Dương Trọng Luyện K29b toán 33
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn tâm 0 và hai điểm A, B nằm trên đường tròn đó, đường tròn sẽ bị chia cắt làm hai cung AmB và AnB. Ta xét cung AmB khi đó cung này được gọi là cung định hướng. Nếu các đầu mút có thứ tự A đựơc gọi là mút đầu, và B được gọi là mút cuối, hướng của cung
AmB là hướng chuyển động của điểm M nằm trên cung đó từ vị trí đầu đến vị trí trùng với điểm cuối.
Định hướng đường tròn (C) là chọn một trong hai hướng đi trên (C). Khi đã cho hai đường tròn định hướng (C) và (C‟) trên mặt phẳng P, chúng ta có khả năng nhận biết rằng ( C‟) được định hướng theo “ cùng hướng với (C) hay theo hướng ngược lại” .
Định hướng mặt phẳng (P) là chọn cùng một hướng đi trên tất cả các đường tròn của mặt phẳng, hướng này gọi là hướng thuận, thường người ta quy ước hướng thuận của phép quay trong mặt phẳng là hướng tương ứng với hướng ngược chiều quay của kim đồng hồ, hướng ngược lại gọi là hướng nghịch.
Hướng thuận cũng gọi là hướng dương hay hướng lượng giác, hướng nghịch còn lại gọi là hướng âm, và ký hiệu dương hay âm bởi dấu „+‟ hay „-„
Cung được gọi là cung dương nếu hướng của cung đó là cùng hướng với hướng dương của mặt phẳng.
Cung được gọi là cung âm nếu hướng của cung đó là hướng âm của mặt phẳng.
Ta gọi là giá trị số đo của cung định hướng AmB khi điểm M chuyển động từ A đến trùng với B thì giá trị của cung định hướng là AmB = và ta
thấy 0 0
0 ;360
,và ta có AnB 0 0 (360 ) 360
. Ta gọi là cung định hướng không là cung có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
Dương Trọng Luyện K29b toán 34
Nếu M chuyển động một số vòng rồi mới đến vị trí trùng với B thì ta có cung định hướng mở rộng và tập giá trị của số đo của cung định hướng là
AB 0 .360 ( ) hay 2 k k Z AB k kí hiệu: AB (mod 2 )
Một đường tròn mà trên đó mỗi cung đều có hướng xác định được gọi là đường tròn định hướng.
Đường tròn định hướng tâm 0 với bàn kính R=1 được gọi là đường tròn đơn vị (hay đường tròn lượng giác).
Ta nhận thấy giá trị của góc định hướng giữa hai tia 0A và 0B bằng giá trị của cung định hướng AB
(0 , 0 )A B sđ AB
3.2. Quan hệ của hai cung định hướng
Hai cung định hướng và được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng số đo. Được kí hiệu là (mod 2 )
Hai cung đinh hướng và là đối nhau nếu chúng ngược hướng và có cùng số đo kí hiệu là: (mod 2 ) .
Quan hệ bằng nhau của hai cung định hướng có tính chất: bắc cầu, phản xạ, và đối xứng hay nói cách khác quan hệ bằng nhau của hai cung định
Dương Trọng Luyện K29b toán 35
Nhận xét: Hai cung định hướng bằng nhau nếu chúng có hai điểm đầu
trùng nhau thì hai cung đó có điểm cuối trùng nhau.
Hai cung định hướng đối nhau nếu hai cung đó có chung điểm đầu và điểm cuối đối xứng nhau qua đường kính đi qua điểm đầu.
3.3. Các phép toán trên cung định hướng 3.3.1. Cộng hai cung định hướng
Cho hai cung định hướng và (số đo không vượt quá 2 về giá trị tuyệt đối). Tổng của hai cung đó là một cung định hướng (giá trị tuyệt đối của không vượt qua 2 ) được xác định như sau: Trên đường tròn định hướng ta đặt liên tiếp hai cung AB (mod 2 ) và cung BC (mod 2 ) , cung định hướng AC được xác định AC (mod 2 ) .Gọi là tổng của hai cung định hướng AB và BC kí hiệu là : AC = AB + BC (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
*Tính chất của phép cộng cung định hướng
Dương Trọng Luyện K29b toán 36 1) +0= 2) +(- )=0 3) 4) ( ) ( ) 5) 1. = 6) k.( ) . . (k R) 7) k.(l. ) ( . ). (l,k ) 8) (k+l). =k. . (l,k ) k k k l R l R
3.3.2.Hiệu của hai cung định hướng.
Hiệu của hai cung định hướng , , là một cung định hướng sao cho . Ta có thể viết , điều này có nghĩa là hiệu của hai cung đinh hướng và được xem là tổng của với cung đối của cung :
( )
3.3.3. Hệ thức Sa-lơ với cung định hướng
Trên đường tròn định hướng cho ba điểm A, B, C. Khi đó ta có hệ thức Sa-lơ : AB + BC = BC
Mở rộng hệ thức Sa-lơ
Trên đướng tròn định hướng cho n điểm A A1, 2,...,An. Khi đó ta có hệ thức Sa-lơ về cung định hướng:
1 2
A A + A A2 3 ... A An1 n = A A1 n
3.4. Một số vấn đệ liên quan đến những đối tượng hình học có hướng
3.4.1.Chiều quay của tam giác.
Định nghĩa: (phép quay phẳng) Trong mặt phẳng P giả sử đã định
hướng, cho một điểm 0 cố định và một góc định hướng ( góc lượng giác) , ta gọi là phép quay tâm 0 với góc quay trong mặt phẳng P kí hiệu là :
(0, )
Q hay Qo. Một phép biến hình của mặt phẳng biến điểm 0 thàng chính nó và biến điểm M 0thuộc mặt phẳng P thành điểm M‟ cũng thuộc mặt phẳng P xác định bởi hệ thức (0 M, 0M') (mod ) và 0M = 0M‟.
Dương Trọng Luyện K29b toán 37
Khi điểm M vạch nên một hình H thì điểm M‟, tương ứng của nó vạch nên hình tương ứng( hình biến đổi hay ảnh) của H trong phép quay đó, ký hiệu là : H’ = Q0( H ). Theo định nghĩa trên nếu ' (mod 2 ) thì
'
0 0
Q Q, bởi vậy ta chọn sao cho ( hay đôi khi 0 2. Chiều quay của tam giác ABC là chiều quay đi từ đỉnh A đến đỉnh B, tiếp đến đỉnh C. Ta thường dùng đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC để mô tả chiều quay của tam giác đó. Khi đó chiều quay của tam giác chính là chiều dịch chuyển của một điểm M xuất phát từ đỉnh A trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đến vị trí trùng với điểm B rồi đến vị trí trùng với điểm C.
Nếu chiều quay của tam giác ABC ngược với chiều kim đồng hồ thì tam giác ABC có chiều quay thuận hay chiều dương (h.1)
h.1
Nếu chiều quay của tam giác ABC cùng với chiều kim đồng hồ thì tam giác ABC có chiều quay nghịch hay chiều âm (h.2)
Dương Trọng Luyện K29b toán 38
H.2
Hai tam giác ABC và tam giác A‟B‟C‟ được gọi là cùng chiều nếu chiều quay từ A đến đỉnh B tiếp đến đỉnh C cùng chiều với chiều quay từ A‟ đến B‟ rồi đến C‟ (h.3)
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
H.3
3.4.2. Định nghĩa và phân loại phép dời hình a. Định nghĩa
Phép dời hình trong mặt phẳng là một quy tắc để với một điểm M có thể xác định một điểm M‟( gọi là tương ứng với M) sao cho nếu hai điểm M‟ và N‟ tương ứng với hai điểm M, N thì MN = M‟N‟
Dương Trọng Luyện K29b toán 39
b.Phân loại phép dời hình *Phép dời hình loại I
Định nghĩa: Nếu một phép dời hình trong mặt phẳng biến tam giác
ABC thành tam giác A‟B‟C‟ cùng chiều với tam giác ABC thì phép dời hình đó được gọi là phép dời hình loại I.
Ví dụ: các phép tịnh tiến, phép quay xung quanh một điểm trong mặt
phẳng là các phép dời hình loại I
*Phép dời hình loại II
Định nghĩa: Nếu phép dời hình trong mặt phẳng biến một tam giac
ABC thành tam giác A‟B‟C‟ ngược chiều với tam giác ABC thì phép dời hình đó gọi là phép dời hình loại II
Ví dụ: Các phép đối xứng qua một điểm, đối xứng qua một đường
thẳng đều là phép dời hình loại II
B4. ứng dụng định hướng trong mặt phẳng
1. ứng dụng định hướng trong mặt phẳng 1.4. Chứng minh tứ giác nội tiếp
a. Phương pháp
Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Khi và chỉ khi hai điểm bất kì trong 4 điểm đó nhìn hai điểm còn lai dưới những góc định hướng bằng nhau.
Như vậy để chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn ta sẽ đi vận dụng đến điều kiện cần và đủ để tứ giác nội tiếp theo góc định hướng giữa hai vectơ, giữa hai đường thẳng và hệ thức Sa-lơ về góc định hướng giữa hai đường thẳng.
Ví dụ 1. (bổ đề Miguel) Cho 8 điểm A, B, C, D, A‟, B‟, C‟, D‟. Chứng
minh rằng nếu 5 tứ giác ABCD, ABA‟B‟, BCB‟C‟, CDC‟D‟, ADA‟D‟ nội tiếp thì tứ giác A‟B‟C‟D‟ cũng nội tiếp đường tròn.
Dương Trọng Luyện K29b toán 40
Bài làm
Vì các tứ giác ABCD, ABA‟B‟, BCB‟C‟, CDC‟D‟, ADA‟D‟ nội tiếp nên ta có:
( , ) ( , ) (mod ) (AB,AA') (B'B,B'A) (mod ) ( ' , ' ') ( , ') (mod ) (CD,C'B') ( ', ' ') (mod ) AD AB CD CB C C C B BC BB DD D C
Cộng vế với vế của từng đẳng thức trên ta được:
( , ) (AB,AA')+(CD,C'B') ( , ) (B'B,B'A)+(DA,D'C') (mod ) (AD,A'D')+(CD,C'B') (CD,B'A')+(DA,D'C') (mod )
( , ' ') ( , ' ') ( , ' ') ( , ' ') (mod ) (D'C',AD)+(AD,A'D') ( ' ', ) ( AD AB CD CB DA D C AD A D CD B A CD C B C B CD CD , ' ') (mod ) ( ' ', ' ') ( ' ', ' ') (mod ) B A D C D A B C B A
Vậy tứ giác A‟B‟C‟D‟ nội tiếp đường tròn
Ví dụ 2: Cho bốn đường tròn S S1, 2, , S3 S4.Giả sử S S1, 2cắt nhau tại A‟ và A. S S2, 3cắt nhau tại B và B‟. S S3, 4 cắt nhau tại C và C‟. S S1, 4 cắt nhau tại D và D‟. Chứng minh rằng nếu 4 giao điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn (hoặc một đường thẳng) thì 4 giao điểm còn lại A‟, B‟, C‟, D‟ cùng nằm trên một đường tròn (hoặc cùng nằm trên một đường thẳng ) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài làm
Dương Trọng Luyện K29b toán 41 1 2 2 3 3 4 4 1 { , '} { , '} { , '} { , '} S S A A S S B B S S C C S S D D
*Nếu 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn ta có: 2 3 4 1 , ', ', ' , , ', ' , , ' ' , ', , ' A A B B S B C B C S C D C D S A A D D S
Theo ví dụ 1 ta có (D C D A' ', ' ')( 'B C B A', ' ') (mod ) nên suy ra 4 điểm A‟, B‟, C‟, D‟ cùng nằm trên một đường tròn hoặc cùng nằm trên một đường thẳng
Nếu 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng ta có A, A‟, B, B‟ cùng nằm trên đường tròn S2nên ta suy ra (AB A, A')(B'B,B'A') (mod ) (1)
B, C, B‟, C‟ cùng nằm trên đường tròn S3 nên ta suy ra ( ' ,C C C B' )(BC BB, ') (mod ) (2)
C, D, C‟, D‟ cùng nằm trên đường tròn S4nên ta suy ra (A'A,A'D')(DA,DD') (mod ) (3)
Dương Trọng Luyện K29b toán 42 ( ' ,A A A D' ')(DA D, D') (mod ) (4) Cộng từng vế với vế của bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có (AB A D, ' ') ( CD C B, ' ')(BC B A, ' ') ( DA D C, ' ') (mod ) (5) Vì 4 điểm A, B, C, D thẳng hàng nên ta có (5) ( , ' ') ( , ' ') ( , ' ') ( , ' ') (mod ) ( , ' ') ( , ' ') ( , ' ') ( , ' ') (mod ) ( ' ', ) ( , ' ') ( ' ', ) ( , ' ') (mod ) ( ' ', ' ') ( ' ', ' ') (mo AB A D CD C B AB B A CD D C AB A D AB B A CD D C CD C B B A AB AB A D C B CD CD D C B A A D C B D C d )
Do đó 4 điểm A‟, B‟, C‟, D‟ cùng nằm trên một đường tròn hoặc một đường thẳng
Ví dụ 3: Chứng minh rằng các điểm đối xứng với trực tâm H của tam giác
ABC qua các cạnh của nó nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó
Bài làm
Giả sử A B C1, 1, 1lần lượt là các điểm đối xứng với trực tâm H qua các cạnh BC, CA, AB Do AB CH BC AH
Dương Trọng Luyện K29b toán 43 Nên (AB BC, )(CH AH, ) (mod )
Vì tam giác AC H1 cân nên ta có 1 1
(AB BC, )(AC C C, ) (mod )
Do vậy 4 điểm A B C C, , , 1 cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Tương tự ta cũng chứng minh A B1, 1được cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Vậy 3 điểm A B C1, 1, 1nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
*Nhận xét
Với việc sử dụng góc định hướng giữa hai đường thẳng ta đã giải quyết được bài toán trên mà không cần phân biệt hai trường hợp là tam giác ABC nhọn và tam giác ABC là tam giác tù
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC với H là trực tâm của tam giác. Gọi M, N, P
lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.A B C1, , 1 1 lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CH. D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ các đỉnh A, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB. CMR: Chín điểm M, N, P , D, E, F, A B C1, 1, 1 cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn đó gọi là đường tròn Euler tức là đường tròn chín điểm
Bài làm:
Ta chứng minh ba điểm D, E, F nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác
MNP thật vậy: M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB nên ta có MN, NP, PM là ba đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra MM // AB, NP // BC, nên (MN NP, )(AB AC, )(PB PD, ) (mod ) (1)
Mà tam giác ADB vuông ở D có DP là trung tuyến suy ra: DP = BP = AP. Do đó tam giác BPD cân tại P nên ta có:
Dương Trọng Luyện K29b toán 44
Do vậy từ (1) và (2) suy ra (MN NP, )(DM DP, ) (mod )
M, N, P, D (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
cùng nằm trên một đường tròn, hay điểm D nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
Chứng minh tương tự ta có hai điểm E, F cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
Ta chứng minh ba điểm A B C1, 1, 1 nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
Ta có A1 là trung điểm của AH nên A P A N1 , 1 lần lượt là đường trung bình của tam giác ABH và tam giác AHC suy ra A P1 // BE, A N1 // CF nên ta có (A P A N1 , 1 )(BE CF, ) (mod ) (3)
Mặt khác ta có BEAC, CFABnên suy ra (BE,CF)(AC AB, )(MP MN, ) (mod ) (4) Từ (3) và (4) suy ra (A P A N1 , 1 )(MP MN, ) (mod )
Nên bốn điểm M, N, P, A1 cùng nằm trên một đường tròn hay điểm A1 nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP
Dương Trọng Luyện K29b toán 45
Chứng minh tương tự ta có hai điểm B C1, 1 cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
Vậy ta có 9 điểm M, N, P D, E, F, A B C1, 1, 1 cung nằm trên một đường tròn
1.4.2. ứng dụng định hướng trong chứng minh các đường tròn cùng đi qua một điểm
Phương pháp: Để chứng minh nhiều đường tròn cùng đi qua một điểm, ta
giả sử hai trong số các đường tròn đó cắt nhau tại P0.Ta sẽ lần lượt chứng minh các đường tròn còn lại cũng đi qua P0 hay P0 nằm trên các đường đó. Khi đó ta suy ra tất cả các đường tròn đó đều đi qua điểm P0
Để vận dụng định hướng trong chứng minh các đường tròn cùng đi qua một điểm ta sẽ vận dụng các kiến thức sau về góc định hướng:
Điều kiện cần và đủ về góc định hướng giữa hai đường thẳng để một tứ giác nội tiếp
Vận dụng hệ thức Sa-lơ về góc định hướng giữa hai đường thẳng
Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng
a. Các đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh liên tiếp và trung điểm của đường chéo đi qua đỉnh chung của hai cạnh đó là bốn đường tròn đồng qui
b. Các đường tròn Euler của bốn tam giác ABC, tam giác BCD, tam giác CDAvà tam giác DAB đồng qui.
c. NếuABCDE AD, BCF thì bốn đường tròn ngoại tiếp bốn tam giác ABF, tam giác ADE, tam giác CDE, tam giác CDF,đồng qui. Điểm đồng qui gọi là điểm Miquel(Miken)
Dương Trọng Luyện K29b toán 46
Gọi M, N, P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, AC, BD. Khi đó ta cần chứng minh bốn đường tròn ngoại tiếp bốn tam giác sau đồng qui: MFN, NEP, PFQ, MFQ
Thật vậy: Gọi giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác
MFN và tam giác NFP là I.
Ta có 4 điểm M, F, N, I cùng nằm trên một đường tròn nên: (IF IN, )(MF MN, ) (mod ) (1)
Ta lại có bốn điểm N, E, P, I cùng thuộc một đường tròn nên: