Cho ut(x) là các hàm của x, t = 1,2, ...N và x = (x1, , ...xn). Lit là tập hợp các toán tử tuyến tính với i, t = 1, ...N với các hệ số là hàm giải tích của x. Gọi mt là cấp cao nhất của đạo hàm xuất hiện trong Lit[ut]. Do đó một số toán tử Lit có cấp là mt, một vài toán tử Lit còn lại có hệ số của số hạng cấp cao nhất có thể triệt tiêu.
Ta có Lit được xác định như sau
Lit(x, D)ut = N X t=1 mt X k=0 X i1,...,ik =1,...,n aiti1...ik(x) ∂ kut ∂xi1...∂xik. (2.54)
Dưới đây nếu trong biểu thức có chỉ số lặp thì ta quy định rằng sẽ lấy tổng theo chỉ số lặp đó.
Tương ứng với mỗi Lit này và với ξ = (ξ1, ξ2, ..., ξn) ∈ Rn ta đặt
Qit(x, ξ) = X
i1,...,imt
=1,...,n
aiti1...imt(x)ξi1ξi2...ξimt. (2.55)
Khi đó ta có
Định nghĩa 2.3. Ta gọi Qit(x, ξ) là các biểu trưng chính của toán tử
Lit, nó có bậc là mt theo ξ và một vài Qit(x, ξ) có thể triệt tiêu. Khi đó
Q(x, ξ) = det[(Qit(x, ξ))N×N]
là định thức của ma trận trên và được gọi là đa thức đặc trưng của hệ toán tử Lit.
Định nghĩa 2.4. Xét hệ phương trình có dạng
Lit[ut] = Bi(x),(i = 1, ..., N). (2.56)
Khi đó nếu
Q(x, ξ) 6= 0 với ∀ξ 6= 0 (2.57) và với mọi x thuộc miền được xét thì hệ phương trình trong (2.56) được coi là hệ phương trình elliptic tuyến tính.
Nhận xét 2.9. Với việc (2.56) là hệ phương trình elliptic tuyến tính thì ta có P
tmt là số chẵn khi n > 1.
Nhận xét 2.10. Để xây dựng ma trận nghiệm cơ bản của hệ phương trình elliptic tuyến tính (2.56) là ta đi xây dựng ma trận [Ktr(x, y)] sao cho các phương trình sau đây được thỏa mãn
Lit[Ktr(x, y)] = δirδ(x−y) (2.58)
ở đây δir là các ký hiệu Kronecker, δ(x−y) là hàm Dirac.