2.2.1. Định nghĩa. Giả sử A là một bảng chữ cái. Một biểu diễn nửa nhóm
là một cặp <A|R >, trong đó R ⊆ A+× A+. Các phần tử của A được gọi là các ký hiệu sinh hay đơn giản là các phần tử sinh, và các phần tử của R được gọi là các hệ thức xác định. Một cặp (u, v ) ∈R thường được biểu diễn bởi
v
u = . Nửa nhóm được xác định bởi biểu diễn < A|R > là nửa nhóm A+/ρ, trong đó ρ là tương đẳng nhỏ nhất trên A+chứa R.
Đối với w1, w2∈A+ chúng ta viết w1 ≡w2 nếuw1 và w2 là các từ đồng nhất trong A+, và w1 =w2 nếu chúng ta biểu diễn cùng một phần tử của S , nghĩa là ( w1,w2) ∈ρ . Trong trường hợp cuối cùng này, chúng ta nói rằng S
thoả mãn hệ thức w1≡w2.
Giả sử T là một nửa nhóm được sinh ra bởi một tập hợpB, và
B
A →
:
φ là một toàn ánh. Chúng ta có thể mở rộng φ theo một cách duy nhất đến toàn cấu φ′: A+ →T Chúng ta nói rằng T thoả mãn các hệ thức R
nếu đối với mọi hệ thức u =v trong R chúng ta có uφ=vφ. Bây giờ chúng ta có thể phát biểu các kết quả sau:
2.2.2. Mệnh đề. Giả sử <A|R > là một biểu diễn, S là nửa nhóm được xác định bởi nó và T là một nửa nhóm thoả mãn R. Thế thì T là một ảnh đồng cấu của S.
Chứng minh. Chúng ta biết rằng S= A+ρ, trong đó ρ là tương đẳng bé nhất chứa R. Vì T thoả mãn R nên tồn tại một đồng cấu ϕ: A+ →T sao cho
đối với mọi u= ∈v R chúng ta có uφ=vφ. Do đó R ⊆Kerφ và Kerφ là một tương đẳng, nên phải có ρ⊆Kerφ.
Do đó theo Định lý đồng cấu nửa nhóm, có
≅ + + ρ φ ρ φ Ker A Ker A và do đó T là ảnh của đồng cấu S. Cho w1, w2∈A+, chúng ta nói rằng w2 nhận được từ w1 bằng một sự áp dụng của một hệ thức từ R nếu tồn tại α β ∈, A* và một hệ thức u =v
trong R sao cho w1=αuβ và w2=αvβ. Chúng ta nói rằng w2 có thể nhận được suy từ w1 nếu tồn tại một dãy
2 1 2 1 1 , , ..., , w w ≡α α αk− αk ≡
các từ từ A+ sao cho αi+1 nhận được từ αi bởi một sự áp dụng của mộthệ
thức xác định từ R . Chúng ta cũng sẽ nói rằng w1 =w2 là một hệ quả của R
.
Từ mệnh đề 2.2.2 trực tiếp suy ra :
2.2.3. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm được sinh ra bởi một tập hợp A
và R là một tập hợp con của A+×A+. Thế thì <A|R > là một biểu diễn với
S nếu và chỉ nếu :
i) S thoả mãn tất cả các hệ thức của R
ii) Nếu u, v là hai từ tuỳ ý trong A+ sao cho S thoả mãn u =v thì
v
u = là một hệ quả của R .
Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ về biểu diễn nửa nhóm.
a) Biểu diễn < A|φ> xác định nửa nhóm tự do A+, đối với tương đẳng nhỏ nhất trên A+ chứa tập hợp rỗng là quan hệ đường chéo
{ ( , ) :w w w A+}
∆ = ∈ và A+ ∆ ≅A+.
b) Xét tập con R ={ ( a a, 2)} của { } { }a +× a +và giả sử ρ là tương đẳng nhỏ nhất trên { }a +chứa R , thế thì: 2 2 3 a aρ ⇒a ρa 3 3 2 2 a a a a a aρ ∧ ρ ⇒ ρ 3 2 4 a aρ ⇒a aρ 2 2 4 4 a aρ ∧a aρ ⇒a aρ ... * 1 2 2 ∧a a ⇒a a +,∀n∈Ν a aρ ρ n ρ n
Vì vậy chúng ta có aρ ={ }a +, nên { }a +/ρ là tầm thường.
Chúng ta có thể kết luận rằng biểu diễn < x a a| = 2 > xác định nửa nhóm tầm thường. 2.2.5. Mệnh đề. Biểu diễn < | n r r a a + = a > xác định nửa nhóm xyclic cấp 1 − +r n và chu kỳ n. Chứng minh. Giả sử { 2 1 } , ,..., ,...,n n r
M = a a a a + − là nửa nhóm xyclic sinh
bởi a với cấp n+r−1 và chu kỳ n. Chúng ta biết rằng r là số nguyên dương nhỏ nhất,k, sao cho ak được lặp lại và n +r là luỹ thừa của sự lặp lại đầu tiên của ar, nên M thoả mãn hệ thức ar= an r+ . Giả sử rằng M thoả mãn hệ thức ap1 = ap2, chúng ta có thể giả sử rằng ap2 là sự lặp lại đầu tiên của ap1. Chúng ta muốn chứng tỏ rằng hệ thức này là một hệ quả của ar =an+r. Nếu
2 1 p
p = thì ap1 ≡ ap2 và kết quả được suy ra, nên không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng p2 > p1.
Khẳng định. Nếu p1, p2 >r và p1≡ p2(modn) thì ap1 =ap2 có thể thu đựơc từ an r+ =ar.
Chứng minh. Trong trường hợp này chúng ta có thể viết p2− p1 = kn
với k ∈¥ nào đó, nên:
1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ... . p kn p kn r p r k n n r p r k r r p r p r p r p r p k n n r k n r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a + + − − + − − − − − − − + − ≡ ≡ ≡ = ≡ = = = ≡
Chúng ta kết luận rằng ap1 =ap2 có thể thu được từ an r+ =ar.
Bây giờ ta tiếp tục chứng minh mệnh đề 2.2.5
Vì r là luỹ thừa nhỏ nhất nên phải có p1 ≥r, như vậy p1, p2 ≥r. Giả sử rằng
n không chia hết p2 − p1, thế thì p2− p1 = kn + q đối với k∈¥ và 0 <q <n
nào đó. Và chúng ta có
1 1 1 ... 1 1 2 ,
p p r r p r n r p r kn r p kn p q
a ≡a − a =a − a + = =a − a + ≡a + ≡a −
nên ap1 =ap2−q và p2 −q< p2 mâu thuẫn với điều kiện ap2 là lặp lại của ap1. Vì vậy phải có p2≡ p1( mod )n và chúng ta kết luận rằng ap1 = ap2 là một hệ quả của ar =an+r. Như vậy, theo mệnh đề 2.2.3, biểu diễn a|an+r =ar xác định M .
Kết quả sau đây chỉ ra rằng chúng ta luôn có thể nhận được một biểu diễn đối với một nửa nhóm bởi bảng nhân của nó.
2.2.6. Mệnh đề. Nửa nhóm bất kỳ có thể được xác định bởi một biểu diễn. Chứng minh. Giả sử S là một nửa nhóm tuỳ ý và xác định một bảng chữ cái A ={ a ss: ∈S}. A tương ứng một - một với S.
Tập hợp R ={ a ax y = axy : ,x y S∈ } được chứa trong A+ ×A+ nên chúng ta có thể xét biểu diễn < A|R >. Giả sử T là nửa nhóm được xác định bởi biểu diễn này. S thỏa mãn tất cả các hệ thức của R (Theo định nghĩa của nửa nhóm) nên theo Mệnh đề 2.2.2 , S là một ảnh đồng cấu của T, nghĩa là tồn tại một toàn cấu φ: T →S a, s a s .
Giả sử u, v ∈A+ sao cho uφ=vφ, thế thì tồn tại x, y ∈S sao cho
y x y a a
x = , = đúng trong T và ta có
axϕ = ayϕ ⇔ =x y,
điều đó kéo theo ax =ay nên u =v trong T. Như vậy φ là một - một và chúng ta có thể kết luận rằng S là đẳng cấu với T, như vậy S được xác
định bởi biểu diễn <A|R >.