Giả sửx(t) thỏa mãn
¨
x= f(x,λ) (2.63)
trong đóλ là một tham số. Điểm cân bằng của hệ được xác định bởi f(x,λ) =
0, và nói chung vị trí của chúng phụ thuộcλ. Trong cơ học, một phần tử có
khối lượng có độ dịch chuyển x, f(x,λ) biểu diễn lực tác động của phần tử. Xác định hàmV(x,λ) từ f(x,λ) =−∂V/∂x với mỗi giá trị của λ; thì
V(x,λ) là thế năng trên một đơn vị khối lượng của hệ cơ học tương đương và các điểm cân bằng tương ứng với các giá trị gốc của thế năng. Như đã nêu ở Mục 2.3, ta mong một giá trị thế năng cực tiểu tương ứng với một điểm cân bằng ổn định, và các giá trị tĩnh khác (điểm cực đại và điểm uốn) tương ứng với một điểm cân bằng không ổn định. Thực tế,V là cực tiểu tạix=x1
nếu ∂V/∂x đổi dấu từ âm sang dương khi qua x1; nghĩa là f(x,λ) đổi dấu từ âm sang dương khi quax=x1. Nó hoạt động như một lực phục hồi.
Hình 2.28: Phác họa lược đồ pha ổn định biểu diễn đường cong ổn định cho các điểm cân bằng củax¨= f(x,λ).
Tồn tại một nghiệm thường biểu thị tính ổn định của các điểm cân bằng cho một hệ phụ thuộc tham số; trong đó cả giá trị và tính ổn định của các điểm cân bằng là khác nhau với mỗiλ. Ta giả sử f(x,λ) liên tục tạixvà λ. Vẽ các đường cong f(x,λ) trong mặt phẳng chứa x,λ; đường này biểu thị cho các điểm cân bằng. Các miền được bôi đậm thể hiện f(x,λ) >0 được biểu hiện trên Hình2.28. Nếu một đoạn của đường cong được tô đậm ở bên dưới tương ứng với các điểm cân bằng ở trạng thái ổn định, khiλ cố định, f
đổi dấu từ âm sang dương theo chiềuxtăng.
Đoạn in đậm giữa A và B tương ứng với các điểm cân bằng ổn định. A
vàB không ổn định: C cũng không ổn định khi f là dương trên cả hai phía vớiC; tính chất của các điểm cân bằng tại một giá trịλ có thể dễ dàng thấy được từ đồ thị; ví dụ khi choλ =λ0, bài toán có3điểm cân bằng, trong đó hai điểm là ổn định. A,B vàC được biết như các điểm chia nhánh (nút).
Với các giá trị λ khác nhau, các điểm cân bằng có thể chia ra làm hai hoặc nhiều hơn, hay một vài điểm cân bằng có thể hợp thành một điểm đơn.
Ví dụ 2.11. Một chuỗi chuỗi hạt trên một sợi dây nhẵn bán kính a có thể quay quanh một trục thẳng đứng với vận tốc góc không đổi ω. Xét sự ổn định của các hạt.
Hạt có một thành phần vận tốc tiếp tuyến với dâyaθ˙ và một thành phần vận tốc pháp tuyến (vuông góc) với dâyaωsinθ; trong đó θ là độ nghiêng của bán kính so với phương thẳng đứng, trong Hình2.29. Động năng T và thế năngV được cho bởi:
T = 1
2ma
2(θ˙2+ω2sinθ2), V =−mgacosθ.
Khi hệ có một điều kiện về dịch chuyển (đó là vận tốc của dây), năng lượng nói chung không được giữ lại. Phương trình Lagrange của bài toán là
d dt( ∂T ∂θ˙)−∂T ∂ θ =−∂V ∂ θ, vớiaθ¨ =aω2sinθcosθ−gsinθ.
aθ¨ =aθ˙dθ˙
dθ =gsinθ(λcosθ −1). Sau khi tích phân ta được phương trình các đường cong pha
1 2a
˙
θ2 =g(1−1
2λcosθ)cosθ+C.
Từ (2.63), từ (i): f(θ,λ) = gsinθ(λcosθ−1)
a .
Các điểm cân bằng được cho bởi f(θ,λ) =0, nó thỏa mãn khi sinθ = 0
hoặc cosθ =λ−1. Từ chu trình của bài toán, θ =π;θ =−π là các trạng thái cân bằng của bài toán.
Hình 2.29: Hạt trên một dây quay.
Các miền f <0;f >0phân bởi đường cong f =0và có thể định vị. Do đó, kiểm tra được dấu của các điểm cụ thể; ví dụ, f(1
2π,1) =−g/a<0 . Hình 2.30 biểu hiện tính ổn định hay không ổn định của các vị trí cân bằng của hạt. Điểm A điểm phân nhánh, và cân bằng là ổn định. Nó có hình dạng như một cáithìa phân nhánh (dĩa). Lược đồ pha của bài toán có thể xây dựng như Mục 2.3 khi cố định các giá trị củaλ. Hai trường hợp được biểu hiện trên Hình 2.31. Chú ý rằng chúng khẳng định sự dự đoán tính ổn định của Hình 2.30.
Hình 2.30: Lược đồ pha ổn định cho một hạt trên một sợi dây quay.
Hình 2.31: Lược đồ pha điển hình cho phương trình chuyển động của hạt θ¨ = (g/a)sinθ(λcosθ−1)cho trường hợp (a)λ <0; (b)λ >0vớia=gtrong cả hai trường hợp.