Định nghĩa 1.3.6. Ta nói rằng hàm u : Ω → R là hàm nửa lõm trên tập lồi đóng Ω nếu có một hằng số C ≥ 0 thỏa mãn
µu(x) + (1−µ)u(y) ≤ u(µx+ (1−µ)y) + 1
2Cµ(1−µ)|x−y|2 (1.34) với mọi x, y ∈ Ω và µ∈ [0,1].
Điều này dẫn đến tính lõm của hàm x 7→ u(x)−21C |x|2. Nếu u liên tục thì ta có một điều kiện tương đương với (1.34) đó là
u(x+h)−2u(x) + u(x−h) ≤ C|h|2, (1.35) với mọi x ∈ Ω và h ∈ RN, với |h| đủ nhỏ. Tất nhiên hàm lõm là hàm nửa lõm. Một lớp các hàm nửa lõm không tầm thường đó là lớp các hàm khả vi liên tục với gradient Lipschitz địa phương. Một lớp các hàm nửa lõm không khả vi đó là các hàm u(x) = infb∈Bg(x, b) với x 7→g(x, b) thỏa mãn (1.34).
Ví dụ 1.3.7. Cho S ⊆ RN, S 6= ∅,
d(x) =dist(x, S) = inf
s∈S|x−s|.
Khi đó d2 là hàm nửa lõm trong RN vì x 7→ |x−s|2 thuộc C∞ với các đạo hàm cấp hai là hằng số. Mặt khác, bản thân d cũng là hàm nửa lõm trong mọi tập compact có khoảng cách dương đối với S, bởi vì x 7→ |x−s| có đạo hàm cấp hai bị chặn trong tập như vậy.
Những tính chất chính của hàm nửa lõm sẽ được trình bày trong Mệnh đề 1.3.8 và Mệnh đề 1.3.9 sau đây.
Mệnh đề 1.3.8. Cho hàm u là hàm nửa lõm trong Ω. Khi đó u là liên tục Lipschitz địa phương trong Ω.
Chứng minh. Với x ∈ Ω và với mọi h thỏa mãn x+h ∈ Ω,
u(x+h)−u(x) =ψ(x+h)−ψ(x) +Cx·h+ C 2 |h|2,
trong đó ψ(x) = u(x)− C2 |x|2 là hàm lõm và do đó liên tục Lipschitz địa phương. Vậy mệnh đề được chứng minh.
Trong Mục 1.3.1 ta biết rằng D+u(x) ⊆ ∂u(x) = coD∗u(x) với mọi
u ∈ Liploc(Ω). Nếu thêm giả thiết u là hàm nửa lõm thì D+u(x) = ∂u(x). Điều này và một số tính chất khả vi khác của các hàm nửa lõm được trình bày trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.3.9. Cho u là hàm nửa lõm trong Ω. Khi đó với mọi x ∈ Ω
thì
(a) D+u(x) =∂u(x) = coD∗u(x);
(b) hoặc D−u(x) = ∅ hoặc u khả vi tại x;
(c) nếu D+u(x) là tập một điểm thì u khả vi tại x; (d) ∂u∂p(x) = minp∈D+u(x)p·q với mọi vector đơn vị q.
Mệnh đề 1.3.10. Cho u là một hàm nửa lõm và thỏa mãn
F(x, u(x, Du(x)))≥ 0 h.k.n trong Ω, (1.36)
trong đó F liên tục. Khi đó u là nghiệm nhớt trên của phương trình
F(x, u(x, Du(x))) = 0 trong Ω. (1.37) Kết quả tiếp theo là về tính nửa lõm của nghiệm nhớt của phương trình (HJ).
Định lý 1.3.11. Cho u ∈ BC(RN) ∩ Lip(RN) là một nghiệm nhớt của phương trình
u(x) +H(x, Du(x)) = 0, x ∈ RN, (HJ) với hằng số Lipschitz Lu. Giả sử H thỏa mãn
|H(x, p)−H(x, q)| ≤ω|p−q|, ∀x, p, q ∈ RN. (H3) với C > 0 và L0 > 2Lu, (H6) xác định bởi
H(x+h, p+Ch)−2H(x, q) +H(x−h, p−Ch) ≥ −C |h|2 (H6) đúng với mọi x, h∈ RN, p ∈ B(0, L0). Khi đó u là hàm nửa lõm trên RN.
Một cách rất thuận tiện để xấp xỉ nửa lõm của một hàm cho trước là dựa vào phép chập-inf, đây là một công cụ rất cơ bản trong giải tích lồi và giải tích không trơn. Cho Ω là một tập con của RN và u là một hàm bị chặn. Với mọi ε > 0, đặt uε(x) := inf u(y) + 1 2ε |x−y|2 : y ∈ Ω (1.38) hàm uε được gọi là ε−chập-inf của u. Tương tự,
uε(x) := sup u(y)− 1 2ε|x−y|2 : y ∈ Ω (1.39) là ε−chập-sup của u.
Bổ đề 1.3.12. Cho u liên tục và bị chặn trong Ω. Khi đó (a) uε và uε là nửa lõm trong Ω;
(b) uε % u, uε &u, khi ε →0+, hội tụ đều địa phương trong Ω;
(c) inf vàsuptrong (1.38) và (1.39) đạt được nếuε < d2(x, ∂Ω)/(4kuk∞).
Từ Bổ đề 1.3.12 (c) với ε > 0 đủ nhỏ ta có thể đặt Mε(x) := arg min y∈Ω n u(y) + |x−y|2/2ε o , Mε(x) := arg max y∈Ω n u(y)− |x−y|2/2ε o .
Bổ đề 1.3.13. Cho u ∈ C(Ω)là hàm bị chặn,x ∈ Ωvàε < d2(x, ∂Ω)/(4kuk∞). Khi đó, hoặc D−uε(x) =∅ hoặc D−uε(x) = {(x−yε)/ε}, trong đó {yε}=
Mε(x) (tương ứng, hoặc D+uε(x) = ∅ hoặc D+uε(x) = {−(x−yε)/ε}, trong đó {yε}= Mε(x)). Hơn nữa, với mọi yε ∈ Mε(x) (tương ứng, Mε(x)), (i) |x−yε| ≤ 2√
εkuk1∞/2;
(ii) |x−yε|2/ε →0 khi ε→ 0+, trên các tập con compact của Ω; (iii) (x−yε)/ε ∈ D−(yε) (tương ứng −(x−yε)/ε ∈ D+(yε)).
Các Bổ đề 1.3.12 và 1.3.13 cho thấy, nghiệm nhớt liên tục của phương trình (HJ) có một xấp xỉ đều từ hai phía bởi nghiệm nhớt liên tục Lipschitz địa phương của phương trình xấp xỉ. Chính xác hơn, ta có
Mệnh đề 1.3.14. Giả sử H thỏa mãn
|H(x, p)−H(y, p)| ≤ ω1(|x−y|(1 +|p|)), (H1)
với x, y ∈ Ω, p ∈ RN, trong đó ω1 là một mô đun. Nếu u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt dưới của (HJ) trong Ω, thì uε ∈ Liploc(Ω)là một nghiệm nhớt dưới của phương trình
λuε(x) +H(x, Duε(x)) = %ε(x) trong Ωε, (HJε) với Ωε = n x ∈ Ω : d(x, ∂Ω) > 2√ εkuk1∞/2o và %ε(x) →0+ khi ε →0, trên các tập con compac của Ω.