Xét 𝑁 đối tượng hợp tác trong hệ thống. Cấu hình hợp tác nhiều đối tượng có thể đặc trưng bởi đồ thị có hướng 𝒢(𝒱, ℰ, 𝒜) trong đó các đối tượng được biểu diễn bởi tập nút 𝒱 = 𝑠0, … , 𝑠𝑁 , với 𝑠0 là nút dẫn đầu. Sự truyền thông giữa các đối tượng được đặc trưng bởi tập cạnh 𝛤 ⊆ 𝒱 × 𝒱 với ma trận trọng số kết nối 𝒜 = [𝑎𝑖𝑗]trong đó 𝑎𝑖𝑖 = 0, 𝑎𝑖𝑗 > 0 nếu 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝛤 và 𝑎𝑖𝑗 = 0 trong trường hợp ngược lại. Nếu 𝑠𝑗 nhận được thông tin của đối tượng 𝑠𝑖 thì 𝑠𝑗 được gọi là đối tượng lân cận của 𝑠𝑖. Tập lân cận của đối tượng si được định nghĩa bởi ℕ𝑖 = 𝑆𝑗 ∈ 𝒱: (𝑠𝑖, 𝑠𝑗) ∈ 𝛤 . Định nghĩa ma trận
Hình 6.1 Đồ thị truyền thông của 4 hệ phi tuyến
0 1
3 2
90
Laplace ℒ = ℋ − 𝒜 ∈ ℝ 𝑁+1 ×(𝑁+1) trong đó ℋ = diag(𝑖) với 𝑖 = 𝑗 ∈ℕ𝑖𝑎𝑖𝑗. Để ý rằng tổng mỗi hàng của ma trận ℒ cho giá trị không. Đường đi có hướng từ đối tượng
𝑠0 đến 𝑠𝑘 là một chuỗi các cạnh có thứ tự đầu và cuối, với (𝑠𝑖, 𝑠𝑖+1) ∈ 𝒱, 𝑖 = 0, … , 𝑘 − 1. Nếu tồn tại đường đi có hướng từ 𝑠𝑖 đến 𝑠𝑗, với 𝑠𝑖, 𝑠𝑗 ∈ 𝒱 với mọi đối tượng khác nhau, thì đồ thị có hướng được kết nối đầy đủ.
Ví dụ 6.1: Đồ thị kết nối truyền thông giữa bốn đối tượng được trình bày trên H.
6.1 dùng để minh họa lý thuyết đồ thị và nhằm mục đích mô phỏng sau này, trong đó đối tượng mang số 0 là đối tượng dẫn đầu, ba đối tượng còn lại được đánh số thứ tự từ 1 đến 3. Cách trao đổi thông tin giữa các đối tượng được biểu diễn bằng các đường mũi tên. Chỉ có đối tượng 1 nhận được thông tin từ đối tượng 0, đối tượng 2 nhận thông tin từ đối tượng 1 và trao đổi thông tin hai chiều đối tượng 3. Tương tự đối tượng 3 trao đổi hai chiều với cả đối tượng 1 và 2. Theo định nghĩa trên, đối tượng 1 là lân cận của đối tượng 0, đối tượng 2 và 3 là các đối tượng lân cận của đối tượng 1. Đối tượng 3 có hai lân cận là đối tượng 1, 2 trong khi đó đối tượng 2 chỉ có 1 lân cận là đối tượng 3. Khi đó s s s s s0, , , ,1 2 3 4. Giả sử các đối tượng 𝑖 kết nối đối tượng 𝑗, trọng số kết nối là 𝑎𝑖𝑗 = 1, ngược lại 𝑎𝑖𝑗 = 0. Theo định nghĩa mô tả trên, ta có các ma trận:
𝒜 = 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 , ℋ = 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 , ℒ = 1 −1 0 0 0 2 −1 −1 0 0 1 −1 0 −1 −1 2
Định lý 6.1 [89]: Đồ thị ( , , ) là cây bao phủ có hướng nếu và chỉ nếu
( , , ) tồn tại ít nhất một nút có đường đi có hướng tất cả mọi nút còn lại.