11. Li cảm ơn
2.1.1 Lý thuyết Catastrophe (Catastrophe theory)
Lý thuyết Catastrophe (Catastrophe theory) được René Thom phát tri n vào những năm đầu thập kỷ 1970. Lý thuyết Catastrophe nghiên cứu những quá trình đột biến của một hệ và xếp loại các đột biến đĩ.
René Thom là nhà tốn học ngư i Pháp được giải thưởng Fields (tương đương giải thưởng Nobel trong tốn học) năm 1958 về những cơng trình xuất sắc trong tốn học. [1]. Lý thuyết Catastrophe cung cấp một cách nhìn và mơ tả thế gi i cĩ khả năng làm xuất hiện những đi m dị đồng giữa những hiện tượng và hình thái rất xa lạ của tự nhiên. [70]
Trong lý thuyết Catastrophe, René Thom đưa ra những khái niệm sau: 1. Mỗi đối tượng hay mỗi hình thái vật lý được mơ tả bởi một tập hút trong khơng gian trạng thái các biến số trong.
2. Đối tượng đĩ là ổn định, do đĩ chỉ nhận biết được trong trư ng hợp tập hút tương ứng cĩ cấu trúc ổn định.
3. Mọi tạo sinh hoặc hủy biến của hình thái (morphogenesis) cĩ th mơ tả bởi sự biến mất của tập hút trong trạng thái ban đầu đ được thay thế bởi tập hút m i. Quá trình này gọi là tai biến và được mơ tả trong khơng gian các biến số ngồi.
Đã cĩ nhiều cơng trình khoa học mà trong đĩ lý thuyết Catastrophe được áp dụng vào các đối tượng nghiên cứu như: nghiên cứu hoạt động của tim, hệ tuần hồn, quang hình học, quang lý học, phơi học, ngơn ngữ học, tâm lý học thực nghiệm, kinh tế, thủy động học, địa chất học và lý thuyết hạt cơ bản. Những cơng trình khoa học đã cơng bố cĩ sử dụng lý thuyết Catastrophe bao gồm: cơng trình nghiên cứu tính bền động của tàu bi n, mơ hình hĩa hoạt động của bộ ĩc và rối loạn tâm sinh lý...
Lý thuyết Catastrophe đưa ra một phương pháp nghiên cứu cho tất cả các hiện tượng cĩ bư c chuy n tiếp khơng đồng nhất, đứt đoạn, những thay đổi định tính, bất ng .
Những hiện tượng dễ dàng nhận biết bởi giác quan của chúng ta, chính là tập những đi m kỳ dị mà trong vật lý học ngư i ta gọi là những đi m t i hạn. Một ví dụ về những đi m t i hạn quen thuộc trong vật lý học: đĩ là những đi m t i hạn trong lý thuyết chuy n pha. Tại những đi m đĩ trạng thái của hệ đột biến, nĩi cách khác, hệ nhảy từ trạng thái này sang trạng thái khác một cách gián đoạn, như từ trạng thái lỏng sang trạng thái rắn. Những hiện tượng đột biến đĩ trong lý thuyết Catastrophe của René Thom được gọi là Catastrophe (tai biến). Chữ Catastrophe (tai biến) mà René Thom sử dụng ở đây chỉ cĩ ý nghĩa tốn học.
Tai biến ở đây được hi u là sự biến đổi khơng đồng nhất tức th i xuất hiện ở trạng thái đột biến qua sự phản ánh của hệ thống nghiên cứu trong sự thay đổi đều đặn của các điều kiện ngoại biên.
Lý thuyết Catastrophe cho rằng, trạng thái của hệ thống đang xem xét được điều khi n bởi một số hàm số thế năng mà đi m cực ti u cục bộ của nĩ tương ứng v i trạng thái ổn định.
Cĩ th chọn một vài hàm tương quan từ một số các hàm chính tắc, hay cịn được gọi là các tai biến sơ cấp được đề xuất bởi René Thom cho các hệ thống được nghiên cứu. Mơ hình “thực” của một hệ thống, cho dù cĩ dạng nào đi nữa thì cũng chỉ khác v i mơ hình (hàm số) chuẩn chính tắc bởi kết quả chuy n đổi hệ tọa độ, nghĩa là mơ hình thực cũng mang những tính chất tương tự như ở mơ hình chuẩn chính tắc.
Giả sử rằng, mơ hình hĩa một hệ động lực học nào đĩ được mơ phỏng dư i dạng phương trình vi phân:
1 2 n
dx
= df(x,c ,c ...c )
dt (2.1)
Trong đĩ, f là hàm biến đổi trạng thái của x và các tham số điều khi n
c1, c2... cn.
Tiếp tục giả thiết rằng, hệ động lực học này rất dễ và nhanh chĩng chuy n đổi trạng thái ổn định. Trạng thái ổn định này tương ứng v i một giá
trị cực ti u của hàm f, được xác định từ phương trình df 0
dx . Nếu các tham
số điều khi n c1, c2... cn khơng ngừng biến đổi, v i giá trị nào đĩ của chúng
hàm f sẽ đạt cực ti u m i mà ở đĩ hệ động lực học rơi vào trạng thái ổn định m i. Tương tự như vậy, các giá trị cực ti u khác của hàm f sẽ lại xuất hiện v i những giá trị khác của x và hệ động lực học lại chuy n sang trạng thái ổn định m i khác. Cho nên, điều hết sức quan trọng là nhận biết và xác định được các đi m đột biến (đi m t i hạn).
Trong lý thuyết Catastrophe đi m đột biến hay đi m t i hạn cực ti u
của hàm f tại đi m u (ứng v i một bộ giá trị nào đĩ của c1, c2... cn) được xác
định khi thỏa mãn điều kiện:
2 2 u u df d f 0; 0 dx dx (2.2)
Đây chính là điều kiện đảm bảo cho hoạt động của hệ động lực học tương ứng ở trạng thái ổn định. Cịn khi các giá trị ở (2.2) đều bằng 0, sẽ xác định được đi m uốn của hàm f mà tại giá trị này hệ động lực học đang chuy n từ trạng thái này sang trạng thái khác. Nĩi một cách khác, trạng thái động học của hệ động lực học bị thay đổi một cách đột biến. Khi thay đổi bộ tham số
điều khi n u (c1, c2... cn), hệ động lực học ở trạng thái ổn định ứng v i đi m
t i hạn, tức là đi m cực ti u của hàm f. V i một vài giá trị của u, hàm f cĩ th cĩ một cực ti u min (giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị cực ti u của hàm f), cĩ nghĩa là một trạng thái ổn định bền vững. Cũng cĩ th xảy ra trư ng hợp
hàm f cĩ một vài cực ti u min. Rõ ràng, khi tồn tại hai cực ti u min thì giữa chúng phải cĩ một cực đại. Như vậy, nếu hệ động học đồng th i cĩ hai trạng thái ổn định bền, tức là giữa chúng sẽ cĩ trạng thái ổn định khơng bền.
Đ hi u và nắm được bản chất của lý thuyết Catastrophe, cĩ th minh họa như sau: Trên một đư ng cong gấp khúc (hình 2.1) ở các vị trí khác nhau trên đư ng cong này, hịn bi A sẽ cĩ những trạng thái ổn định tức th i hoặc là khơng bền tức th i. Trong các trạng thái này, v i những tác động bên ngồi rất dễ làm cho hịn bi lăn sang vị trí khác như từ vị trí 1 sang vị trí 2, từ vị trí 2 về vị trí 3 và tại đây tính ổn định và bền vững của hịn bi sẽ cao hơn. Nhưng trạng thái ổn định này cũng chỉ mang tính nhất th i khi các tương tác bên ngồi khơng đủ l n đ làm cho nĩ chuy n qua vị trí khác. Do cĩ sự đột biến trong tương tác của các lực ngoại biên, hịn bi A rất cĩ th sẽ rơi vào trạng thái khác hoặc trở về vị trí 2, tại th i đi m này, tính ổn định hay bền vững của hịn bi đã bị thay đổi. Chính những sự thay đổi đột biến của trạng thái hay mức độ bền vững của hệ thống trong mơi trư ng hoạt động được gọi là lý thuyết Catastrophe.
Hình 2.1 Các trạng thái và vị trí tương đối của hịn bi A
3
2
1