Trước hết, ta chỳ ý rằng Mệnh đề 2.1.11 đưa ra cỏch xõy dựng khỏ rừ ràng cỏc vớ dụ về nún và xỏc định thứ tự bộ phận tương thớch trờn nửa nhúm bicyclic B. Chẳng hạn, nếu λ là một số nguyờn dương tuỳ ý, xột tập hợp C = C(λ) = {bras : s = 0 hoặc r ≥ s + λ}.
Thế thỡ hai tớnh chất đầu tiờn của một nún được thoả món. Đối với tớnh chất thứ ba cú thể sử dụng ỏnh xạ σφ: bras→ r - s là một đồng cấu từ B vào Z, với chỳ ý rằng C cú thể được mụ tả theo σφ như sau:
{ bras : s = 0 hoặc (bras)σφ ≤ - λ}
Giả thiết rằng cd = bras , x = aubv. Khi đú (cxd)σφ- (cd)σφ= (r - s) + (v - u) Từ định nghĩa của C suy ra s = v = 0: khi đú cxd = br + u,hoặc r - s và v + u là cỏc số nguyờn dương và ớt nhất một trong chỳng nhỏ hơn - λ, vỡ vậy (cxd)σφ ≤ - λ. Từ đú cxd ∈ C. Ta cú
bras≤ byax ⇔ s xx s, y (r s)≤< ≤ − + λy x (r s)≤ + −
hoặc và
hoặc
Như vậy, bras ≤ an nếu và chỉ nếu hoặc r ≤ n hoặc n ≥ 1. Núi riờng, aλ vượt trội cỏc luỹ đẳng nhưng bλaλ ≠ aλ−1. Hơn nữa nếu λ > 1 thỡ khụng tồn tại
phần tử byax nào thoó món b < byax < 1 nghĩa là khi λ > 1, quan hệ thứ tự bộ phận cú một đối nguyờn tử theo ý nghĩa của định nghĩa sau.
2.2.1. Định nghĩa. Giả sử ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận trờn B. Khi đú phần tử x được gọi là một đối nguyờn tử đối với quan hệ ≤ nếu thoả món hai điều kiện.
i) x < 1
ii) x bị phủ bởi 1, nghĩa là từ x < y ≤ 1 kộo theo y = 1.
Kết quả sau đõy chỉ ra rằng mọi nún chớnh được tạo thành từ một quan hệ thứ tự bộ phận trờn B đều cú một đối nguyờn tử.
2.2.2. Bổ đề. Giả sử K = K(bcad) trong đú c > d > 0 và giả sử ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận tương thớch trờn B. Thế thỡ bcad là một đối nguyờn tử.
Chứng minh. Giả sử rằng x = bras thoả món bcad ≤ x < 1. Thế thỡ x ∈ K
nờn theo Định lý 2.1.12, s ≤ d r s c d
−
−
. Hơn nữa, vỡ tớnh chất bảo toàn thứ tự
của σφ, cú d - c ≤ r - s ≤ 0. Do đú 0 ≤ r + s ≤ c - d. Nếu r - s < c - d thỡ r s c d − − = 0 nờn s = 0 và x = b r trong đú r > 0 vỡ x > 1. Nhưng khi đú bất đẳng thức bcad≤ x đưa đến bc-rad ∈ K và do đú
d ≤ d . c r s c d − − − = 0 vỡ r > 0.
Điều này mõu thuẫn với giả thiết d > 0. Như vậy r - s = c - d và s ≤ d, nờn x ≥ bcad = br+(d-r)as+(d-s) = br.bd-sad-s.as ≥ br. 1. as = x, vỡ bnan ≥ 1 ∀n. Từ đú x = bcad và bcad là một số đối nguyờn tử.
Trong luận văn này chỳng tụi quan tõm chủ yếu thứ tự bộ phận (chớnh) trờn B làm cho B trở thành một ∨ - nửa dàn nửa nhúm.
Trước khi chứng minh điều này, ta cần bổ đề đơn giản sau đõy mà chứng minh của chỳng phụ thuộc vào tớnh bảo toàn thứ tự của σφ.
2.2.3. Bổ đề. Giả sử ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận tương thớch trờn B với 1 < a, ba. Giả sử a ≤ x ≤ a, thế thỡ x là một luỹ đẳng. Nếu b ≤ y < 1 thỡ y = be với e ∈ B là một luỹ đẳng nào đú.
2.2.4. Mệnh đề. Giả sử ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận tương thớch trờn B trong đú 1 < a, ba. Nếu tồn tại một số dương n sao cho bnan ≠ a thỡ B cú một đối nguyờn tử dưới quan hệ ≤ . Đảo lại, nếu B là một ∨ - nửa dàn dưới quan hệ ≤ và cú một đối nguyờn tử thỡ đối nguyờn tử là duy nhất và bằng brar-1, trong đú r = max {s ∈ Z+: bras < a}
Chứng minh. Giả thiết rằng r = max {s ∈ Z+: bras < a} < ∞. Chỳng ta chỉ ra rằng bras-1 là một đối nguyờn tử cho quan hệ ≤. Giả sử bras-1≤ buav < 1. Thế thỡ theo tớnh chất bảo toàn thứ tự của σφ cú -1 ≤ v - u ≤ 0. Nếu u - v = 0 thỡ buav là một luỹ đẳng và bằng cỏch nhõn trỏi và nhõn phải với a chỳng ta nhận được bras≤ buav≤ a.
Theo tớnh chất cực đại của r, suy ra u = r và bởi vậy bras-1 = buas là một đối nguyờn tử.
Bõy giờ giả sử rằng buav là một đối nguyờn tử của quan hệ thứ tự bộ phận tương thớch với 1 < a, ba và nú biến B thành một ∨ - nửa dàn nửa nhúm. Thế thỡ u > v ≥ 0. Vỡ buav là một đối nguyờn tử nờn b ∨ buav hoặc bằng buav
hoặc bằng 1. Nếu b ∨ buav = buav thỡ u = v + 1 theo Bổ đề 2.2.3. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nếu b ∨ buav = 1 kộo theo au = au.(buav ∨ b) = au ∨ au -1. Nhưng điều này khụng thể được vỡ từ a > 1 kộo theo au > av, au-1. Từ đú u = v + 1 nờn đối nguyờn tử bất kỳ cú dạng bu+1au < a. Mặt khỏc, nếu bu+2au+2 < a thỡ nhõn bờn phải với b nhận được bu+2au+1 < 1, trong khi đú bu+1au < bu+2 au+1. Điều
này mõu thuẫn với bu+1au là một đối nguyờn tử. Từ đú max {s ∈ Z+: bsas < a} ≤ u + 1 < ∞.
Cuối cựng, tớnh duy nhất của đối nguyờn tử suy ra từ bx+1ax ≤ by+1ay nếu và chỉ nếu bxax≤ byay, nú xảy ra nếu và chỉ nếu x ≤ y.
Như vậy khụng thể cú nhiều hơn một đối nguyờn tử mà nú theo phần đầu của chứng minh trờn, phải là bras-1 với r = max {s ∈ Z+: bsas < a} < ∞.
Mệnh đề 2.2.4 chỉ ra sự tồn tại của đối nguyờn tử liờn quan chặt chẽ đến cận trờn cỏc luỹ đẳng. Định lý 2.2.6 sau này lại liờn quan đến điều kiện chuỗi tăng cỏc phần tử của B.
2.2.5. Bổ đề. Giả sử ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận tương thớch trờn B sao cho 1 < a, ba. Thế thỡ bras≤ buav kộo theo s - r ≤ v - u. Nếu s - r = v - u thỡ bras
≤ buav nếu và chỉ nếu r < v (hoặc tương đương r < u).
Chứng minh. bras ≤ buav kộo theo s - r ≤ v - u là một cỏch diễn đạt khỏc của tớnh bảo toàn thứ tự của σφ.
Giả thiết rằng s - r = v - u. Thế thỡ s < v kộo theo buav = br.bu-r.av-s.as ≥
br.1.as = bras.
Nhưng bras = buav kộo theo u = r, v = s. Do đú s < v kộo theo bras < buav. Tương tự bras < buav và s - r = v - u kộo theo s ≤ v vỡ nếu ngược lại sẽ dẫn tới buav < bras. Nhưng khi đú s = v kộo theo r = u. Vỡ vậy bras = buav. Từ đú bras
< buav kộo theo s < v.
2.2.6. Định lý. Giả sử ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận tương thớch trờn B với 1 < a, ba. Khi đú cỏc điều kiện sau đõy là tương đương:
i) Tập hợp { bnan : n ≥ 0} khụng cú cận dưới trong B. ii) Với mỗi n > 0, cú một luỹ đẳng e ∈ B với e ≠ an
iii) Với mỗi C∈ B, tập hợp {x ∈ B: x ≤ C} thỏa món điều kiện chuỗi tăng. iv) Tập hợp cỏc phần tử {x ∈ B: x ≤ 1} thỏa món điều kiện chuỗi tăng.
Chứng minh. Rừ ràng i) kộo theo ii)
Giả thiết cú ii) và giả sử x1 ≤ x2≤ … ≤ xn≤ … là một chuỗi tăng vụ hạn cỏc phần tử thuộc B bị chặn trờn bởi 0, trong đú xu = bruasu và c = bras. Thế thỡ vỡ σφ là một đồng cấu bảo toàn thứ tự nờn s1 - r1≤ s2 - r2 ≤ … ≤ s- r.
Từ đú do cỏc iđờan cuả Z điều là iđờan chớnh và tuõn theo điều kiện chuỗi tăng, nờn tồn tại cỏc số nguyờn m, k sao cho su - ru = k, ∀n > m. Kết quả là 1 ≤ arm xm+1bsm ≤ … ≤ armxm+nbsm ≤ ... ≤ arm cbsm ≤ arm+r= w, trong đú mỗi en=arm xm+nbsm là một luỹ đẳng. Nhưng vỡ sm - rm = sm+n - rm+m , xm ≤ xm+n kộo theo sm ≤ sm+n và rm ≤ rm+n. Từ đú eu = ev kộo theo xm+n=
m n m n
m n m n m m r s m m m m m n
r s r r s s r s r s
u v
b + a + =b a b + a + b a =b e a =b e a =xm+n. Bởi ii),tồn tại chỉ một số hữu hạn luỹ đẳng bộ hơn w. Như vậy chỉ cú một số hữu hạn cỏc thành phần khỏc nhau của tập hợp xm ≤ … ≤ xm+n ≤ … ≤ c và iii) đỳng.
Cũng rừ ràng là iii) kộo theo iv).Do giả thiết cú iv) và tập hợp {bnan: n ≥ 0} cú một cận dưới c = bras trong B. Thế thỡ 1 < ba < b2a2 < … < c = bras.
Nhõn biờn trỏi với ar và nhõn bờn phải với bs ta nhận được arbs ≤ … ≤
bsar = ar.br+s. ar+s . bs ≤ bs+1 ar+1 = ar.br+s+1 . ar+s+1 .bs ≤ br+2ar+2≤…≤ arbr .asbs =1. Vỡ {x ∈ B: x ≤ 1} tuõn theo điều kiện chuỗi tăng nờn suy ra rằng tồn tại số tự nhiờn n sao cho bs+mar+m = bs+nar+n với mọi m ≥ n. Nhưng khi đú, bằng cỏch nhõn bờn trỏi với as và nhõn bờn phải với br, chỳng ta nhận được bnan = bm am, mọi m ≥ n, điều này dẫn tới mõu thuẫn.
Cuối cựng chỳng ta chứng tỏ rằng cú đỳng một quan hệ thứ tự bộ phận tương thớch trờn B với 1 < a, ba khụng cú một đối nguyờn tử nào.
2.2.7. Định lý. Giả sử ≤ là một quan hệ thứ tự bộ phận tương thớch trờn B với 1 < a, ba và giả sử rằng B khụng cú một đối nguyờn tử nào dưới quan hệ ≤. Thế thỡ quan hệ thứ tự ≤ xỏc định bởi
bras≤ buav ⇔ − < −− = − ≤ s r v u s r v u s v hoặc hoặc và
Đảo lại, quan hệ thứ tự bộ phận trờn biến B thành nửa nhúm ngược được sắp thứ tự toàn phần với 1 < a, ba và khụng cú đối nguyờn tử nào. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Chứng minh. Thực chất bras ≤buav kộo theo hoặc s - r < v - u hoặc s - r = v - u và s ≤ v là một kết quả trực tiếp của Bổ đề 2.2.5.
Đảo lại, giả sử rằng cú quan hệ trờn. Ta chứng tỏ rằng bras ≤ buav. Trước hết, giả sử rằng s - r < v - u. Thế thỡ, vỡ bras ≤ buav nếu và chỉ nếu bras+n ≤ buav+n, chỳng ta cú thể giả thiết rằng s - r > 0. Thế thỡ ta cũng cú v - u > 0, và as-r ≤ av-u-1 vỡ s - r < v - u kộo theo s - r ≤ v - u - 1. Theo phần đầu của chứng minh Mệnh đề 2.2.4, vỡ B khụng cú đối nguyờn tử và ba > 1 ⇒
brar < a với mỗi r ≥ 0. Do đú bras = brar .as-r ≤ brar . av-u-1 ≤ a.av-u-1 = av-u ≤
bu.au.av-u = buav. Bõy giờ, giả sử rằng s - r = v - u và s ≤ u. Nếu s ≤ r thỡ bras
= br-sbsas≤ bu-vbvav = buav.
Mặt khỏc, nếu s > r thỡ do s - r = v - u, u - r = v - s ≥ 0 nờn s ≤ u và bras
= brar.av-u ≤ buau. av-u = buav. Điều đú chứng tỏ rằng ≤ được mụ tả như trong định lý. Để kết thức chứng minh chỳng ta chỉ cần chỳ ý rằng ≤ rừ ràng là thứ tự toàn phần và từ 0 = r – r < 1 = 1 - 0 cú brar < b0a1 = a, mọi r ≥ 0. Từ đú theo Mệnh đề 2.2.4, từ B là ∨ - nửa dàn nờn khụng cú đối nguyờn tử.
2.2.8. Định nghĩa. Nửa nhúm bicyclic B gọi là được sắp thứ tự theo kiểu từ điển nếu B cú quan hệ thứ tự bộ phận được mụ tả trong Định lý 2.2.7 (hoặc một trong ba quan hệ thứ tự toàn phần khỏc trong quỹ đạo của ≤ ).