2.1 Đường cong elliptic trên
Cho p>3 là số nguyên tố lẻ. Một đường cong elliptic E trên được biểu diễn bởi phương trình có dạng:
(3)
Trong đó và . Thiết lập E() bao gồm tất cả các điểm thỏa mãn phương trình xác định (3), cũng như điểm đặc biệt được gọi là điểm vô cùng.
Ví dụ 4: (Đường cong elliptic trên ) cho p = 23 và xét đường cong elliptic xác định đặc điểm trên (trong các ký hiệu của phương trình (3), chúng ta có a=1 và b=4). Chú ý ở đây , như vậy E là một đường cong elliptic thực sự. Những điểm trong E() là và được hiện thị sau đây:
Công thức cộng: Đây là một quy tắc, gọi là quy tắc cung – và – đường tiếp tuyến, cộng hai điểm trên đường cong elliptic E() để cung cấp ba điểm trên đường cong elliptic. Cùng tạo ra toán tử cộng, thiết lập các điểm mẫu của E() thành một nhóm đồng nhất với . Nó là nhóm sử dụng cấu trúc của mật mã đường cong elliptic. Quy tắc cộng là tốt nhất về giải thích hình học. Cho P = (x1,y1) và Q = (x2,y2) là hai điểm khác biệt trên đường cong elliptic E. Tổng của P và Q, được biểu diễn R = (x3,y3) được định nghĩa như sau. Đầu tiên ta vẽ đường thẳng P và Q; đường thẳng này cắt các đường cong elliptic trong một điểm thứ ba. Sau đó R phản chiếu điểm này trong trục – x . Điều này được mô tả trong hình 1. Đường cong elliptic trong hình bao gồm hai phần, hình giống như elliptic và đường cong vô hạn.
Hình 1: Đặc tả hình học của phép cộng của hai điểm riêng biệt trên đường cong elliptic: P + Q = R
Nếu P = (x1,y1) thì nhân đôi của P được biểu diễn R=(x3,y3), được định nghĩa như sau. Đầu tiên vẽ một đường tiếp tuyền đến đương cong elliptic tại P. Đường thẳng giao với đường cong elliptic tại điểm thứ 2. R là phản chiếu của điểm đó trên trục – x. Xem mô tả trong hình 2.
Công thức đại số sau đây cho tổng của hai điểm và nhân đôi của một điểm bây giờ có thể được rút ra từ mô tả hình học.
1 .
2 Nếu (ở đây điểm (x,-y) được đặc tả bởi –P và gọi là phần phủ định của P; quan sát thấy –P là điểm thực trên cung).
Hình 2: Mô tả hình học của phép nhân đôi của một điểm đường cong elliptic: P + P = R
3 (Phép cộng điểm ) Cho thì P + Q = (x3,y3), trong đó
4 (Phép nhân đôi) Cho thì 2P = (x3,y3), trong đó.
Quan sát rằng các bổ sung của hai đường cong elliptic trong đòi hỏi một vài phép tính toán học (cộng, trừ, nhân, và nghịch đảo) trong các cơ bản
Ví dụ 5: (Cộng đường cong elliptic ) Hãy xem xét những đường cong elliptic được định nghĩa trong Ví dụ 4
1 Cho P =(4,7) và Q = (13,11) thì P +Q = (x3,y3) được tính ở phía dưới: Và
Từ đó suy ra P + Q = (15,16)
2 Cho P =(4,7) thì 2P = P+P =(x3,y3) được tính ở dưới: Và
Từ đó suy ra 2P = (10,18)
2.2 Đường cong elliptic trên
Một đường cong elliptic E trên được biểu diễn bằng phương trình dạng: (4)
Trong đó và . Thiết lập E( ) bao gồm tất cả các điểm thỏa mãn phương trình xác định (4), cũng như điểm đặc biệt được gọi là điểm vô cùng.
Ví dụ 6: (đường cong elliptic trên ) Xét đại diện tối giản các tam thức (Xem ví dụ 2 của
phần 3). Xét đường cong elliptic E: trên (trong chú giải cuả phương trình (4), chúng ta có ) chú ý là như vậy E là một đường cong elliptic thực. Các điểm trong E( ) là và được tính ở phía dưới:
Công thức cộng: Với đường cong elliptic trên , gọi là quy tắc cung và tiếp tuyến cho các phép thêm các điểm trên đường cong elliptic cho ba điểm trên đường cong elliptic. Với cả hai công thức cộng, thiết lập các điểm trong mẫu nhóm với như là định dạng của nó. Công thức đại số sau đây cho tổng của hai điểm và tăng gấp đôi của một điểm bây giờ có thể được rút ra từ mô tả hình học.
1 .
2 Nếu (ở đây điểm (x,x+y) được đặc tả bởi –P và gọi là phần phủ định của P; quan sát thấy –P là điểm thực trên cung).
3 Phép cộng điểm: Cho Trong đó
4 Phép nhân đôi : Cho trong đó:
Ví dụ 7: (Phép cộng trong đường cong elliptic ) Hãy xem đường cong elliptic đã được định nghĩa trong ví dụ 6.
1 Cho được tính như sau:
Và
Từ đó suy ra
2 Cho được tính như sau: Và
Từ đó suy ra .
2.3 Thông tin cơ bản
Nhóm bậc: Cho E là đường cong elliptic trên trường hữu hạn . Định lý Hasse có nói rằng số lượng các điểm trên một đường cong elliptic (bao gồm cả các điểm ở vô cùng) là gọi là bậc của E và t gọi là vệt của E. Trong một số từ, bậc của đường cong elliptic là xấp xỉ bằng với kích thước của q trong các trường dưới.
Cấu trúc nhóm: là nhóm giao hoán giữa bậc 1 hoặc 2. Đó là, là đẳng cấu từ , trong đó chia cho cho cùng một số nguyên dương và . biểu thị theo chu kỳ trên n. Ngoài ra, chia
cho . Nếu thì được gọi là chu kỳ. Một lựa chọn là đẳng cấu từ và nó bao gồm một điểm như vậy ; vì vậy điểm đó được gọi là điểm khởi đầu (bộ sinh) của
Ví dụ 8: (Chu kỳ đường cong elliptic ) Xem xét các đường cong elliptic đã định nghĩa trong ví dụ 4. Từ đó , nó là một số nguyên tố, là một chu kỳ và bất kỳ một điểm nào khác đều lớn hơn là điểm khởi đầu của , ví dụ, P=(0,2) là điểm khởi đầu (bộ sinh) như sau