2.4.Phương pháp sử dụng các định lý của Số học Bài 1: Giải phương trình với nghiệm nguyên dương: xy z =2 (1)
2.6.Phương pháp xuống thang
Phương pháp chung: Dựa vào tính sắp thứ tự tốt của tập hợp các số tự nhiên (Mọi tập con khác rỗng các số tự nhiên đều có số nhỏ nhất) để chọn nghiệm không âm nhỏ nhất. Phương pháp này đã được Euler sử dụng khi nghiên cứu phương trình Fermat với n= 4. Nói chung phương pháp này thường dùng để chứng minh phương trình vô nghiệm nguyên. Nội dung: Giả sử phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương a, sau đó ta xây dựng được một nghiệm nguyên dương khác nữa là b với b nhỏ hơn a. Từ đó suy ra phương trình đã cho vô nghiệm trong tập các số nguyên dương.
Bài tập. Với giá trị nguyên dương nào của n, thì phương trình
2 2 1
x + y + =nxycó nghiệm nguyên dương.
Giải. Do x,y > 0, nên theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: x2 + y2 ≥2xy, Từ đóx2+ y2 + ≥1 2xy với mọi x, y > 0.
Vì thế khi n = 1, n = 2, thì phương trình x2 + y2 + =1 nxychắc chắn không có nghiệm dương, tức là không có nghiệm nguyên dương.
Với n = 3,thì phương trình đã cho chắc chắn có nghiệm nguyên dương, vì chẳng hạn (1,1) thỏa mãn phương trình: x2 + y2 + =1 3xy
Bây giờ xét khi n nguyên và n > 3. Ta sẽ chứng minh rằng khi đó phương trìnhx2+ y2 + =1 nxy không có nghiệm nguyên dương.
Thật vậy, giả sử điều ấy không đúng, tức là tồn tại k nguyên > 3 mà phương trình: x2+ y2 + =1 kxy có nghiệm nguyên dương. Gọi P là tập hợp nghiệm nguyên dương của (1), tồn tại số nguyên dương (x0,y0) sao cho x0 + y0 là bé nhất. Rõ ràng x0 ≠ y0, vì nếu x0 = y0, thì từ (1) ta có: 2x02 + =1 kx02⇒ x k02( − =2) 1 2 0 1 3 2 1 x k k = ⇒ ⇒ = − = Ta gặp điều vô lí, do k > 3.
Vì vai trò của x0, y0 là như nhau, nên không giảm tổng quát có thể cho là x0 < y0. Xét phương trình: 2 2
0 0 1 0
y −kx y x+ + =
Rõ ràng y0 là 1 nghiệm của (2) (vì (x0,y0) là một nghiệm của (1)). Gọi y1 là nghiệm thứ hai của (2). Theo định lí Viete, thì:
(1)
0 1 02 2 0 1 0 1 x y kx y y x + = = +
Do (3) suy ra y1 nguyên, còn do y0 > 0, nên từ (4) suy ra y1 nguyên dương. Lẽ dĩ nhiên do y1 là nghiệm của (2), và y1 nguyên dương, nên (x0,y1) là
nghiệm nguyên dương của (1), tức (x0,y1) ∈ P. Vì thế theo cách xác định (x0,y0) suy ra: 0 1 0 0 x + ≥ +y x y Mặc khác, từ (4) ta có: 2 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 x x y x x y y y y + = = + < + < +
(do y0 > x0 ≥ 1, chú ý là x0 nguyên dương)
Vì y1 và x0 + 1 đều là nguyên, nên từ y1 < x0 + 1 suy ra y1 ≤ x0. Từ đó ta có y1 < y0 (do y0 > x0). Vì thế:
Bây giờ từ (5) và (6) suy ra mâu thuẫn. Vậy giả thiết phản chứng là sai. Tóm lại, n = 3 là giá trị nguyên dương duy nhất để phương trình
2 2 1
x + y + =nxy có nghiệm nguyên dương.■
(3)(4) (4)
(5)
KẾT LUẬN
Nội dung luận văn gồm hai chương ngoài các phần: Mục lục, mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo.
Chương 1 giới thiệu sơ lược về phương trình nghiệm nguyên đa thức hay phương trình Diophante, trong đó điểm qua một số phương trình Diophantine đặc biệt: Phuơng trình Pythagore, Phương trình Fermat. Ngoài ra, trong chương 1 luận văn giới thiệu một số phương pháp tiếp cận giải quyết bài toán về phương trình Fermat: Phương pháp quy nạp lùi vô hạn; Phương pháp ứng dụng đường cong hữu tỉ; phương pháp chứng minh giả thuyết Shimura - Tanayama về các đường cong Elliptic của Andrew Wiles.
Chương 2 giới thiệu một số phương pháp giải các phương trình nghiệm nguyên đa thức, thông qua những bài tập cụ thể.