x ρ là ρ lớp tương đương chứa Khi đó S
2.2.3. Nguyên tắc ảnh đồng cấu tối đại kiểu đã cho áp dụng vào nửa vành Giả sử C là một lớp nửa vành Ta xem một nửa vành trong C là một C-nửa
vành. Giả sử C là một lớp nửa vành. Ta xem một nửa vành trong C là một C-nửa vành. Một nửa vành S được gọi là một dàn phân phối của các C - nửa vành nếu tồn tại một tương đẳng ρ trên S sao cho S
ρ là một dàn phân phối và mỗi ρ-
lớp là một nửa vành trong C. Tương tự ta định nghĩa một nửa vành luỹ đẳng của các C - nửa vành và một chuỗi của các C - nửa vành. Một nửa vành S là một nửa vành luỹ đẳng nếu cả hai thu gọn trên phép cộng hay phép nhân là một băng. Trong chương này, mỗi nửa vành luỹ đẳng được giả thiết rằng khi xét trên phép cộng là giao hoán.
Ta nhắc lại rằng: Lớp ν các đại số cùng kiểu K được gọi là đa tạp các đại số
K nếu ν đóng kín đối với phép lấy đại số con, ảnh đồng cấu và tích trực tiếp. Giả sử ΣΛ+ là đa tạp các nửa vành (S, +, .) mà (S, +) là một nửa dàn. Giả sử S là một nửa vành trong đa tạp ΣΛ+.Khi đó theo Nguyên tắc ảnh đồng cấu tối
đại kiểu đã cho của Tamura và Kimura, tồn tại tương đẳng nhỏ nhất η trên S sao
cho Sη là một dàn phân phối. Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày cách xây dựng tương đẳng η đó.
2.2.4. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa vành trong ΣΛ+. Ta xây dựng một quan hệ hai ngôi σ trên S như sau với mỗi cặp a, b∈S.
a σ b ⇔b ∈ SaS ⇔ ∃n∈¥ : bn ∈SaS.
Trước hết ta nhận xét rằng với mỗi a∈S, có a3∈SaS ⊆ SaS nên a σ a, vậy σ phản xạ. Từ đó bao đóng bắc cầu ρ σ= ∗ là phản xạ và bắc cầu nên quan hệ đối xứng η ρ ρ= ∩ −1 là một quan hệ tương đương trên S. Ta chứng minh rằng đối với mỗi nửa nhóm S trong ΣΛ+ tuỳ ý, quan hệ η là tương đẳng dàn phân phối nhỏ
nhất trên S.
Trước hết, ta chứng minh một số bổ đề.
2.2.5. Bổ đề. Giả sử S là một nửa vành trong ΣΛ+. Với mọi a,b,c ∈S và n∈¥ , ta có.
(1) Nếu (a + ab)η a thì :
a σab, aσ ba, abσbca và (a + ab)σ a, aσ (a + ab). (2) Nếu aηa2 thì a2σ a và aσ a2.
(3) Nếu abηba thì abσ ba.
(4)Nếu abηbab thì babσ ab và abσ bab. (5) Nếu abηanbn thì an bnρab và abρanbn .
(6) Nếu σ bắc cầu thì aηb⇔an + xbx = xbx và bn + xax= xax với x ∈ S và n
∈¥ nào đó.
Chứng minh. (1) Suy ra từ (ab)2 ∈ SaS, (ba)2 ∈SaS, (bca)2 ∈SabS, a3 + a(a + ab)a = a(a + ab)a, nghĩa là a3∈S(a+ab)S và (a + ab)3 + (a + a2 + a2b + ab +
aba + abab + b + ba)a( a + a2 + a2b + ab + aba + abab + b + ba) = (a + a2 + a2b + ab + aba + abab + b + ba)a(a + a2 + a2b +ab + aba + abab + b + ba), nghĩa là (a + ab)3 ∈SaS.
(2) a4∈ Sa2S kéo theo (a2, a)∈σ ⊆ ρ và(a,a2) ∈σ ⊆ ρsuy ra từ (1).
(3) Từ (ab)2 ∈ SbaS kéo theo (ba,ab) ∈σ ⊆ ρ và (ab,ba) ∈σ ⊆ ρ suy ra
đối ngẫu.
(4) (ab)3 ∈ SbaS chứng tỏ rằng (b(ab),ab) ∈σ ⊆ ρ và (ab,b(ab))∈σ ⊆ ρ
suy ra từ (1).
(5) Chứng minh quy nạp theo n.
Vì với n = 1 điều phải chứng minh là rõ ràng và a2b2ρab suy ra với tính chất
bắc cầu của ρ từ (1), (2), (3), (4) theo a2b2 = a(ab2) σ (ab2)aσ b2a σ b(ab) σ ab. Chúng ta hãy xét n≥ 2. Thế thì:
an+1 bn+1 = a(an bn+1) σ (an bn+1) a σ anbn+1 = (anbn)bσ b (b(anbn) σ anbn
và tính bắc cầu của ρ dẫn đến hệ thức thứ nhất trong (5). Vì các phát biểu đối
xứng trong (3) và (4) đối với σ nên ta cũng nhận được hệ thức thứ hai trong (5). (6) Nếu σ =σ * = ρ thì η= σ ∧ σ -1. Do đó a ηb kéo theo an + yby = yby và
bm + zaz = zaz với y, z ∈S và n, m ∈¥ nào đó. Chúng ta có thể giả thiết rằng n〉
m. Thế thì bn +bn-mzaz = bn-m zaz, và với x = y + bn-m z + z ta nhận được an + xbx = xbx và bn + xax = xax. Điều ngược lại là rõ ràng. W
Trong bổ đề sau đây ta chứng tỏ rằng ρ tương thích với phép cộng và phép
nhân.
2.2.6. Bổ đề. Đối với một nửa vành S trong ΣΛ+ và mọi a, b, c ∈ S có (1) aσ b kéo theo acρbc và caρcb;