khiển tối ưu với thời gian vô hạn
Trước hết ta trình bày một số khái niệm và kết quả cần thiết về hệ phương trình vi phân phi tuyến mà chúng ta muốn điều khiển. Ta giả thiết rằng: hàm f(x, a) với x ∈ RN, a ∈ A (tương ứng được gọi là biến trạng thái và biến điều khiển), thỏa mãn các giả thiết sau:
(
A là một không gian tô pô,
f : RN ×A →RN là một hàm liên tục; (A0)
f bị chặn trên B(0, R)×A, với mọi R >0; (A1) (tính bị chặn địa phương của f đều theo biến điều khiển a)
tồn tại một mô đun ωf sao cho
|f(y, a)−f(x, a)| ≤ωf(|x−y|, R),
với mọi x, y ∈ B(0, R) và R >0,
(A2)
(tính liên tục đều địa phương của f, đều theo biến điều khiển a), trong đó mô đun là một hàm ω : R+×R+ →R+ sao cho với mọi R > 0, ω(., R) liên tục, không giảm và ω(0, R) = 0.
Ta sẽ chủ yếu quan tâm tới trường hợp A ⊂ RM là tập compac. Khi đó (A1) và (A2) là các hệ quả của (A0).
Ta cũng giả thiết
tức là, tồn tại một số L ∈ R sao cho f(x, a) −LI, với I là toán tử đồng nhất, là một ánh xạ đơn điệu (không tăng) với mọi a.
Trong luận văn này ta chỉ xét trường hợp f liên tục Lipschitz toàn cục theo biến trạng thái, đều theo biến điều khiển, tức là
|f(x, a)−f(y, a)| ≤L|x−y|,∀x, y ∈ RN, a ∈ A. (2.13) Khi đó, tự nhiên f thỏa mãn (A3) và (A2).
Chúng ta quan tâm tới nghiệm (hay quỹ đạo) của hệ phi tuyến
(
y0(t) = f(y(t), α(t)), t > 0,
y(0) = x (2.14)
với các hàm điều khiển α(.) (gọi là điều khiển lặp mở(open loop), vì không phụ thuộc vào biến trạng thái) thuộc tập tất cả các điều khiển:
A := {α : [0; +∞) → A đo được}
(về hàm đo được và các tính chất liên quan có thể xem [2]).
Kí hiệu yx(., a) =yx(.) là nghiệm của (2.14) ứng với điều khiển α, theo nghĩa yx(., α) là nghiệm của phương trình tích phân
y(t) = x+
t
Z
0
f(y(s), α(s))ds, t > 0. (2.15) Như vậy yx(., a) là một hàm liên tục tuyệt đối trên các tập con compac của [0,+∞) và thỏa mãn (2.14) hầu khắp nơi.
Theo [4], Định lý 5.4, 5.5, trang 219, với các giả thiết (A0), (A1), (A3) tồn tại duy nhất nghiệm yx(t, α) của (2.14), tức là của (2.15) xác định với mọi t ∈ [0,+∞) và thỏa mãn các đánh giá
|yx(t, α)−x| ≤ Mxt, với mọiα ∈ A, t ∈ [0,1/Mx], (2.16) trong đó Mx := sup{|f(z, a)| : |z −x| ≤ 1, a ∈ A};
|yx(t, α)| ≤ (|x|+√
trong đó K := L + supa∈A|f(0, a)|.
Nếu yz là nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu yz(0) = z thì
|yx(t, α)−yz(t, α)| ≤ eLt|x−z|, ∀α ∈ A, t ≥ 0. (2.18) Chúng ta cũng thường sử dụng các tập con đặc biệt của A là tập các điều khiển hằng từng khúc
P :={α ∈ A: tồn tại một dãy tăng tn sao cho lim
n tn = +∞ và α là hằng số trên (tn, tn+1),∀n
và tập các các điều khiển đơn điệu khi A⊂ R,
Am := {α ∈ A: α không giảm.