Gọi 𝑒𝑖 = [𝑒𝑖1𝑇, … , 𝑒𝑖𝑚𝑇 ]𝑇 ∈ ℝ𝑛1+⋯+𝑛𝑚, với mọi 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁 là véc tơ sai số bám giữa nút đối tượng 𝑖 và các nút lân cận 𝑗 của nó, trong đó 𝑒𝑖 ∈ ℝ𝑛 được viết bởi phương trình thứ của động học nút (6.1):
92
𝑒𝑖 = 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 + 𝑧𝑖 𝑗 ∈ℕ𝑖
𝑥𝑖 − 𝑥0 (6.3)
Nếu nút đối tượng 𝑖 mong muốn giữ đội hình với nút đối tượng 𝑗, ∀𝑗 ∈ ℕ𝑖 thì (6.3) có thể viết thành:
𝑒𝑖 = 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 + ∆𝑖𝑗 + 𝑧𝑖 𝑗 ∈ℕ𝑖
𝑥𝑖 − 𝑥0 (6.4)
trong đó 𝑥𝑖, 𝑥𝑗 và 𝑥0, lần lượt là các véc tơ trạng thái của nút đối tượng 𝑖, 𝑗 và nút dẫn đầu. ∆𝑖𝑗∈ ℝℕ𝑖 là khoảng cách mong muốn giữa nút đối tượng 𝑖 và 𝑗. Với mọi
= 1, … , 𝑚, lấy đạo hàm (6.3) hoặc (6.4) và kết hợp với phương trình thứ của động học nút (6.1) ta có động học sai số bám giữa nút 𝑖 và các nút 𝑗 lân cận nó:
𝑒 𝑖 = −𝑧𝑖𝑥 0 + 𝑖 + 𝑧𝑖 𝑓𝑖 𝑥 𝑖 + 𝑔𝑖 𝑥 𝑖 𝑥𝑖 +1 + 𝑘𝑖 𝑥 𝑖 𝑑𝑖 − 𝑎𝑖𝑗 𝑓𝑗 𝑥 𝑗 + 𝑔𝑗 𝑥 𝑗 𝑥𝑗 +1 + 𝑘𝑗 𝑥 𝑗 𝑑𝑗 𝑗 ∈ℕ𝑖 (6.5) Sử dụng động học nút dẫn đầu (6.2) cho (6.5) ta có: 𝑒 𝑖 = 𝑓𝑖𝑒 𝑡 + 𝑖 + 𝑧𝑖 𝑔𝑖 𝑥 𝑖 𝑥𝑖 +1 + 𝑘𝑖 𝑥 𝑖 𝑑𝑖 − 𝑎𝑖𝑗 𝑔𝑗 𝑥 𝑗 𝑥𝑗 +1 + 𝑘𝑗 𝑥 𝑗 𝑑𝑗 𝑗 ∈ℕ𝑖 − 𝑧𝑖𝑔0 𝑥 0 𝑥0 +1 (6.6) trong đó 𝑓𝑖𝑒 𝑡 = 𝑗 ∈ℕ𝑖𝑎𝑖𝑗 𝑓𝑖 𝑥 𝑖 − 𝑓𝑗 𝑥 𝑗 + 𝑧𝑖 𝑓𝑖 𝑥 𝑖 − 𝑓0 𝑥 0 . Từ (6.6), véc tơ sai số bám hợp tác cho toàn bộ nút đối tượng, đặc trưng bởi chỉ số “*” với
= 1, … , 𝑚 − 1, sẽ là:
𝑒 ∗ = 𝐹∗𝑒 + ℒ + 𝑍 ⊗ 𝐼𝑛 𝐺∗ 𝑥 ∗ 𝑥∗ +1 + 𝐾∗ 𝑥 ∗ 𝑑∗ − 𝑍
⊗ 𝐼𝑛𝐺∗0 𝑥 ∗0 𝑥∗0 +1 (6.7)
trong đó ℒ là ma trận Laplace của đồ thị con 𝒢 (𝒱 , ℰ , 𝒜 ), với thông tin kết nối giữa đối tượng dẫn đầu và lân cận nó bị bỏ qua, ℒ = ℋ − 𝒜 , trong đó ℋ ∈ ℝ𝑁×𝑁 và 𝒜 ∈ ℝ𝑁×𝑁 là các ma trận con, được hình thành từ việc loại bỏ các phần tử có liên quan đến nút dẫn đầu 𝑒∗ = [𝑒1𝑇 , … , 𝑒𝑁𝑇 ]𝑇 ∈ ℝ𝑁𝑛, 𝐹∗𝑒 = [𝑓1𝑒𝑇, … , 𝑓𝑁𝑒𝑇]𝑇 ∈ ℝ𝑁𝑛, 𝑥 ∗ = [𝑥 1𝑇 , … , 𝑥 𝑁𝑇 ]𝑇 ∈ ℝ𝑁(𝑛1+⋯+𝑛), 𝑥∗(+1) = [𝑥 1(+1)𝑇 , … , 𝑥 𝑁(+1)𝑇 ]𝑇 ∈ ℝ𝑁𝑛 +1, 𝐺∗ = diag
𝑔1, … , 𝑔𝑁 ∈ ℝ𝑁𝑛×𝑁𝑛 +1, 𝐺∗0 = diag 𝑔0 𝑁 ∈ ℝ𝑁𝑛×𝑁𝑛 +1, 𝑥∗0(+1) = 1 𝑁 ⊗ 𝐼𝑛𝑥0(+1) ∈ ℝ𝑁𝑛 +1, 𝑥 ∗0 = 1 𝑁 ⊗ 𝐼𝑛𝑥 0 ∈ ℝ𝑁𝑛, 𝑑∗ = [𝑑1𝑇 , … , 𝑑𝑁𝑇 ]𝑇 ∈ ℝ𝑁𝑛,
93
Tương tự như vậy, sai số bám hợp tác cho tất cả các nút với = 𝑚 được viết thành:
𝑒 ∗𝑚 = 𝐹∗𝑚𝑒 + ℒ + 𝑍 ⊗ 𝐼𝑛𝑚 𝐺∗𝑚 𝑥 ∗𝑚 𝑢∗𝑚 + 𝐾∗𝑚 𝑥 ∗𝑚 𝑑∗𝑚 − 𝑍 ⊗ 𝐼𝑛𝑚𝐺∗0𝑚 𝑥 ∗0𝑚 𝑢∗0𝑚 (6.8) trong đó 𝑒∗𝑚 = [𝑒1𝑚𝑇 , … , 𝑒𝑁𝑚𝑇 ]𝑇 ∈ ℝ𝑁𝑛𝑚, 𝐹∗𝑚𝑒 = [𝑓1𝑚𝑒𝑇, … , 𝑓𝑁𝑚𝑒𝑇]𝑇 ∈ ℝ𝑁𝑛𝑚, 𝑢∗𝑚 = [𝑢1𝑚𝑇 , … , 𝑢𝑁𝑚𝑇 ]𝑇 ∈ ℝ𝑁𝑛𝑚 +1, 𝑑∗𝑚 = [𝑑1𝑚𝑇 , … , 𝑑𝑁𝑚𝑇 ]𝑇 ∈ ℝ𝑁𝑛𝑚, 𝑥∗𝑚 = [𝑥 1𝑚𝑇 , … , 𝑥 𝑁𝑚𝑇 ]𝑇 ∈ ℝ𝑁(𝑛1+⋯+𝑛𝑚), 𝐺∗𝑚 = diag 𝑔1𝑚, … , 𝑔𝑁𝑚 ∈ ℝ𝑁𝑛𝑚×𝑁𝑛𝑚 +1 , 𝐺∗0𝑚 = diag 𝑔0𝑚 𝑁 ∈ ℝ𝑁𝑛𝑚×𝑁𝑛𝑚 +1, 𝐾∗𝑚 = diag 𝑘1𝑚, … , 𝑘𝑁𝑚 ∈ ℝ𝑁𝑛𝑚×𝑁𝑛𝑚,𝑥 ∗0𝑚 = 1 𝑁⊗ 𝐼𝑛𝑚𝑥 0𝑚 ∈ ℝ𝑁𝑛𝑚 Để thiết kế luật điều khiển hợp tác tối ưu cho toàn hệ thống, ta tiến hành 𝑙 bước (1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑚) dựa vào các phương trình (6.7) và (6.8).
Khi 𝑙 = 1, động học bám (6.7) được viết thành:
𝑒 ∗1 = 𝐹∗1𝑒 + ℒ + 𝑍
⊗ 𝐼𝑛1 𝐺∗1 𝑥 ∗1 𝑥∗02+ 𝐺∗1 𝑥 ∗1 𝑥∗2 − 𝑥∗02 + 𝐾∗1 𝑥 ∗1 𝑑∗1 − 𝑍 ⊗ 𝐼𝑛1𝐺∗01 𝑥 ∗01 𝑥∗02
= 𝐹∗1𝑒 + ℒ + 𝑍 ⊗ 𝐼𝑛1 𝐺∗1 𝑥 ∗1 𝑒∗2+ 𝐺∗1 𝑥 ∗1 𝑥∗2∗ + 𝐾∗1 𝑥 ∗1 𝑑∗1
(6.9)
trong đó 𝑥∗2∗ = [𝑥12∗𝑇, … , 𝑥𝑁2∗𝑇]𝑇 là ngõ vào điều khiển ảo sẽ được thiết kế sau sao cho
𝑥∗2∗ = 𝑥∗02 + 𝑥∗2𝑑𝑎 với 𝑥∗2𝑑𝑎 là nghiệm của phương trình:
𝑍 ⊗ 𝐼𝑛1𝐺∗01 𝑥 ∗01 𝑥∗02+ ℒ + 𝑍 ⊗ 𝐼𝑛1𝐺∗1 𝑥 ∗1 𝑥∗2𝑑𝑎 = 0
Khi 2 ≤ 𝑙 ≤ 𝑚 − 1, động học (6.7) được viết thành:
𝑒 ∗𝑙 = 𝐹∗𝑙𝑒 + ℒ + 𝑍 ⊗ 𝐼𝑛𝑙 𝐺∗𝑙 𝑥 ∗𝑙 𝑥∗0 𝑙+1 + 𝐺∗𝑙 𝑥 ∗𝑙 𝑥∗ 𝑙+1 − 𝑥∗0 𝑙+1 + 𝐾∗𝑙 𝑥 ∗𝑙 𝑑∗𝑙 − 𝑍 ⊗ 𝐼𝑛𝑙𝐺∗0𝑙 𝑥 ∗0𝑙 𝑥∗0 𝑙+1 = 𝐹∗𝑙𝑒 + ℒ + 𝑍 ⊗ 𝐼𝑛𝑙 𝐺∗𝑙 𝑥 ∗𝑙 𝑒∗ 𝑙+1 − 𝐺∗ 𝑙−1 𝑇 𝑥 ∗ 𝑙−1 𝑒∗ 𝑙−1 + 𝐺∗𝑙 𝑥 ∗𝑙 𝑥∗(𝑙+1)∗ + 𝐾∗𝑙 𝑥 ∗𝑙 𝑑∗𝑙 (6.10)
trong đó 𝑥∗(𝑙+1)∗ = [𝑥1(𝑙+1)∗𝑇 , … , 𝑥𝑁(𝑙+1)∗𝑇 ]𝑇 là véc tơ ngõ vào điều khiển ảo sẽ được thiết kế sau sao cho 𝑥∗(𝑙+1)∗ = 𝑥∗0(𝑙+1)+ 𝑥∗(𝑙+1)𝑑𝑎 với 𝑥∗(𝑙+1)𝑑𝑎 là nghiệm của phương trình:
𝑍 ⊗ 𝐼𝑛𝑙𝐺∗0𝑙 𝑥 ∗0𝑙 𝑥∗0(𝑙+1)+ ℒ + 𝑍 ⊗ 𝐼𝑛𝑙 𝐺∗𝑙 𝑥 ∗𝑙 𝑥∗(𝑙+1)𝑑𝑎 + 𝐺∗(𝑙−1)𝑇 𝑥 ∗(𝑙−1) 𝑒∗(𝑙−1) = 0 Cuối cùng, 𝑙 = 𝑚, động học hợp tác (6.8) có thể viết thành:
𝑒 ∗𝑚 = 𝐹∗𝑚𝑒 + ℒ + 𝑍 ⊗ 𝐼𝑛𝑚 𝐺∗𝑚 𝑥 ∗𝑚 𝑢∗𝑚 + 𝐾∗𝑚 𝑥 ∗𝑚 𝑑∗𝑚 − 𝑍
94
= 𝐹∗𝑚𝑒 + ℒ + 𝑍
⊗ 𝐼𝑛𝑚 𝐺∗𝑚 𝑥 ∗𝑚 𝑢∗𝑚∗ − 𝐺∗(𝑚 −1)𝑇 𝑥 ∗(𝑚 −1) 𝑒∗(𝑚 −1) + 𝐾∗𝑚 𝑥 ∗𝑚 𝑑∗𝑚
trong đó 𝑢∗𝑚∗ = [𝑢1𝑚∗𝑇, … , 𝑢𝑁𝑚∗𝑇 ]𝑇 ∈ ℝ𝑁𝑛𝑚 +1 là véc tơ ngõ vào điều khiển tối ưu hợp tác sẽ thiết kế sau sao cho 𝑢∗𝑚∗ = 𝑢∗𝑚 + 𝑢∗𝑚𝑎 , trong đó 𝑢∗𝑚𝑎 là nghiệm của phương trình:
𝑍 ⊗ 𝐼𝑛𝑚𝐺∗0𝑚 𝑥 ∗0𝑚 𝑢∗0𝑚 + ℒ + 𝑍
⊗ 𝐼𝑛𝑚 𝐺∗𝑚 𝑥 ∗𝑚 𝑢𝑎∗𝑚 + 𝐺∗(𝑚 −1)𝑇 𝑥 ∗(𝑚 −1) 𝑒∗(𝑚 −1) = 0 (6.12)
Gọi các tham số động học của toàn hệ thống là 𝐸 = 𝑒1𝑇, … , 𝑒𝑁𝑇 𝑇 ∈ ℝ(𝑛1+⋯+𝑛𝑚)𝑁, 𝑒𝑖 = [𝑒𝑖1𝑇, … , 𝑒𝑖𝑚𝑇 ]𝑇,𝑋 = 𝑥1𝑇, … , 𝑥𝑁𝑇 𝑇 ∈ ℝ(𝑛1+⋯+𝑛𝑚)𝑁,𝑥𝑖 = [𝑥𝑖1𝑇, … , 𝑥𝑖𝑚𝑇 ]𝑇, 𝑈∗= 𝑢1∗𝑇, … , 𝑢𝑁∗𝑇 𝑇 ∈ ℝ(𝑛1+⋯+𝑛𝑚 +1)𝑁, 𝑢𝑖∗= [𝑥𝑖2∗𝑇, 𝑥𝑖3∗𝑇, … , 𝑢𝑖𝑚∗𝑇]𝑇 ∈ ℝ𝑛2+⋯+𝑛𝑚 +1, 𝐹𝑒(𝑡) = 𝐹𝑒1𝑇, … , 𝐹𝑒𝑁𝑇 𝑇 ∈ ℝ(𝑛1+⋯+𝑛𝑚)𝑁, 𝐹𝑒𝑖(𝑡) = 𝐹𝑖1𝑒𝑇, … , 𝐹𝑖𝑚𝑒𝑇 𝑇 ∈ ℝ𝑛1+⋯+𝑛𝑚, 𝐺𝑖(𝑥𝑖) = diag 𝐺𝑖1, … , 𝐺𝑖𝑚 , 𝐺 𝑋 = diag 𝐺1, … , 𝐺𝑁 ∈ ℝ(𝑛1+⋯+𝑛𝑚)𝑁×(𝑛2+⋯+𝑛𝑚 +1)𝑁, 𝑑𝑖 = [𝑑𝑖1𝑇, … , 𝑑𝑖𝑚𝑇 ]𝑇, 𝐷 = 𝑑1𝑇, … , 𝑑𝑁𝑇 𝑇 ∈ ℝ(𝑛1+⋯+𝑛𝑚)𝑁, 𝐾(𝑋) = diag 𝐾1, … , 𝐾𝑁 ∈ ℝ(𝑛1+⋯+𝑛𝑚)𝑁×(𝑛1+⋯+𝑛𝑚)𝑁, 𝐾𝑖(𝑥𝑖) = diag 𝐾𝑖1, … , 𝐾𝑖𝑚 .
Bổ đề 6.1: Xét động học bám hợp tác cho nhiều đối tượng phi tuyến trong đồ thị truyền thông phân tán
𝐸 = 𝐹𝑒(𝑡) + ℒ + 𝑍 ⊗ 𝐼𝑛1+⋯+𝑛𝑚 𝐺 𝑋 𝑈∗+ 𝐾 𝑋 𝐷 (6.13)
Nếu thiết kế được luật điều khiển 𝑈∗ổn định cho hệ kín (6.13), thì luật điều khiển 𝑢𝑖∗
dẫn ra từ 𝑈∗ với mọi 𝑖 = 1, . . . , 𝑁 sẽ ổn định mọi hệ kín thứ 𝑖(6.1).
Chứng minh: Chọn hàm Lyapunov 𝐿 = 𝐸𝑇𝐸. Đạo hàm 𝐿 sử dụng (6.9), (6.10) và (6.11) 𝐿 = 𝑒∗𝑙𝑇𝐹∗𝑙𝑒 + ℒ + 𝑍 ⊗ 𝐼𝑛1+⋯+𝑛𝑚 −1 𝑚 −1 𝑙=1 𝑒∗𝑙𝑇 𝑚 −1 𝑙=1 𝐺∗𝑙 𝑥 ∗𝑙 𝑥∗(𝑙+1)∗ + 𝐾∗𝑙 𝑥 ∗𝑙 𝑑∗𝑙 + 𝐹∗𝑚𝑒 + ℒ + 𝑍 ⊗ 𝐼𝑛𝑚𝑒𝑚𝑇 𝐺∗𝑚 𝑥 ∗𝑚 𝑢∗𝑚∗ + 𝐾∗𝑚 𝑥 ∗𝑚 𝑑∗𝑚 = 𝑒𝑖𝑇 𝐹𝑒𝑖 + ℒ + 𝑍 ⊗ 𝐼𝑛1+⋯+𝑛𝑚 𝐺𝑖 𝑥𝑖 𝑢𝑖∗+ 𝐾𝑖 𝑥𝑖 𝑑𝑖 𝑁 𝑖=1 = 𝐸𝑇 𝐹𝑒 + ℒ + 𝑍 ⊗ 𝐼𝑛1+⋯+𝑛𝑚 𝐺 𝑋 𝑈∗+ 𝐾 𝑋 𝐷 (6.14)
Quan sát (6.14) và (6.13), ta nhận thấy rằng cả hai đều sử dụng chung hàm Lyapunov. Vậy, nếu hệ kín (6.13) ổn định thì hệ kín của toàn bộ động học nút (6.1) cũng ổn định.
95
Chú ý 6.1: 𝐺 𝑋 và 𝐾 𝑋 là các ma trận liên tục theo giả thiết 6.1 và 6.2, và 𝐹𝑒 𝑡 là véc tơ động học nội không biết trước của toàn hệ thống.