x là một phần hệ tham số của A, với mọi j≤ min { dm ,} và với mọi số
2.3.1 Định nghĩa Một R-môđun Arti nA được gọi là môđun đối Buchsbaum
nếu Amlà Rm-môđun đối Buchsbaum, với mọi iđêan cực đại m∈SuppA.
Rõ ràng rằng, nếu A là môđun đối Cohen-Macaulay thì A là môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng và đối Buchsbaum. Cho JA là giao của tất cả những iđêan cực đại thuộc tập Supp A, với mỗi hệ tham số x⊆JA, đặt
( ; ) R(0:A ) ( ; )
I x A =l xR −e x A và ( ) sup ( ; ),I A = x I x A
trong đó cận trên lấy trên tất cả các hệ tham số x của A trong JA. Khi đó xuất hiện câu hỏi sau: Liệu rằng tính đối Buchsbaum của A có tương đương với tính hằng số của số hàm I (x;A), với mọi hệ tham số x của A hay không?
Đáng tiếc rằng, câu trả lời lại là phủ định (xem Ví dụ 2.3.3). Mệnh đề sau cho ta một lớp môđun Artin thỏa mãn câu trả lời khẳng định cho câu hỏi trên.
2.3.2 Mệnh đề. Giả sử SuppA={m1,...,mr} và A = A1⊕ . . . ⊕Ar, trong đó0 0 (0: mn) j A j n A >
=U , với mọi j = 1, . . . , r. Khi đó, nếu A là môđun đối Buchsbaum và N-dim A = d hoặc j J A = 0, với mọi j ≤ r thì I(x; A) là hằngA j
số (không phụ thuộc vào x) với mọi hệ tham số x của A.
Chứng minh. Cho x là một hệ tham số bất kỳ của A. Nếu N-dim Aj = d thì x là hệ tham số của Aj và ( ; )I x Aj =I A( )j vì Aj ≅ Amj là môđun đối Buchsbaum.
Nếu N-dim Aj = 0 thì (0:l Aj xR)−e x A( ; )j =l( )Aj vì J A =0.A j Do đó -dim -dim 0 ( ; ) ( ) ( ) . = = = ∑ + ∑ l = j j j j N A d N A I x A I A A C W
Chú ý rằng điều ngược lại của Mệnh đề 2.3.2 là không đúng nếu ta bỏ qua điều kiện về chiều của các môđun con Aj, với mọi j ≤ r. Ví dụ sau đây minh họa cho điều này.