Phương pháp chung: Chọn các môđun thích hợp sau đó sử dụng lý thuyết chia hết để ràng buộc các điều kiện của nghiệm.
Bài 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 9x + 2 = y2 + y .
Giải. (Sử dụng mod 3) Viết lại phương trình thành : 9x + 2 = y(y + 1) (1) Ta thấy vế trái của (1) là số chia cho 3 dư 2 nên y(y + 1) chia cho 3 dư 2. Nếu y chia hết cho 3 hoặc y chia cho 3 dư 2 thì y(y +1) đều chia hết cho 3, trái với kết luận trên.
Do đó y chia cho 3 dư 1. Đặt y = 3k +1 (k ∈ Z) thì y + 1 = 3k + 2. Khi đó ta có:
⇔ 9x + 2 = (3k + 1)(3k + 2)
⇔ 9x + 9k(k + 1)
⇔ x = k(k + 1)
Thử lại x = k(k + 1) và y = 3k + 1 thoả mãn phương trình đã cho.
Vậy nghiệm nguyên của phương trình (1) là x = k(k + 1) và y = 3k +1 (k ∈Z).■
Bài 2. Chứng minh rằng các phương trình sau không có nghiệm nguyên : a) x2 – y2 = 2006 (1)
Giải . a) Số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1. Do đó x2, y2 chia cho 4 chỉ có số dư 0 hoặc 1. Suy ra x2 – y2 chia cho 4 có số dư 0, 1, 3. Còn vế phải 2006 chia cho 4 dư 2. Vậy phương trình (1) không có nghiệm nguyên.
b) x2, y2 chia cho 4 có số dư 0, 1 nên x2 + y2 chia cho 4 có số dư 0, 1, 2. Còn vế phải 2007 chia cho 4 dư 3.
Vậy phương trình (2) không có nghiệm nguyên.■
Bài 3.Cho p là nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng phương trình
( 1 !) p
p p
x + y = p p −
không có nghiệm nguyên.
Giải. Giả sử trái lại phương trình đã cho có nghiệm nguyên (x0, y0), tức là:
( 1 !) p
p p
x + y = p p −
Vì x0, y0 nguyên và p là số nguyên tố, nên ta có theo định lí Fermat nhỏ ta có (x0p −x0)Mp và (y0p − y0)Mp, hay (x0p ≡ x0(mod )p ; (y0p ≡ y0(mod )p .
Từ đó suy ra: (x0p + y0p) (≡ x0 + y0)(mod )p
Mặt khác, từ (1) ta có: (x0p + y0p)Mp Vì thế từ (2) và (3) đi đến: 0 0 0 0 (x + y ) 0(mod )≡ p ⇒ ≡ −x y (mod )p Do p là số lẻ, nên ta có: 1 2 2 1 0p 0p ( 0 0)( 0p 0p 0 ... 0 0p 0p ) x + y = x + y x − +x − y + + x y − + y − Từ (4) và (5) suy ra: 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 (x p + y p)≡ (x + y )(y p− + y p− + +... y p− ) (mod ) p , Hay: (1) (3) (4) (5) (6) (2)
[ ]
0 0 0 0
(x p + y p)≡ p x( + y ) (mod )p
Bây giờ từ (3) và (6) suy ra:
20p 0p 0(mod ) 0p 0p 0(mod )
x + y ≡ p (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Rõ ràng [(p−1)!]pkhông chia hết cho p nên suy ra:
( 1 !) p 0(mod 2)
p p − ≠ p
Từ (1), (7) và (8) suy ra mâu thuẫn. vậy giả thiết phản chứng là sai, tức là phương trình xp + yp = p p( −1 !) p không có nghiệm nguyên.■
2.4.Phương pháp sử dụng các định lý của Số họcBài 1: Giải phương trình với nghiệm nguyên dương: xy z= 2 (1)