2.3.1. Định nghĩa.
a) Giả sử A là một bảng chữ cái. Chúng ta định nghĩa một biểu diễn vị nhóm giống như một biểu diễn nửa nhóm bằng cách thay thế A+ bởi A*. Và trong các hệ thức thuộc R có xuất hiện đơn vị.
b) Một biểu diễn nửa nhóm ngược là một cặp <B|Q> trong đó B là một bảng chữ cái, 1 { 1 }
:
B và tương ứng một - một với B, và Q là một tập con của
(B∪B−1) (+× B∪B−1)+.
Tương tự chúng ta có thể định nghĩa một biểu diễn nhóm và một biểu diễn vị nhóm ngược.
2.3.2. Chú ý.
1) Nếu S là một vị nhóm được xác định bởi một biểu diễn vị nhóm < |
A R > thì S được xác định bởi biểu diễn nửa nhóm <A, e |R, ae =ea =a (a∈A)>.
Giả sử S là một vị nhóm được xác định bởi biểu diễn nửa nhóm < A |
R >. Tồn tại một từ w∈A+ biểu diễn đơn vị của S và S được xác định bởi biểu diễn vị nhóm < A|R, w =1 >.
2) Nửa nhóm ngược được xác định bởi biểu diễn (nửa nhóm ngược)
Q
B| là nửa nhóm được xác định bởi biểu diễn
1 1 1 1 1 1 1
, | , , ,( , ( ) )
B B− Q ww w− = w ww zz− − = zz ww− − w z∈ B ∪B− + .
3) Nhóm G được xác định bởi biểu diễn nhóm B|Q được xác định bởi biểu diễn vị nhóm B B, −1| ,Q bb−1=b b−1 =1 (b∈B) .
2.3.3. Chú ý. Cho một nửa nhóm S, một phương pháp để nhận được một biểu diễn đối với nó bao gồm các bước sau:
* Tìm một tập hợp sinh A của S.
* Tìm một tập hợp R các hệ thức mà nó được thoả mãn bởi các phần tử sinh A và đủ để xác định S.
* Tìm một tập hợp W ⊆A+ sao cho mỗi từ thuộc A+ có thể được biến đổi thành một từ thuộc W bằng cách áp dụng hệ thức thuộc R..
* Chứng minh rằng các từ thuộc W biểu diễn các phần tử phân biệt trong S.
2.3.4. Định nghĩa. Tập hợp W được mô tả ở trên được gọi là một tập hợp
các dạng chính tắc hay các dạng chuẩn tắc đối với S.
Phương pháp này để tìm một biểu diễn được mô tả trong luận văn này, và các kết quả tiếp theo chỉ ra rằng biểu diễn < A|R > mà chúng ta nhận được trong thực tế là một biểu diễn đối với S.
2.3.5. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm, A là một tập sinh của S,
R ⊆A+× A+ là một tập hợp các hệ thức và W là một tập hợp con của A+. Giả thiết rằng:
i) Các phần tử sinh A của S thoả mãn tất cả các hệ thức của R.
ii) Đối với mỗi từ w ∈A+ tồn tại từ w/∈W sao cho w =w/ là một hệ quả của R.
iii) Nếu u v W, ∈ sao cho uο v thì u ≠v trong S.
Thế thì <A |R > xác định S.
Chứng minh. Tập hợp A sinh ra nửa nhóm S và R thoả mãn trong
,
S nên chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng hệ thức tuỳ ý trong S là một hệ quả của R.
Giả sử w1, w2 là các phần tử bất kỳ thuộc S sao cho w1 =w2 đúng trong S.
Thế thì tồn tại w w/ ∈W 2 / 1, sao cho các hệ thức / 2 2 / 1 1 w , w w w = = là một hệ quả của R. Từ w1=w2 và iii) ta có /
2 / 1 w w = . Do đó / 2 2 / 1 1 w w w w = ≡ = là
một hệ quả của R. Như vậy S được xác định bởi biểu diễn < A|R >.
2.3.6. Chú ý. Khi S là một nhóm hữu hạn thì điều kiện (iii) của Mệnh đề 2.3.5 có thể được thay thế bởi điều kiện W ≤S .
2.3.7. Các phép biến đổi Tietze. Một phương pháp để liên hệ hai biểu diễn khác nhau của cùng một nửa nhóm (nửa nhóm ngược, vị nhóm, nhóm,...) là các Phép biến đổi Tietze. Chúng là bốn toán tử được áp dụng để từ một biểu diễn cho phép chúng ta nhận được một biểu diễn khác có cùng cấu trúc. Cho trước một biểu diễn < A |R >, chúng ta có thể:
T1) Bổ sung một hệ thức. Cho trước u,v∈A+ sao cho u =v không thuộc vào R , nhưng nó là một hệ quả của một quan hệ trong R, khi đó biểu diễn < A|R, u=v> xác định cùng một cấu trúc như < A|R >.
T2) Khử một hệ thức. Nếu u =v là một hệ thức trong R sao cho nó là một hệ quả của các hệ thức trong R \{(u, v)} thì cấu trúc được xác định bởi <A |R > có thể được xác định bởi biểu diễn < A |R \{u =v} >.
T3) Bổ sung một phần tử sinh. Cho trước một ký hiệu b không nằm trong A và một từ w trong A+ chúng ta có thể định nghĩa một hệ thức
,
b w= và các biểu diễn <A b, |R, b=w> và <A|R > xác định một cấu trúc.
T4) Khử một phần tử sinh. Cho trước a A∈ , u∈(A\{ }a )+ sao cho
u a =
ở trong R, chúng ta có thể thay thế a bởi u trong tất cả các hệ thức của R
nơi mà a xuất hiện, khử a từ tập hợp các phần tử sinh và loại bỏ hệ thức
a u= khỏi R. Chúng ta nhận được biểu diễn <A\{ }b |R / \{a=u}>, xác định cùng một cấu trúc như < A|R >, trong đó R / và R với tất cả sự xuất hiện của a
được thay thế bởi u.
2.3.8. Mệnh đề. Hai biểu diễn hữu hạn xác định cùng một cấu trúc nửa nhóm nếu và chỉ nếu một biểu diễn này có thể nhận được từ biểu diễn khác bằng cách áp dụng một số hữu hạn các phép biến đổi Tietze.
Chúng ta sử dụng các phép biến đổi Tietze để mô tả một lớp nửa nhóm ngược đặc biệt.
2.3.9. Mệnh đề. Vị nhóm bicyclic thừa nhận biểu diễn vị nhóm
1 |
,b ab =
a , và như một nửa nhóm nó thừa nhận biểu diễn
2 2
, | , .
a b aba =a b a bab ab= = =b
Chứng minh. Giả sử B là vị nhóm bicyclic, nó được xác định như một vị nhóm phép biến đổi trong ¥0cho bởi đồ thị sau
Như vậy B được sinh bởi x và y, trong đó x là phép biến đổi được
xác định bởi
1,
nx = +n ∀ ∈n ¥0,
và y là phép biến đổi được xác định bởi
0y =0, ny = − ∀ ∈n 1, n ¥.
Phép biến đổi xy là phép biến đổi đồng nhất trong ¥0 vì
0xy =( 0 )x y =1y =0 và nxy = (n+1)y = n. Hơn nữa, đối với mọi j k, ∈¥0 ta có:
i k k i k j y khi j k x y x khi k j − − ≥ = >
nên mọi phần tử tuỳ ý của B có thể được viết dưới dạng y xm n, với m và n
phải là một hệ quả của xy =1 có thể luôn luôn bị phá vỡ để trở thành dạng k j n mx y x y = với m n j k, , , ∈¥0 nào đó.
Vì 0ymxn =0xn =n,0yjxk =0xk =k nên k = n, và nếu xét số nguyên i sao cho i>max ( , )m j thì : n m i x m i x iym n =( − ) n = − + ( ) . j n n iy x = −i j x = − +i j n
Điều đó kéo theo m = j, do đó ymxn =yjxk ⇒m = j và n =k.
Như vậy tất cả các hệ thức được thoả mãn trong B là các hệ quả của xy =1. Xét một bảng chữ cái A={ a b, } và đặt một sự tương ứng giữa a, b với
, .
x y Có thể kết luận rằng B thừa nhận một biểu diễn vị nhóm
1 |
,b ab =
a .
Xét nửa nhómM được xác định bởi biểu diễn: <a b aba, | = a b2 = a bab ab, = 2 =b>. Từ các hệ thức xác định của M có
(ab a) = a a ab, ( ) =a b ab, ( )=b ab b b, ( ) = .
Như vậy ab tác động như một đơn vị trong các phần tử sinh của M,
nên M được xác định bởi biểu diễn vị nhóm <a b aba a b, | = 2 =a bab, = ab2 = b ab, =1>.
Từ hệ thức ab =1 chúng ta có được bốn hệ thức khác trong biểu diễn này nên áp dụng các phép biến đổi Tietze (T2) chúng ta nhận được
M ≅ <a, b | ab =1 >, như vậy M là vị nhóm bicyclic
Luận văn đã trình bày các vấn đề sau:
1. Hệ thống các khái niệm và các tính chất cơ bản của nửa nhóm chính quy, nửa nhóm ngược, nửa nhóm tự do, nửa nhóm ngược tự do.
2. Mô tả tương đẳng trên các nửa nhóm ngược (Định lý 1.2.6, Định lý 1.2.8)
3. Mô tả biểu diễn nửa nhóm ngược bởi các ánh xạ bộ phận một - một (Định lý 1.3.9).
4. Trình bày biểu diễn mô tả các nửa nhóm (Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.6).
5. Trình bày biểu diễn các nửa nhóm ngược bởi cấu trúc tự do và các phép biến đổi Tietze.
6. Áp dụng các kết quả trên để tìm biểu diễn của một số lớp nửa nhóm đặc biệt như nửa nhóm xyclic (Mệnh đề 2.2.5), nửa nhóm bicyclic (Mệnh đề 2.3.9).
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
[1] A. H. Cliphớt và G. B. Prestơn (1970), Lý thuyết nửa nhóm tập1, bản dịch của Trần Văn Hạo và Hoàng Kỳ, Nhà xuất bản Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội.
[2] Lê Quốc Hán (2007), Lý thuyết ngôn ngữ nhóm, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Lê Quốc Hán (2008), Lý thuyết nửa nhóm và lý thuyết nhóm, Trường Đại học Vinh.
Tiếng Anh
[4] Catarina Carvalho (2003), Presentations of Semigroups and Inverse Semigroups. M. Sc. Dissertation, University of St. Andrews.
[5] Howie, J. M. (1995), Fundamentalsof Semigroups Theor, Claredon Press, Oxford.
[6] Howie, J. M., Ruskuc, N. (1994), Constructions and Presentations for Monoids, Communic. in Algebra 22, 6209 – 6224.
[7] Lallment, G. (1979), Semigroups and Combinatorial Applications, John Wiley and Sons, New York.
[8] Petrich, M. (1984), Inverse Semigroups, Wiley, New York.
[9] Ruskuc, N. (1995), Semigroups Presentations, Ph.D Thesis, University of St. Andrews.
[10] Ruskuc, N. (1999), Presentations for Subgroups of Monoids, Journal of Algebra 220, 365 – 380.
[11] Schien, B. M. (1975), Free Inverse Semigroups are not finitely