Các định nghĩa khái niệm “giới hạn của dãy số“.

Có hai quan điểm trình bày định nghĩa này :

- Định nghĩa bằng ngôn ngữ “

ε

- Định nghĩa dới dạng mô tả bằng ngôn ngữ thông thờng đợc đa vào từng bớc nh sau, giảm nhẹ mức độ trừu tợng của khái niệm.

0 Định nghĩa “giới hạn 0 của dãy số”: “Dãy số (un ; n=1,2,3…) gọi là dần đến 0 hay có giới hạn 0 khi n→∞, nếu  un càng nhỏ khi n càng lớn, tức là có thể nhỏ bao nhiêu tuỳ ý miễn là chọn đợc n đủ lớn. Kí hiệu limn→∞Un= 0 hoặc Un →0 khi n→∞”.

Định nghĩa này cha đảm bảo tính chính xác của một định nghĩa khái niệm, nhng với tính chất mô tả vì vậy giúp học sinh bớc đầu hình thành đúng khái niệm giới hạn 0 của dãy số.

1 Bớc 2: Định nghĩa gới hạn L của dãy số (Un).

“Dãy số (Un ; n=1,2,3…) gọi là dần đến L (L ∈R) hay có gới hạn L khi n→∞ nếu limn→∞(Un- L)=0. Kí hiệu limn→∞ Un =L hoặc Un →L khi n→∞ ”.

Qua sự phân tích trên ta thấy cần phải có sự thống nhất giữa các quan điểm trên để học sinh lĩnh hội đợc khái niệm. Ngoài đảm bảo tính vừa sức thì tính logic đúng đắn cũng giúp các em có sự nhận thức rõ ràng và sâu sắc hơn.

Nh vậy, quá trình tổ chức cho học sinh lĩnh hội khái niệm này cần đợc tổ chức thực hiện qui nạp nh sau :

Trớc hết ta đi từ ví dụ trong sách giáo khoa “xét dãy số Un=

n n

3 1 1

3 + ”. Bằng

việc tổ chức cho các em biểu diễn dãy số và nhận xét khoảng cách từ điểm Un đến toạ độ 1. Qua các thao tác s phạm cần thiết giáo viên cần nêu bật đợc mặt

logic của khái niệm một cách trực quan nhất sau đó đi tới định nghĩa. Một sự tất yếu là học sinh lần đầu gặp một rắc rối nh trên không khỏi bối rối là “làm sao mà nhớ đợc”.

Nắm vững đợc tâm lý trên, trớc hết giáo viên cần nói ngay là không đòi hỏi các em phải nhớ ngay định nghĩa. Điều các em cần chú ý là. Trớc hết phải nắm vững nội dung và ý nghĩa của nó.

Một số L nào đó đợc gọi là giới hạn của dãy số (Un) nếu khoảng cáchUn- L từ Un tới L nhỏ bao nhiêu tuỳ ý miễn là n đủ lớn. ở đây có hai điểm cần chú ý. Một là, N tồn tại với mọi ε cho trớc có nghĩa là N phụ thuộc vào ε. Hai là,Un- a

< ε phải đợc thoả mãn với mọi n >N. Cụm từ trong ngoặc đơn(nhỏ bao nhiêu tuỳ ý) thực ra là không cần thiết. Nhng đó là ví dụ mở đầu nên nh thế là để so sánh hình ảnh trực quan làm chỗ dựa cho nhận thức ban đầu về giới hạn.

Sau đó cần củng cố bằng các ví dụ đơn giản sẵn có trong sách giáo khoa.

2.3. Định nghĩa khái niệm “giới hạn của hàm số“.2.3.1. Vấn đề sử dụng ngôn ngữ trình bày khái niệm. 2.3.1. Vấn đề sử dụng ngôn ngữ trình bày khái niệm.

ở thpt, khái niệm giới hạn của hàm số đợc các tác giả trình bày theo hai ngôn ngữ khác nhau là “dãy” và “ε, δ”.

Ngôn ngữ “ε,δ”: “Ta nói rằng hàm số y=f(x) dần tới L (hoặc có giới hạn L khi x dần tới a, nếu mọi số dơng cho trớc ε(nhỏ bao nhiêu tuỳ ý), ta có thể tìm đ- ợc một số dơng δ (Delta) sao cho khi 0 <x-a <δ thìf(x)- L<ε. Kí hiệu limx→af(x)=L”.

Cách phát biểu này đảm bảo về tính chính xác và tổng quát theo tinh thần ở đại học. Tuy nhiên, việc trình bày định nghĩa khái niệm này một cách chính xác và tổng quát nh trên lại không đảm bảo tính vừa sức học sinh. Ngôn ngữ “ε,

δ” khá trừu tợng và khó tiếp nhận, tới mức một số nớc cấm dùng ngôn ngữ này trong trình bày cho học sinh. Các tác giả đã trình bày khái niệm theo ngôn ngữ “dãy” các cách phát biểu có thể khác nhau nhng nhìn chung đều dảm bảo “tính

chính xác về khoa học” và cũng không kém trừu tợng hơn so với ngôn ngữ “ε,δ”. Tuy nhiên, nó dựa trên khái niệm giới hạn dãy số đã đợc định nghĩa trớc đó cùng với sự mô tả đã làm cho học sinh dễ tiếp nhận hơn mà thôi bởi tính kế thừa của nhận thức.

0 Sự khác nhau trong vấn đề chọn dãy xn→xo trong sách giáo khoa.

Có sự khác nhau trong vấn đề chọn dãy và mức độ yêu cầu để hàm số y=f(x) có giới hạn khi x→xo.

- Về tập xác định của hàm số f(x) để xét giới hạn x→xo, sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000 đã trình bày không chỉ rõ yêu cầu của f(x) xác định trong một lân cận nào đó của điểm xo, nhng sách ban A. THCB lại yêu cầu f(x) xác định trong một lân cận nào đó của xo và có thể không xác định tại xo.

- Trong các tài liệu việc yêu cầu xn→xo và xn ≠ xo thì có khi không có điều kiện thứ hai. Nhng trong các sách giáo khoa khác các tác giả đã trình các yêu cầu xn ≠ xo, đó là điều cần thiết bởi ta có thể làm rõ qua ví dụ để thấy đợc.

Ví dụ : Xét    = ≠ = 0 x nếu 1 0 x nếu sinx f(x)

Nếu không yêu cầu x ≠ xo ta chọn dãy f(xn) :













=

lẻ

n

nếu

0

chẵn

n

nếu

n

1

x

n

Thì limn→∞ xn=0. Nhng với n lẻ thì f(xn)→1 nhng f(xn)→0 khi n chẵn. Do đó limx→0f(x) không tồn tại.

Nhng nếu ta yêu cầu xn → xo và xn ≠ xo thì dễ thấy tồn tại limx→0f(x) và limx→0f(x)=0. Khi học sinh làm việc với ví dụ này, các em dễ phân biệt đợc sự khác nhau giữa hai khái niệm limx→0f(x) và giá trị của f(0) của hàm số. Tác dụng của điều kiện xn ≠ xo là làm nội bật đợc bản chất của khái niệm hơn với điều kiện xn ≠ xo trong định nghĩa.

Ví dụ 2:

Tìm giới hạn của hàm số f(x)= x+1+1 khix→-1. Theo chơng trình THCB thì cần có lân cận của -1 nhng f(x) ở đây lại không xác định trong một lân cận nào của -1 do đó không thể tồn tại limx→-1f(x). Ngợc lại sách sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000 không yêu cầu lân cận cho nên ta chọn dãy bất kỳ xn→-1; xn>-1 thì ta có ngay limx→-1f(x)=1.

Qua trên ta thấy xu thế hiện nay các SGK PTTH, khái niệm “giới hạn của hàm số” đợc định nghĩa bằng nhiều cách khác nhau, do đó sẽ dẫn tới sai lầm của học sinh trong hiểu biết về khái niệm dẫn tới khó khăn và sai lầm trong ứng dụng vào bài tập.

Với định nghĩa khái niệm trong sách giáo khoa các em chỉ có câu trả lời đúng trong trờng hợp hàm số xác định trong khoảng chứa xo, trờng hợp hàm số xác định trong đoạn có đầu mút xo thì không giải đợc.

Tuy nhiên, định nghĩa trong sách giáo khoa chỉnh lí hợp nhất năm 2000 khiến cho học sinh đồng nhất ngoại diên của khái niệm với ngoại diên khái niệm một phía của hàm số tại xn ≠ xo. Thực tế thì giới hạn một phía chỉ là một phần trong khái niệm giới hạn hàm số, có nghĩa là có ngoại diên rộng hơn.

Với định nghĩa trong SGK của Ngô Thúc Lanh học sinh phải có bớc dự đoán kết quả rồi áp dụng đĩnh nghĩa để chứng minh và việc tìm số δ theo ε quả là không hề đơn giản, thực tế ngay cả với sinh viên đại học. Vì vậy giải pháp đặt ra là đảm bảo đợc tính chính xác vừa đảm bảo tính s phạm.

Với chơng trình hiện hành của sách giáo khao có một điểm chú ý là học sinh yêu cầu phải hiểu là :

limx→x0f(x)=a ⇔ limx→xo+f(x)=limx→xo− =a.