - dr = d(s - r) và cv - du ≥ dv - du = d(v - u) nờn (cs - dr) ∨ (cv - du) ≥ d(s - r)
∨ d (v - u) = d {(s - r) ∧ (v - u)}. Do đú - {(dr - cs) ∧ (du - cv)} ≥ - d{(r - s) ∨
(u - v)} ⇒ d {(r - s) ∧ (u - v)} ≥ (dr - cs) ∧ (du - cv) do đú q ≥ 0. Hơn nữa q - p = (d - c) {(r - a) ∧ (n - v)} = - {(r - s) ∧ (u - v)} (vỡ c - d = 1) = (r - s) ∨ (v - u) vỡ vậy q - p ≥ s - r. Tiếp theo, hoặc s ≤ q hoặc s > q. Trong trường hợp thứ nhất cú bras ≤ bpaq. Trong trường hợp thứ hai, vỡ r - p ≥ s - q ta cũng cú r - p. Hơn nữa d(r - p) - c(s - q) = (dr - cs) - (dp - cq) = (dr - cs) - (c - d) {(dr - cs) ∧
(du - cv)} = (dr - cs) - (dr - cs) ∧ (du - cv) ≥ 0. Nờn d(r - p) ≥ c(s - q), nú chứng tở br-p. as-q∈ K. Từ đú bqap là một cận trờn của bras và tương tự của buav. Đảo lại, giả sử bras, buav≤ byax. Thế thỡ x - y ≥ s – r ; v - u nờn x - y ≥ (s - r) ∨
(v - u) = q - p. Như vậy bpaq ≤ byax miễn là q ≤ x vỡ vậy chỳng ta cú thể giả thiết q > x vỡ tỡm một mõu thuẫn, chỳng ta xột ba trường hợp:
Trường hợp (i). x ≥ s ∨ v, chỳng ta cú
d(r - s) = (dr - cs) + s ≤ (dr - cs) + s ∨ v d(u - v) = (du - cv) + v ≤ (du - cv) + s ∨ v nờn q = d {(r - s) ∧ (u - v)} - (dr - cs) ∧ (du - cv) = d(s - r) ∧ d(u - v) - (dr - cs) ∧ (du - cv)
≤ {(dr - cs) ∧ (du - cv) + s ∨ v} - (dr - cs) ∧ (du - cv) = s ∨ v ≤ x.
Trường hợp (ii). x < s ∧ v. Thế thỡ br-yas-x , bu-yav-x ∈ K
nờn d(r - y) ≥ c(s - x) và d(u - y) ≥ c(v - x), điều này kộo theo dr - cs ≥ dy - cx, du - cv ≥ dy - cx. Do đú d(p - y) - c(q - x) = (dp - cq) - (dy - cx) = (dr - cs)
∧ (du - cv) - (dy - cx) ≥ 0. Từ đú bp-yaq-x∈ K và bpaq ≤ byax.
Trường hợp (iii). s ∧ v ≤ x < s ∨ v. Theo tớnh chất đối xứng, chỳng ta cú thể giả thiết rằng s < v thế thỡ s ≤ x < v và do đú, vỡ buav ≤ byax, cú d(u - y) ≥
c(v - x) > d(v - x) nờn u - y > v - x . Hơn nữa, vỡ q - y ≥ q - x chỳng ta cũng cú y < p và d(p - y) - c(q - x) = (dp - cq) - (dy - cx) = (dr - cs) ∧ (du - cv) - (dy - cx) ≥ 0 nếu (dr - cs) ≥ (du - cv). Nhưng dr - cs < du - cv kộo theo
0 < c(v - s) ≤ d(u - r) ≤ c(u - r) nờn v - s ≤ u - r và r - s ≤ u - v, do đú q = d(r - s) - (dr - cs) = s ≤ x. Nhưng điều này trỏi với giả thiết q > x.
2.3.7. Bổ đề. Phộp toỏn ∨ tương thớch với phộp nhõn bờn trỏi với b và phộp nhõn bờn phải với a.
Chứng minh. Chỳng ta xột phộp nhõn trỏi với a, cũn phộp nhõn bờn phải với a được suy ra từ tớnh đối xứng. Giả sử bras ∨ buav = bpaq. Thế thỡ b(bras ∨
buav) = bp+1aq trong khi đú bn+1as ∨ bu+1av = byax trong đú y = c{(r + 1 - s) ∧ ( u + 1 - v) } - {d(r + 1) - cs} ∧ {d(u + 1) - cv} = c{(r - s) ∧ (u - v) + 1} - {(dr - cs) + d} ∧ {(du - cv) + d} = c{(r - s) ∧ (u - v)} - (dr - cs) ∧ (du - cv) + (c - d) = p + 1 và tương tự x = q.
Lập luận tương tự chứng tỏ rằng khi u, r > 0, phộp nhõn bờn trỏi với a phõn phối đối với ∨ . Đối ngẫu cũng đỳng đối với phộp nhõn phải với b khi s, v > 0. Hơn nữa, nếu r = 0 = u thỡ a (b0ar ∨ b0av) = a. as∨v = a1+(s∨v) = a1+s ∨ a1+v = a.b0as ∨ a.b0av, nờn trong trường hợp này, tớnh phõn phối được giữ nguyờn. Từ đú chỉ cũn lại phải xột trường hợp khi r = 0 hoặc s = 0, cũn cỏc trường hợp khỏc thỡ khụng cần thiết do tớnh đối ngẫu.
2.3.8. Bổ đề. Giả sử rằng r = 0, u > 0. Thế thỡ a( bras∨ buav) = a .bras∨ a .buav. Chứng minh. Vỡ r = 0 nờn bras∨ buav = bpaq trong đú
p = c {- s ∧ (u – v)} - (-cs) ∧ (du – cv) q = d {- s ∧ (u – v)} - (-cs) ∧ (du – cv)
Trường hợp i) p = 0. Từ đú a( bras∨ buav) = aq+1
Khi đú p = 0 nếu và chỉ nếu -cs ∧ c(u – v) = c{-s ∧ (u – v)} = -cs ∧
(du – cv) vỡ –du – cv < cu - cv, giỏ trị nhỏ nhất chung phải là -cs và đẳng thức cú thể xảy ra nếu và chỉ nếu –cs ≤ du - cv. Trong trường hợp này, q = - ds + cs = snờn a( bras∨ buav) = as+1 . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hơn nữa chỳng ta cú a. bras∨ a. buav = as+1 ∨ bu-1av = byax trong đú x = d{-(s + 1) ∧ (u - 1 - v)} - {- c(s + 1) ∧ (du - d - cv)}
= d{- s ∧ (u – v)} – d -{-cs - (du – cv + c – d + d – d) – c}
= d(-s) – d -{(-cs) – c} = (c - d)(s + 1) = s + 1 vỡ du - cv + c – d > du – cv kộo theo –cs = (-cs) ∧ (du – cv) = (-cs) ∧ (du – cv + c – d) và tương tự, y = 0. Như vậy khi p = 0 bổ đề được chứng minh.
Trường hợp ii) p > 0. Khi đú – cs > du – cv nờn p = c{(- s) ∧ (u - v)} – (du – cv)} và q = d{(- s) ∧ (u - v)} - (du - cv) và a( bras ∨ buav ) = a. bpaq
= bq-1ap .Hơn nữa a. bras ∨ a.buav = as+1 ∨ bu-1av = byax trong đú y = c {(-s + 1)
∧ (u – 1 – v)} - { -c (s + 1) ∧ (du – d – cv)} = c{(-s) ∧ (u - v)} - c - {(-cs + d – c) ∧ (du – cv) – d }. Vỡ -cs > du - cv và d - c = -1, -cs + (d - c) ≥ du - cv nờn y = c{(-s) ∧ (u – v)} - (du – cv) - (c – d) = p - (c – d ) = p - 1. Tương tự , y = q. Từ đú trong trường hợp này bổ đề đó được chứng minh.
2.3.9. Định lý. Với mỗi số nguyờn dương n, nửa nhúm bicyclic B(a,b) là một nửa nhúm ngược ∨ - nửa dàn dưới quan hệ thứ tự bộ phận ≤ được xỏc định
bởi bras≤ byax ⇔ ( ) 1) {( 1) } y x r s n y nx n r ns ≤ + − − ≤ + − − và (
Dưới quan hệ thứ tự đú, 1 <bnan < a nhưng bn+1an+1≰ a.
Kết hợp lại ta nhận được kết quả sau:
2.3.10. Định lý. Ngoài bốn quan hệ toàn phần xỏc định trong Định lý 2.1.4, nửa nhúm bicyclic B thừa nhận hai họ vụ hạn quan hệ thứ tự bộ phận khỏc nhau biến B thành một nửa nhúm ngược ∨ - nửa dàn. Chỳng được xỏc định như sau cho mỗi số nguyờn dương n :
(i) bras ≤ byax nếu và chỉ nếu y ≤ x + x + (r - s) và (n - 1) y ≤ nx + (n - 1)r – ns; số nguyờn dương n = max{s : 1 < bsas < a}.
(ii) bras ≤ byax nếu và chỉ nếu y ≥ x + (r - s) và ny ≥ (n - 1)x + {nr – (n - 1)s} ; số nguyờn dương n = max{s : 1 < bsas < b}.
Từ Định lý 2.3.10 và nguyờn lý đối ngẫu trực tiếp suy ra:
2.3.11. Định lý. Ngoài bốn quan hệ thứ tự toàn phần nờu trong Định lý 2.1.4, nửa nhúm bicyclic B thừa nhận hai họ vụ hạn quan hệ thứ tự bộ phận ≤ khỏc nhau biến B thành nửa nhúm ngược ∧ - nửa dàn. Chỳng được xỏc định như sau cho mỗi số nguyờn dương n:
(i) bras ≤ byax nếu và chỉ nếu y ≥ x + (r - s) và (n - 1)y ≥ nx + {(n - 1)r – ns} ; số nguyờn dương n = max{ s : a < bsas < 1}.
(ii) bras ≤ byax nếu và chỉ nếu y ≤ x + (r - s) và ny ≤ (n - 1)x + {nr – (n - 1)s} ; số nguyờn dương n = max{s : b < bsas < 1}.
KẾT LUẬN
Luận văn đó trỡnh bày cỏc vấn đề sau đõy:
1. Hệ thống cỏc kiến thức về nửa dàn và dàn, nửa nhúm bicyclic và sự sắp thứ tự tương thớch trờn nửa nhúm.
2. Bốn thứ tự toàn phần tương thớch khỏc nhau trờn nửa nhúm bicyclic B = B(a,b).
3. Chứng minh chi tiết kết quả: ngoài bốn quan hệ thứ tự toàn phần, nửa nhúm bicyclic B thừa nhận hai họ vụ hạn quan hệ thứ tự bộ phận khỏc nhau biến B thành một nửa nhúm ngược ∨ - nửa dàn (Định lý 2.3.10) và kết quả đối ngẫu biến B thành một nửa nhúm ngược ∧ - nửa dàn ( Định lý 2.3.11).
Chỳng tụi đang tỡm hiểu cỏc quan hệ thứ tự bộ phận ≤ trờn nửa nhúm (ngược bicyclic) B = B(a,b) để (B, ≤) được sắp thứ tự phục tựng bờn trỏi (hay bờn phải) và bước đầu đó thu được vài kết quả quan tõm.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] A.H.Clifford and G.B.Preston (1979), Lý thuyết nửa nhóm (2 tập), Bản dịch của Hoàng Kỳ- Trần Văn Hạo, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội. [2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm, NXB Đại học Quốc gia Hà nội. [3] Lê Quốc Hán (2009), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm và lý thuyết nhóm,