Việc xây dựng ma trận nghiệm cơ bản cũng được tiến hành như trong Mục 2.1.3 trong trường hợp một phương trình. Định lý sau đây chỉ ra rằng ma trận nghiệm cơ bản sẽ được mô tả qua nghiệm của bài toán Cauchy với dữ kiện trên các siêu phẳng x.ξ = p.
Định lý 2.6. Nếu mỗi ut(x) và tất cả đạo hàm cấp < mt triệt tiêu trên một siêu phẳng x.ξ = p, thì phần tử Kji(x, y) của ma trận nghiệm cơ bản của phương trình (2.56) có dạng
Kji(x, y) = (∆y)(n+k)/2Wji(x, y) (2.59)
trong đóWji(x, y) là các hàm giải tích được xây dựng tương tự như trước đây trong (2.10), k = 1 nếu n lẻ và k = 2 nếu n chẵn.
Chứng minh. Vì mỗi ut(x) và tất cả đạo hàm cấp < mt triệt tiêu trên một siêu phẳng x.ξ = p, nên trên siêu phẳngx.ξ = pphương trình (2.56) đưa được về dạng Qij(x, ξ) ξα ∂ ∂xα mj [uj(x)] = Bi(x). (2.60)
Từ (2.57) và từ (2.60) ta xác định được các đại lượng sau
ξα ∂ ∂xα mj h uj i , (2.61)
ta có thể gọi chúng là đạo hàm theo hướng pháp tuyến của uj cấp mj. Trong biểu thức trên chỉ số j được gạch dưới có nghĩa rằng ta không lấy tổng theo j.
Gọi Qit(x, ξ) là các phần tử ma trận nghịch đảo của ma trận của Qit,
thì với siêu phẳng x.ξ = p ta có ξα ∂ ∂xα mj uj(x) = Qji(x, ξ)Bi(x). (2.62)
Ở đây định lí Cauchy-Kowalewski được áp dụng khi Bi(x) là các hàm giải tích trong lân cận của một điểm x của siêu phẳng x.ξ = p. Khi đó ta có thể tìm được một hệ nghiệm uj(x) của (2.56), với uj cùng với các đạo hàm cấp < mj của nó triệt tiêu trên siêu phẳng x.ξ = p.
Trong trường hợp đặc biệt ta có thể xét hệ phương trình Lit h vtj(x, ξ, p) i = δij (2.63)
với vkj và tất cả các đạo hàm của chúng theo x, cấp < mj triệt tiêu trên siêu phẳng x.ξ = p. Hàm vkj (x, ξ, p) là thuần nhất bậc 1 theo ξ và p. Nếu các hệ số của Lik là giải tích trong lân cận của điểm gốc, vjk sẽ là giải tích theo j, x, ξ, p trên tập hợp cho bởi (1.36) với một số dương ε
nào đó. Hơn nữa, ta có thể viết
vij(x, ξ, p) = (x.ξ −p)mi
wij(x, ξ, p) (2.64)
ở đây wij là giải tích theo x, ξ, p trên tập hợp cho bởi (1.36). Khi đó từ phương trình (2.63) cho ta
mi!Qit(x, ξ)wjt (x, ξ, x.ξ) = δij (2.65)
hay
wji (x, ξ, x.ξ) = 1
mi!Q
ij (x, ξ). (2.66)
Tương tự với (1.40) ta có hệ phương trình
Vji(x, ξ, p) =− x.ξ−p Z 0 g(t) ∂ ∂pv i j(x, ξ, t+p)dt (2.67)
ở đây g(s) là hàm được xác định bởi (2.9). Khi đó ta có
Lit h Vtj(x, ξ, p) i = δijg(x.ξ −p). (2.68) Ta ký hiệu Wji(x, y) = Z Ωξ Vji(x, ξ, y.ξ)dωξ. (2.69)
Bây giờ ta xét ma trận Kji(x, y) = (∆y)(n+k)/2Wji(x, y). Cũng như trước ta có Wji(x, y) =rmj+k Aij(x, y, r, ζ) + Bji(x, y, r, ζ) logr
với x −y = rζ. Ở đây Aij và Bji là hàm giải tích đối với các biến của chúng, và Bji = 0 với n lẻ. Tương ứng Kji có dạng
Kji(x, y) = rmj−n
A0ji(x, y, r, ζ) +Bj0i(x, y, r, ζ) logr
.
Ta có Kji(x, y) là dạng nghiệm giải tích của
LithKtj(x, y)i = 0 (2.70)
với x 6= y và |x−y| đủ nhỏ. Đặc biệt hơn với hệ hàm số fj(y) thuộc lớp
C1 ta có Lit Z D fj(y)Ktj(x, y)dy = fi(x). (2.71)
Từ đó suy ra Kji(x, y) = (∆y)(n+k)/2Wji(x, y) là nghiệm cơ bản của
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày các vấn đề sau
• Khái niệm hàm sóng phẳng và công thức biểu diễn hàm số bất kỳ qua các hàm sóng phẳng.
• Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic với các dữ kiện Cauchy được cho trên siêu phẳng.
• Cách xác định nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính thông qua việc giải bài toán Cauchy và đưa ra công thức nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích.
• Mô tả cấu trúc nghiệm cơ bản của phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích.
• Ma trận nghiệm cơ bản của hệ phương trình elliptic tuyến tính với hệ số là các hàm giải tích.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song do thời gian và năng lực có hạn, nên chắc chắn luận văn không tránh khỏi được những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong muốn được sự đóng góp ý kiến và nhận xét để luận văn được trình bày một cách đầy đủ và hoàn thiện hơn, đồng thời tác giả cũng có thêm kinh nghiệm để tiếp tục nghiên cứu sau này.
Tài liệu tham khảo
[1] Fritz John (1955), Plane Waves and Spherical Means, Springer- Verlag, New York Heidelberg Berlin.
