Nói chung, phương trình có dạng ¨
x= f(x,x˙) (2.38)
không sinh ra từ các hệ bảo toàn, nên ta hi vọng nó là mô hình hóa của các hiện tượng mới. Hệ đơn giản nhất như vậy là dao động tuyến tính với giảm tốc tuyến tính, có phương trình
¨
x+kx˙+cx=0, (2.39)
trong đóc>0,k>0. Phương trình dạng này mô tả một hệ lò xo- khối lượng với một van điều tiết song song (Hình 2.15(a)); hoặc điện tích trên tụ điện trong một mạch có chứa điện trở, điện dung và điện cảm (Hình 2.15(b)). Trong Hình 2.15(a), lực lò xo là tỷ lệ thuận với độ giãn x của lò xo, và lực giảm tốc, hoặc ma sát, tỷ lệ thuận với vận tốc x˙. Do đó, theo định luật Newton,
mx¨=−mcx−mkx˙,
trong đócvàktương ứng là độ cứng của lò xo và hệ số ma sát trong các van điều tiết. Vì sự ma sát tạo ra nhiệt, là loại năng lượng không có khả năng phục hồi nên hệ không phải hệ bảo toàn. Đây cũng là mô hình của rất nhiều hệ dao động khác. Chúng ta sẽ chỉ ra các đặc trưng quen thuộc của các dao động tắt dần trên mặt phẳng pha.
Phương trình (2.39) là một phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số hằng, ta đã biết cách giải như ở Chương1.
Đặt
k2−4c=∆, (2.40)
là biệt thức của phương trình đặc trưng. Các đặc tính vật lý của chuyển động phụ thuộc vào tính chất của tham số∆ này như sau:
Hình 2.15:(a) Khối điều khiển bởi một lò xo và giảm tốc. (b) Xả của một tụ điện thông qua một mạch(L,R,C).
Giảm tốc mạnh (∆>0)
Khi đó p1 và p2 là thực, phân biệt và âm (p1, p2là nghiệm của phương trình (2.39)), nghiệm tổng quát là
x(t) =Aep1t+Bep2t; p1 <0,p2 <0. (2.41) Hình 2.16 (a) cho thấy hai nghiệm điển hình. Không có hiện tượng dao động và đồ thị cắt trụct tối đa một lần.
Hình 2.16: (a) Nghiệm theo thời gian tắt dần trong trường hợp giảm tốc mạnh. (b) Lược đồ pha tại nút ổn định.
Để thu được phương trình vi phân của các đường cong pha, ta viết ˙ x=y ˙ y=−cx−ky. (2.42)
hệ này có một điểm cân bằng, tại(0,0) và phương trình đường cong pha là:
dy
dx =−cx+ky
Đây là phương trình vi phân thuần nhất, ta có thể tích phân được. Tuy nhiên ta có thể tìm nghiệm theo tham sốt như sau: từ (2.41), ta có y=x˙,
x=Aep1t +Bep2t, y=x˙=Ap1ep1t +Bp2ep2t, (2.44)
vớiAvàB hằng số cho trước. Các đường cong pha trong Hình 2.16(b) được vẽ với các giá trị của k>0 và c>0. Cho thấy một kiểu mới của điểm cân bằng, gọi là một nút ổn định. Tất cả đường cong pha bắt đầu ở vô cực và
chấm dứt tại gốc. Điều này có thể nhận thấy bằng cách đặt t = ±∞ vào (2.41). Giảm tốc yếu (∆<0) Các số mũ p1 và p2 là phức với phần thực âm, p1,p2=−1 2k± 1 2i p (−∆), trong đói=√ −1. Biểu thức x(t) =Aep1t +Bep2t, (2.45)
cho ta nghiệm tổng quát và nói chung là hàm phức. Để nhận đượcnghiệm thựctừ (2.45), ta đặt: A= 1 2Ce iα, vớiα là thực vàC =2|A| , và B=A¯ = 1 2Ce −iα,
ở đóA¯ là số phức liên hợp của A. Khi đó (2.45) trở thành
x(t) =Ce− 1 2ktcos{1 2 p (−∆)t+α}; C vàα là các số thực tùy ý vàC>0.
Hình 2.17:(a) Nghiệm theo thời gian trong trường hợp giảm tốc yếu. (b) Lược đồ pha tại một xoắn ốc ổn định cho thấy chỉ là một đường cong pha.
dao động với tần số (−∆)1/2/(4π) và biên độ giảm theo hàm mũ Ce−
1 2kt. Hình ảnh của nó trên mặt phẳng pha được biểu thị trong Hình 2.17(b). Toàn bộ lược đồ pha sẽ bao gồm một họ các xoắn ốc tương ứng với các nghiệm theo thời gian khác nhau.
Điểm cân bằng tại gốc được gọi là mộtxoắn ốc ổn địnhhoặctiêu điểm ổn định.
Giảm tốc tới hạn (∆=0)
Trong trường hợp này p1 = p2 =−1
2, và các nghiệm được cho bởi
x(t) = (A+Bt)e−
1
2kt, (2.46)
vớiAvàB các hằng số thực tùy ý.
Các nghiệm tương tự như trường hợp giảm tốc mạnh, và lược đồ pha cho thấy một nút ổn định.
Chúng ta cũng có thể xem xét trường hợpk vàcâm:
Giảm tốc âm (k<0,c>0)
Thay vì năng lượng bị thoát khỏi hệ do ma sát thì ở đây năng lượng được tạo ra trong hệ. Nút hoặc xoắn ốc trong trường hợp này không ổn định, vì các hướng là ra ngoài (xem Hình 2.18). Mỗi nhiễu nhỏ từ trạng thái cân bằng đều dẫn hệ ra xa trạng thái cân bằng (xem Hình 2.18).
Lò xo với độ cứng âm (c<0,k có giá trị bất kì)
Hình 2.18: Lược đồ pha cho (a) Nút không ổn định (k<0,∆>0), (b) Xoắn ốc không ổn định (k<0,∆<0) cho thấy chỉ một đường cong pha.