x ρ là ρ lớp tương đương chứa Khi đó S
2.3. Dàn phân phối của các nửa vành k-Archimede
Trong phần này chúng tôi trình bày đặc trưng nửa vành là dàn phân phối của các nửa vành k -Archimede.
Sự mô tả tương đẳng dàn phân phối nhỏ nhất đưa đến định nghĩa sau.
2.3.1. Định nghĩa. Một nửa vành S trong ΣΛ+ được gọi là nửa vành k- Archimede nếu với mọi a,b∈S có b∈ SaS, hay tương đương: S = SaS, ∀a ∈ S.
2.3.2. Chú ý. Theo Bổ đề 2.1.12, một nửa vành S là k-Archimede nếu và chỉ nếu nếu với mọi cặp phần tử a,b ∈S, tồn tại n∈¥ và x∈S sao cho bn + xax = xax.
Trước hết, chúng tôi trình bày đặc trưng các nửa vành S mà đối với chúng σ =ρ, nghĩa là σ bắc cầu. Khi đó tương đẳng dàn phân phối nhỏ nhất trên S được cho bởi η= σ ∩ σ -1.
2.3.3. Bổ đề. Giả sử S là một nửa vành tuỳ ý và b, c ∈ S thoả mãn b + c = c. Khi đó với mọi n∈¥ có bn + cn = cn.
Chứng minh. Quy nạp theo n. Khi n = 1, kết luận theo đúng theo giả thiết. Giả sử có bn + cn = cn. Khi đó bn+1+ cn b = cn b và bằng cách cộng hai vế vào đẳng thức cuối cùng ta nhận được bn+1 + cn (b + c) = cn (b + c). Thay b + c bởi c
vào, ta có bn + 1 + cn +1 = cn +1.W
2.3.4. Bổ đề. Đối với nửa vành S tuỳ ý trong ΣΛ+ các điều kiện sau đây tương đương:
(1) σ bắc cầu;
(2) b ∈SaS kéo theo b ∈ 2
Sa S , ∀a, b∈S;
(3) ab, ba ∈ 2
Sa S , ∀a, b ∈S; (4) SaS ∩ SbS ⊆ SabS , ∀a, b∈S; (5) SaS ∩ SbS = SabS , ∀a, b∈S;
(6) A là một k – iđêan của S đối với mỗi k – iđêan A của S;
(7) SaS là một k – iđêan của S đối với mỗi a∈S.
Chứng minh. (1) ⇒ (4) Đối với c∈ SaS ∩ SbS có m,n ∈ ¥ và x,y ∈S sao cho cm + xax = xax và cn + yby = yby. Chúng ta có thể giả thiết rằng n ≥ m và tiến hành lập luận như trong phép chứng minh Bổ đề 2.2.5 (6) để nhận được z∈ S sao cho cn + zaz = zaz và cn + zbz = zbz. Thế thì cn + zbz = zbz kéo theo c2n+ zbz cn = zbz cn từ đó c2n + zbz (cn + zaz)= zbz(zn + za). Điều này chứng tỏ rằng c2n
+ zbz2az = zbz2ac, nghĩa là bz2aσc. Vì abσ bz2a theo Bổ đề 2.2.5 nên c ∈ SbS , suy ra từ tính chất bắc cầu của S.
(4) ⇔(5). Từ SabS ⊆ SaS ⊆ SaS nhận được SabS⊆ SaS.Điều này kéo theo
(5) ⇒ (2). Điều này suy ra từ SaS⊆ SaS ⊆ Sa S2 ' .
(2) ⇒(1). Nếu aσ b và bσ c thì bm ∈SaS và cn ∈SbS với m, n∈¥ nào đó. Như vậy, đối với 2k≥m ta có 2k
b ∈SaS và từ đó Sb S2k ⊆ SaS vì SaS là k-
iđêan theo Bổ đề 2.2.6 (1). Hơn nữa , cn ∈SbS kéo theo (cn)l = cnl ∈ Sb S2 đối với
l∈¥ nào đó do (2). Bằng cách lặp lại phép suy luận này ta nhận được j∈¥ nào đó sao cho cj∈Sb S2k điều này chứng tỏ c ∈ SaS nghĩa là aσc .
(1) ⇒(6). Giả sử A là một k-iđêan của S và u, v∈ A. Thế thì tồn tại n∈¥
sao cho un +a = a và vn +a = a với a ∈ A nào đó, vì A là một iđêan của S và (S,
+) là một nửa dàn. Điều này chứng tỏ rằng un, vn∈ Ik(a) và từ đó u, v ∈ I ak( )=
'
SaS , nghĩa là aσ u và aσ v. Thế thì theo Bổ đề 2.2.6, có a = (a + a)σ (a+v) và ( a+v) σ(u + v). Do tính bắc cầu của σ suy ra aσ (u + v), nghĩa là u + v ∈ SaS
⊆ A. Do đó ( A, +) là một nửa nhóm con của (S, +). Đối với s∈S, có as∈A vì
A là iđêan của S. Từ σ = σ *= ρ ta nhận được asσ us do Bổ đề 2.2.6. Điều này
chứng tỏ rằng us∈ S(as)S ⊆ A. Đối ngẫu, su∈ A nên A là một iđêan của S.
Giả sử s∈S và u∈ Asao cho s + u = u. Thế thì có c ∈ A và l∈¥ sao cho ul + c = c. Thế thì j n nl+ =l l keo theo sl+ c = c, từ đó s ∈ A. Như vậy A là một k-
iđêan của S. (6)⇒ (7). Suy ra từ Bổ đề 2.2.6 và (2). (7)⇒ (3). Giả sử a ∈S. Thế thì 2 Sa S là một iđêan của S và a∈ 2 Sa S kéo theo (3)
(3)⇒ (2). Nếu b∈SaS thì b + xax = xax với x∈S nào đó. Do (3) ta có ax2 ∈ 2
Sa S , nghĩa là tồn tại y∈S và n ∈¥ sao cho (ax2)n + ya2y = ya2y. Khi đó bn + 1
+ (xax)n + 1 = (xax)n + 1 = x(ax2)ax kéo theo bn + 1 + x ((ax2)n + ya2y)ax = x ((ax2)n
+ ya2y)ax = xy a2yx ∈ Sa2S. Điều này chứng tỏ rằng b∈ 2
Sa S .W Bây giờ ta chứng minh định lý chính của chương này
2.3.5. Định lý. Giả sử S là một nửa vành trong đa tạp ΣΛ+. Khi đó các điều kiện sau đây tương đương:
(1) S là một dàn phân phối của các nửa vành k – Archimede;
(2) S là một nửa vành luỹ đẳng của các nửa vành k – Archimede; (3) S thoả mãn các điều kiện của Bổ đề 2.3.4.
Chứng minh. (1)⇒ (2). Hiển nhiên (vì nửa dàn phân phối là một nửa vành luỹ đẳng).
(2)⇒ (3). Giả sử S là một nửa vành luỹ đẳng T =Sπ của các nửa vành k - Archimede St, t∈T. Để chứng minh (2) trong Bổ đề 2.3.4 giả sử a, b ∈ S thoả
mãn b + xax = xax với x ∈ S nào đó. Vì π là tương đẳng nửa vành luỹ đẳng trên S nên aπ a2 và do đó xax π xa2x. Từ đó tồn tại t∈T nào đó sao cho xax, xa2x ∈ St, và St là một nửa vành k – Archimede. Do đó (xax)n + sxa2xs = sxa2xs với s∈St và
n ∈¥ nào đó. Từ đó b + xax = xax nhận được bn +(xax)n = (xax)n và do đó bn + sxa2xs = sxa2xs ∈ Sa2S. Điều này chứng tỏ rằng b∈ Sa S2 .
(3)⇒ (1). Giả sử σ bắc cầu và η= σ ∩ σ -1 là tương đẳng dàn phân phối nhỏ nhất trên S. Do T = Sη là một dàn phân phối và do đó mỗi η- lớp Stlà một nửa vành con của S. Để chứng minh Stlà k- Archimede giả sử a,b ∈St . Thế thì theo Bổ đề 2.2.5(6), an + xbx = xbx và bn + xax=xax với x∈ S và n∈¥ nào đó. Do đó
an +2 + a2 xbx= a2 xbx, từ đó a∈ SaxS, nghĩa là axσa. Vì a σ ax theo Bổ đề 2.2.5(1) nên aηax. Do đó ax∈ St và xa ∈ St suy ra từ đối ngẫu ta lại có an + xbx = xbx kéo theo an + 2 + axbxa = axbxa. Như vậy a ∈ '
t t
S bS và từ đó '
t t tS = S bS