Liên hệ giữa các đƣờng đặc biệt trên của đa tạp hai chiều

p 2K = k k 

4.4Liên hệ giữa các đƣờng đặc biệt trên của đa tạp hai chiều

Trong E3, cho mặt S định hướng bởi trường vectơ pháp tuyến đơn vị n dọc theo S và một đường song chính quy ρ trên S. Khi đó:

a) ρ vừa là đường chính khúc vừa là đường tiệm cận của S khi và chỉ khi ρ nằm trên tiếp diện của S dọc theo ρ.

b) ρ vừa là đường chính khúc vừa là đường tiền trắc địa của S khi và chỉ khi ρ nằm trên mặt phẳng trực giao với S dọc ρ.

c) ρ vừa là đường tiệm cận vừa là đường tiền trắc địa của S khi và chỉ khi ρ nằm trên một đường thẳng

Chứng minh

Lấy một tham số hóa tự nhiên của ρ :JS,sρ(s).

a) Giả sử ρ là đường chính khúc và là đường tiệm cận, khi đó h(ρ'(s)) ρ'(s)

và k(ρ'(s))=0 . Theo công thức tính độ cong pháp dạng thì k(ρ'(s)) = 0 h(ρ'(s)).ρ'(s) = 0

 .Điều này kết hợp với h(ρ'(s)) ρ'(s) nên h(ρ'(s))=0. Từ đó (nρ)'(s) = 0(n ρ) = const tại lân cận của điểm p=ρ(s). Theo công thức Meusnier ta có k(ρ'(s)) = k(s).N(s).(n ρ)(s) = 0  . Vì cung ρ là cung song chính quy nên k(s)0 do đó N(s).(n ρ)(s)=0  N(s) (n ρ)(s) 

Ta lại có (n ρ)(s) T(s), do vậy (n ρ)(s) cùng phương với B(s), do hai vectơ này đều là trường vectơ đơn vị nên (n ρ)(s) = ±B(s) hay B(s) cũng là trường vectơ song song do đó B’(s)=0 với mọi s hay τ(s).N(s)=0τ(s)=0 độ xoắn của cung ρ bằng 0 do đó nó là cung phẳng và thuộc vào tiếp diện của S tại p.

Ngược lại, nếu cung ρ nằm trêm mặt phẳng tiếp xúc với S dọc ρ thì (n ρ)(s)=const (n ρ)'(s)=0 h(ρ'(s))=0 hay h(ρ'(s)) ρ'(s) và k(ρ'(s))=0

Nói cách khác ρ vừa là đường chính khúc vừa là đường tiệm cận.

b) Giả sử ρ vừa là đường chính khúc vừa là đường tiền trắc địa, khi đó h(ρ'(s)) ρ'(s) và kg(s)=0. Tương đương với (n ρ)' T(s)  và (T(s)×N(s))(n ρ)(s)=0 suy ra B(s)(n ρ)(s) . Lại có T(s)(n ρ)(s) . Do đó (n ρ)(s) cùng phương với N(s)=B(s)×T(s). Vì n và N là hai vectơ đơn vị nên (n ρ)(s)=N(s) (1) , khi đó do (n ρ)'(s) T(s)  nên N'(s) T(s) hay (k.T+ τB)(s) T(s) , điều này chứng tỏ τ=0 hay cung ρ là cung phẳng. Nếu gọi P là mặt phẳng chứa ρ thì phương của N(s) nằm trong phương của mặt phẳng P, lại do (1) nên (n ρ)(s) nằm trong phương của mặt phẳng P, do đó mặt phẳng P trực giao với S dọc ρ.

Ngược lại, nếu ρ nằm trên mặt phẳng trực giao với S dọc ρ thì ρ là cung phẳng do đó độ xoắn của nó bằng 0, hay τ=0, do (n ρ)(s) nằm trong P nên (n ρ)(s) cùng phương với N(s ). Do chúng đều là các vectơ đơn vị nên ta có (n ρ)(s) = ±N(s) , từ đây suy ra (n ρ)(s).B(s) = 0 . Lấy đạo hàm cả hai vế của đẳng thức này ta có (n ρ)'(s).B(s)+(n ρ)(s).B'(s) = 0  . Tương đương với

(n ρ)'(s).B(s) (n ρ)(s).τ(s).N(s)= 0 .

Mặt khác lại do (n ρ)(s) =1 (n ρ)(s)(n ρ)'(s)=0  (n ρ)(s) (n ρ)'(s) N(s) (n ρ)'(s)

       (**).

Từ (*) và (**) ta có (n ρ)'(s) T(s)  hay (n ρ)'(s) ρ'(s)  hay h(ρ'(s)) ρ'(s)

nên ρ là đường chính khúc.

Ta lại có độ cong trắc địa k (s) = (T×N)(n ρ)(s) = 0 (do (n ρ)(s) N(s))g    nên ρ là đường tiền trắc địa.

c) Giả sử ρ vừa là đường tiệm cận, vừa là đường tiền trắc địa của S Khi đó k(ρ'(s))=0 và k (s)=0 g h(ρ'(s)).ρ'(s) = 0 (1) và

(T(s)×N(s))(n ρ)(s)=0 (2)

Từ (2) suy ra B(s)(n ρ)(s) , do vậy (n ρ)(s) T(s), N(s). Khi này tồn tại a,b* sao cho (n ρ)(s) = a.T(s)+b.N(s)

(n ρ)'(s) = a.T'(s)+b.( k(s).T(s)+τ(s).B(s))

= a.T'(s) b.k(s).T(s)+b.τ(s).B(s) (3) 

 

Từ (1) suy ra (n ρ)'(s) T(s). Nhân hai vế của (3) với T(s) ta có –b.k(s)=0. Do b0 nên k(s) =0.

Cung song chính quy trong E3 có độ cong bằng 0 là cung thẳng. Có thể nói rằng ρ nằm trên một đường thẳng.