6. Bố cục của luận văn
2.2. Phương pháp số Euler – Cauchy[5]
Thực chất phương pháp Euler – Cauchy cũng là phương pháp Euler cải tiến. Tuy nhiên sự khác biệt là khi tính yi ta dung công thức (6.3). nhiều lần để đạt được
độ chính xác cao hơn. Cụ thể từ h b a,x0 a n
−
= =
ta tính các Xi = Xi−1+h
Từ điề kiện ban đầu y0 = y(x0), cho trước δ >0, với i =1,2,….. ta thực hiện thuật toán sau:
- Bước 1:
(2.34)
Nếu v u− <δ thì ta chọn yi = v, ngược lại ta đặt u = v và tính lại (b).
Người ta chứng minh được rằng với h đủ bé thì quá trình lặp (2.34) hội tụ. Vì vậy nếu sau ba bốn lần lặp mà vẫn không đạt được sự trùng nhau đến mức đòi hỏi của các gần đúng liên tiếp thì cần giảm bước h và làm lại từ đầu.
… - Bước i: (2.35) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 , , , 2 a u y hf x y h b v y f x y x u = = = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 1 , , , 2 i i i i i i a u y hf x y h b v y f x y x u − − − − − − = = = + +
Người ta chứng minh được rằng với h đủ bé thì quá trình lặp (2.35) hội tụ. Vì vậy nếu sau ba bốn lần lặp mà vẫn không đạt được sự trùng nhau đến mức đòi hỏi của các gần đúng liên tiếp thì cần giảm bước h và làm lại từ đầu.
Ta có thể mô tả thuật toán Euler – Cauchy để cài đặt trên máy tính theo các bước sau:
a. Thuật toán cho một lần chia khoảng duy nhất.
Nhập a, b, y0, δ và n. Đặt ( )0 0 b a, 0 h x a n − = = ta tính các xi = xi-1 + h.
Từ điều kiện ban đầu y0 = y(x0), với i = 1,2,…ta thực hiện thuật toán như (2.34)
và (2.35).
b. Thuật toán cho nhiều lần chia khoảng.
- Bước 0 : Nhập a, b, y0, n, kmax và ε. Đặt Với i = 1,2,…tính các ( )0 i y theo (2.34) và (2.35). - Bước 1: Đặt Với i = 1,2,…tính các ( )0 i y theo (2.34) và (2.35). Tính d1=max y2( )1i −y0( )1 ,i=0,1,2,...,n
Nếu d < ε thì dừng thuật toán và lấy mẫu (x0,y0), (x1,y0),…(x2n,y2n) làm nghiệm sấp xỉ. ( )0 ( )0 0 b a, 0 , 0 0 h x a y y n − = = = ( )1 ( )1 0 1 , 0 , 0 0 2 h h = x =a y =y
Nếu điều trên đây không xẩy ra thì chuyển qua bước 3. - Bước k : Đặt Với i = 1,2,…tính các theo (2.34) và (2.35). Tính ax 2( )k (k 1) , 0,1,2,..., .2k 1 k i i d =m y −y − i = n −
Nếu d < ε thì dừng thuật toán và lấy mẫu (x0,y0), (x1,y0),…(xN,yN) trong đó N
= n.2
k
làm nghiệm sấp xỉ.
Nếu thì thông báo phép lặp chưa hội tụ và cũng dừng thuật toán.
Nếu 2 điều trên đây không xẩy ra thì chuyển qua bước (k+1).
2.3. PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH THỰC NGHIỆM TAGUCHI [19]
+ Bối cảnh ra đời
- Kỹ thuật đặt ra các điều kiện thí nghiệm liên quan đến nhiều yếu tố, lần đầu tiên được đề xuất bởi người Anh, Sir RAFisher. Phương pháp này thường được gọi là thiết kế thừa của thí nghiệm.
Một thiết kế hoàn toàn thừa sẽ xác định tất cả các kết hợp có thể cho một tập hợp các yếu tố. Vì hầu hết các thí nghiệm công nghiệp thường liên quan đến một số lượng đáng kể các yếu tố, một kết quả thiết kế thừa đầy đủ trong một số lượng lớn các thí nghiệm. ( ) ( ) 1 0 0 0 , , 2 k k k k h h = − x =a y = y ( )k i y max k k≥
Để giảm số lượng các thí nghiệm để một mức độ thực tế, chỉ có một nhóm nhỏ từ tất cả các khả năng được chọn.
Phương pháp lựa chọn một số lượng hạn chế của các thí nghiệm trong đó sản xuất các thông tin mới nhất được biết đến như một thử nghiệm phần một phần.
Mặc dù phương pháp này được biết đến, không có hướng dẫn chung cho ứng dụng của nó hoặc phân tích các kết quả thu được bằng cách thực hiện các thí nghiệm.
Taguchi xây dựng một tập đặc biệt của hướng dẫn thiết kế chung cho các thí nghiệm nhân tố đó bao gồm nhiều ứng dụng.
+ Khái niệm cơ bản
- Taguchi đã đưa ra một phương pháp mới để tiến hành quy hoạch các thí nghiệm được dựa trên nguyên tắc được xác định.
Phương pháp này sử dụng một dữ liệu đặc biệt của mảng được gọi là mảng trực giao. Các mảng trực giao này quy định số các thí nghiệm giúp việc cung cấp thông tin để tìm hiểu sự ảnh hưởng của các yếu tố đầu vào đến hiệu suất và chất lượng đầu ra là nhỏ nhất.
Điểm mấu chốt của phương pháp mảng trực giao nằm trong việc lựa chọn sự kết hợp mức độ các biến thiết kế đầu vào cho mỗi thí nghiệm
+ Các bước tiến hành quy hoạch thực nghiệm taguchi.
Bước 1: Xác định các biến chính và biến phụ.
Bước 2: Xác định các yếu tố , điều kiện thử nghiệm, và đặc điểm chất lượng Bước 3: Xác định chức năng và mục tiêu được tối ưu hóa
Bước 4: Xác định các yếu tố cần kiểm soát, và mức độ của chúng. Bước 5: lựa chọn mảng trực giao phù hợp.
Bước 6: thực hiện các thí nghiệm và các kết quả cho mảng trực giao đã chọn. Bước 7: phân tích dữ liệu, dự đoán mức tối ưu, cho việc thực hiện các yếu tố đầu vào
Bước 8: Thực hiện mô hình và kế hoạch cụ thể
+ Một mảng trực giao điển hình
Trong khi có rất nhiều mảng trực giao tiêu chuẩn có sẵn, mỗi mảng có nghĩa là cho một số cụ thể của các biến thiết kế độc lập, các cấp.
Nếu muốn tiến hành một thử nghiệm để hiểu được sự ảnh hưởng của 4 biến độc lập khác nhau với mỗi biến có 3 bộ giá trị (giá trị về mức độ), như vậy một mảng trực giao L9 sẽ là sự lựa chọn họp lý.
Mảng trực giao L9 giúp cho việc tìm hiểu sự ảnh hưởng của 4 yếu tố độc lập, mỗi yếu tố có 3 giá trị mức độ khác nhau. Mảng này giả định rằng không có bất kỳ
Trong khi đó có nhiều trường hợp, không có mô hình tương tác giả định là hợp lệ, có một số trường hợp có một bằng chứng rõ ràng của sự tương tác. Một trường hợp điển hình của sự tương tác sẽ là sự tương tác giữa các tính chất của liệu và sự ảnh hưởng của các yếu tố bên ngoài.
Bảng 2.1Giao diện của mảng trực giao L 9.
L 9 (3 4) mảng trực giao
Biến độc lập Hiệu suất
Thử nghiệm # Biến 1 Biến 2 Biến 3 Biến 4
1 1 1 1 1 p1 2 1 2 2 2 p2 3 1 3 3 3 p3 4 2 1 2 3 p4 5 2 2 3 1 p5 6 2 3 1 2 p6 7 3 1 3 2 p7 8 3 2 1 3 p8 9 3 3 2 1 p9
Bảng (2.1) cho thấy một mảng trực giao L 9. Mảng trực giao sử dụng hoàn toàn 9 thí nghiệm được tiến hành và mỗi thí nghiệm dựa trên sự kết hợp của các giá trị mức như trong bảng.
+ Các tính chất của một mảng trực giao
Các mảng trực giao có tính chất đặc biệt sau đó giảm số lượng các thí nghiệm được tiến hành.
- Cột dọc dưới mỗi biến độc lập của bảng trên có một sự kết hợp đặc biệt của thiết lập mức độ. Tất cả các thí nghiệm ở cùng một cấp độ xuất hiện một số lần ở các bằng nhau. Cho mảng trực giao L9 dưới biến 4, cấp 1, cấp 2 và cấp 3 xuất hiện ba lần. Đây được gọi là cách tự động cân bằng của mảng trực giao.
- Tất cả các giá trị mức độ của các biến độc lập được sử dụng để tiến hành các thí nghiệm.
- Trình tự của các giá trị để tiến hành các thí nghiệm sẽ không được thay đổi. Điều này có nghĩa người ta không thể tiến hành thí nghiệm 1 với biến 1, cấp 2
Lý do cho điều này là các mảng trực giao của mỗi cột không lẫn cùng với các mảng trực giao của bất kỳ cột khác với các giá trị mức. Sản phẩm bên trong của các vector tương ứng với trọng lượng là số không.
Nếu 3 cấp trên được bình thường hóa giữa -1 và 1, sau đó các yếu tố nặng cho cấp 1, cấp 2, cấp 3 là -1, 0, 1 tương ứng. Do đó sản phẩm bên trong của các yếu tố cân nặng của biến độc lập và 1 biến độc lập 3 sẽ là
(-1 * -1 + -1 * 0 + -1 * 1) + (0 * 0 * 0 * 0 1 -1) + (1 * 0 +1 * 1 +1 * -1) = 0
+ Số lượng tối thiểu của các thí nghiệm được tiến hành
- Thiết kế các thí nghiệm sử dụng các mảng trực giao, trong hầu hết trường hợp, hiệu quả khi so sánh với nhiều mẫu thiết kế thống kê khác. Số lượng của các thí nghiệm khi sử dụng phương pháp Taguchi là tối thiểu việc thực hiện phương pháp Taguchi có thể được tính toán dựa trên các mức độ tiếp cận tự do.
NTaguchi = +1 ∑NVi=1(Li−1) ( 2.36) - Trong trường hợp 8 biến độc lập nghiên cứu có 1 biến độc lập với 2 cấp độ và còn lại 7 biến độc lập với 3 cấp độ (mảng trực giao L18), số lượng tối thiểu của các thí nghiệm cần thiết dựa trên phương trình trên là 16. Bởi vì việc cân bằng của mảng trực giao, tổng số thí nghiệm được bội số của 2 và 3. Do đó số thí nghiệm cho các trường hợp trên là 18.
+ Các giả định của phương pháp Taguchi
- Giả định ngụ ý rằng những tác động cá nhân hoặc chính của các biến độc lập về thông số hiệu suất là tách rời. Theo giả thuyết này, tác dụng của từng yếu tố có thể là tuyến tính, bậc hai hoặc bậc cao hơn, nhưng các mô hình giả định rằng có tồn tại điểm không có tác dụng qua lại giữa các sản phẩm (tương tác)và giữa các yếu tố cá nhân.
Điều đó có nghĩa tác động của biến độc lập 1 trên thông số hiệu suất không phụ thuộc vào các thiết lập mức độ khác nhau của bất kỳ biến độc lập khác và ngược lại. Nếu bất cứ lúc nào, giả định này bị vi phạm, thì tác động chính sẽ cộng them các tương tác khác.
• Lựa chọn các biến độc lập
• Lựa chọn số cấp độ cho mỗi biến độc lập • Lựa chọn mảng trực giao
• Gán các biến độc lập cho mỗi cột • Tiến hành các thí nghiệm
• Phân tích dữ liệu • Suy luận
Chi tiết của các bước trên được đưa ra dưới đây.
+ Lựa chọn các biến độc lập
- Trước khi tiến hành thí nghiệm, kiến thức về sản phẩm / quá trình điều tra là quan trọng hàng đầu để xác định các yếu tố có khả năng ảnh hưởng đến kết quả. Để biên dịch một danh sách đầy đủ các yếu tố, các đầu vào cho các thí nghiệm thường thu được từ tất cả những người tham gia dự án.
+ Quyết định số cấp
- Một khi các biến độc lập được quyết định, số lượng các cấp cho mỗi biến được quyết định. Việc lựa chọn số cấp phụ thuộc vào các thông số hiệu suất bị ảnh hưởng do các thiết lập mức độ khác nhau.
Nếu các thông số hiệu suất là một hàm tuyến tính của các biến độc lập, thì số lượng các thiết lập cấp là 2. Tuy nhiên, nếu các biến độc lập không liên quan tuyến tính, thì cấp của các thiết lập là cấp 3, 4 hoặc cao hơn mức tùy thuộc vào việc mối quan hệ là bậc hai, bậc ba trở lên theo thứ tự.
- Trong trường hợp không có bản chất chính xác của mối quan hệ giữa biến độc lập và các thông số hiệu suất, người ta có thể lựa chọn 2 cấp độ thiết lập. Sau khi phân tích các dữ liệu thực nghiệm, người ta có thể quyết định xem các giả định về thiết lập mức độ là đúng hay không dựa trên sự đóng góp phần trăm và các tính toán lỗi.
+ Lựa chọn một mảng trực giao
- Ảnh hưởng của nhiều thông số khác nhau về đặc tính, hiệu suất trong một loạt thí nghiệm có thể được kiểm tra bằng cách sử dụng các mảng thiết kế thực
Một khi các thông số ảnh hưởng đến một quá trình có thể được kiểm soát đã được xác định, các cấp độ mà tại đó các thông số cần được thay đổi phải được xác định.
Xác định những mức độ của một biến để kiểm tra đòi hỏi một sự hiểu biết sâu sắc về quá trình này, bao gồm cả việc tối thiểu, tối đa, và giá trị hiện tại của tham số.
Nếu sự khác biệt giữa mức tối thiểu và giá trị tối đa của một tham số quá lớn, các giá trị đang được thử nghiệm có thể xa nhau hoặc giá trị hơn có thể được kiểm tra.
Nếu phạm vi của một tham số là nhỏ, sau đó giá trị ít hơn có thể được kiểm tra hoặc kiểm tra các giá trị có thể được gần nhau hơn.
Ngoài ra, chi phí tiến hành thí nghiệm phải được xem xét khi xác định số lượng cấp của một tham số để đưa vào thiết kế thí nghiệm.
- Biết số lượng các thông số và số lượng của các cấp, các mảng trực giao thích hợp có thể được lựa chọn.
Sử dụng bảng chọn mảng hình dưới đây, tên của mảng phù hợp có thể được tìm thấy bằng cách nhìn vào cột và hàng tương ứng với số lượng các thông số và số các cấp.
Một khi tên đã được xác định (chỉ số đại diện cho số của thí nghiệm phải được hoàn tất), các mảng được xác định trước có thể được xác định.
Liên kết được cung cấp cho rất nhiều các mảng được xác định trước cho trong bảng mảng chọn.
Các mảng được tạo ra bằng cách sử dụng một thuật toán Taguchi phát triển, và cho phép cho mỗi biến và thiết lập được thử nghiệm như nhau.
Lưu ý 1
Bộ chọn mảng giả định rằng mỗi tham số có cùng một số các cấp. Đôi khi ta gặp một số trường hợp khác.
Nói chung, giá trị cao nhất sẽ được thực hiện hoặc phần chênh lệch sẽ được chia.
Lưu ý 2
Nếu mảng được lựa chọn dựa trên số lượng các thông số và nồng độ bao gồm nhiều thông số hơn được sử dụng trong thiết kế thí nghiệm, bỏ qua các cột tham số bổ sung.
Nếu một quá trình có 8 thông số với 2 cấp độ mỗi mảng L12 nên được lựa chọn theo các chọn mảng.
Như có thể thấy dưới đây, Mảng L12 có các cột cho 11 thông số (P1-P11). 3 cột bên phải nên bỏ qua.
Bảng 2.3 Số lượng tối thiểu các biến độc lập.
Khi số lượng tối thiểu của các thí nghiệm được quyết định, lựa chọn tiếp theo của mảng trực giao được dựa trên số lượng các biến độc lập và số lượng các cấp yếu tố cho mỗi biến độc lập.
+ Gán các biến độc lập với các cột
Thứ tự các biến độc lập được gán cho cột dọc là rất cần thiết. Trong trường hợp biến ở cấp độ hỗn hợp và tương tác giữa các biến, các biến được chỉ định ở cột bên phải theo quy định của mảng trực giao
Cuối cùng, trước khi tiến hành thí nghiệm, các giá trị mức độ thực tế của mỗi biến thiết kế quyết định.
Nó sẽ được lưu ý rằng tầm quan trọng và sự đóng góp phần trăm của các biến độc lập thay đổi tùy thuộc vào các giá trị mức độ được giao. Đó là các nhà thiết kế có trách nhiệm thiết lập các giá trị mức độ thích hợp.
+ Tiến hành thí nghiệm
Một khi các mảng trực giao được chọn, các thí nghiệm được tiến hành theo các kết hợp mức. Nó là cần thiết mà tất cả các thí nghiệm được tiến hành.
Các cột tương tác và cột biến giả sẽ không được xem xét để tiến hành các thí nghiệm, nhưng là cần thiết trong khi phân tích dữ liệu để hiểu được hiệu ứng tương tác.
Các thông số hiệu suất được nghiên cứu được ghi dấu ấn cho mỗi thí nghiệm để tiến hành các phân tích độ nhạy.
+ Phân tích các dữ liệu
Vì mỗi thí nghiệm là sự kết hợp của các cấp yếu tố khác nhau, nó là điều cần