Hình 3.8: phân tích nội lực cat ấm (Kirchoff). Hình 3.9: Vật liệu đa lớp.

ràng buộc Q2 đ ợc bù đắp b i điện tích phân cực bên trong vật cách điện, chỉ có điện tích tự do Q1 góp cho điện thếΦ.

Φ= = 0= 1 0 (3.29) Tổng điện tích đ ợc cho b i : Q=Q1+Q2=Q/ɛR+Q(1-1 ɛ ). (3.30) Và sự phân b điện tích: ß=ß + ß(1− 1 ) (3.31) Hình 3.5: Sự phân cực điện tích. Ta có: D=ßTr ng Chuy n Vị P= ß(1-1) Sự Phân ωực E=∅= 0 1 = ß 0Điện Tr ng Từ đó ta có: D=ɛE=ɛ0E+P (3.32) Điện môi

36 và P=(ɛ-ɛ0) E

3.2 SựỄpăĐi n

Trong môi tr ng điện môi một chiều không ng suất, sự chuy n vị vật cách điện D (điện tích trên đơn vị diện tích, đ a ra trong ωb/mβ) liên quan đến điện tr ng E (V/m) và sự phân cực P(ωb/mβ).

T ơng tự trong 1 vật đàn hồi một chiều đặt trong điện tr ng 0, ng suất � (N/Mβ) và biến d ng quan hệ b i:

=

đây clà ma trận độ c ng(modun đàn hồi young).

Đ i với vật liệu áp điện, ph ơng trình cấu thành điện và cơ học đ ợc kết hợp. ψiến d ng � trong vật liệu đ ợc gây ra sự phân cực c a hiệu ng áp điện trực tiếp. Tổnggây ra sự phân cực b i :

P= (ɛ-ɛ0)E +eS.

Ng ợc l i một áp điện tr ng đ ợc áp vào có xu h ớng sắp xếp các l ỡng cực nội bộ, ng suấtc m ng –Ee trong vật liệu bằng hiệu ng áp điện ng ợc. Các ph ơng trình đ ợc kết hợp cu i cùng tr thành:

T=cES– Ee (là công th c tinh ng suất c a bộ kích ho t áp điện) (3.33) = e +ɛs (là công th c c m biến) (3.34) Trong công th c (5.6) hằng s áp điện e liên hệ ng suất với điện tr ng E trong tr ng hợp biến d ng cơ và cEđề cập tới độ c ng khi điện tr ng là hằng s . Trong công th c (5.7), e liên quan điện tích điện trên đơn vị diện tích D đ i với biến d ng trên 1 điện tr ng 0, e đ ợc bi u thị là ωb/m2, ɛS là hằng s điện môi d ới biến d ng không đổi.

3.3 SựăỄpăĐi năTuy năTính

Một đặc tr ng quan trọng c a vật liệu áp điện đư so sánh với vật liệu thông minh khác là ng xử tuyến tính c a nó trong một ph m vi cho phép.

37

Trong phần này chúng ta sử dụng l u ý nh nhau nh (IEEE) và chỉ sự kết hợp áp điện đ ợc chú ý. Trong áp điện tuyến tính, ph ơng trình đàn hồi tuyến tính đ ợc kết hợp với ph ơng trình điện tích c a tĩnh điện bằng hệ s áp điện. Hầu hết tĩnh điện là đ b i vì vận t c trong giai đo n sóng âm nh hơn vận t c c a sóng điện từ.

u đi m c a đ i x ng c a tenxo cơ học, một ma trận thu gọn đ ợc giới thiệu trong bi u di n tenxo . Ký hiệu ma trận này bao gồm thay thế chỉ s ij hoặc kl b i p hoặc q cho trong b ng β.1

Ph ơng trình cấu thành đ ợc cho:

{ } = [cE] {S} – [e]T {E} cho bộ kích ho t (actuator) {D} = [e] { } + [eS] {E} cho c m biến(sensor) Hoặc { }=[sE] { } + [d]T{E} { } = [d]{ }+[ɛT]{E} { }=[sD]{ }+[g]T{ } {E} = -[g]{ } + [ S]{ { }=[CD]{ }-[h]T{ } {E} = -[h]{ }+[ S]{ } B ng 2.1: Hệ s chuy n khi khi

38

Với { } = {Txx Tyy Tzz Tyz Txz Txy}T là vecto ng suất { } là vecto biến d ng

{E} là vecto điện tr ng { } là vecto chuy n vị điện

[c] và [s] là ma trận hằng s đàn hồi [ɛ] và [ ] là ma trận hằng s điện môi

[d], [e], [g] và [h] là ma trận hằng s áp điện.

ωác yếu t dij c a [d] đ i diện cho liên kết giữa tr ng điện theo h ớng i ( nếu sự phân cực x y ra, ph ơng c a nó đ ợc lấy theo h ớng γ) và biến d ng theo h ớng j Sj=dijEi. Những quan hệ sau đây giữa hệ s điện môi, đàn hồi, áp điện là đ ợc xác minh:

Do tính đ i x ng c a tinh th , ma trận kết hợp áp điện [d] và [e] có th chỉ có một vài yếu t không bằng không (Cady, 1946,, Nye,1957).

3.4 L păỄpăĐi n

Hình 3.6: Mô hình tấm composite liên kết với miếng áp điện [1γ].

Xét 1 cấu trúc v với miếng áp điện đ ợc gắn vào với điện cực. H ớng cực từ và tr ng điện và tr ng chuy n vị là song song, vuông góc với miếng áp điện. Miếngáp điện là song song với mặt trung bình và thẳng góc với mặt phẳng.

Gi thiết sau đây đ ợc làm nh :

Một ph ơngthì nh hơn đáng k so với ph ơng khác. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Điện tích

Miếng áp điện

Lớp th k Phân cực

39

Gi thiết ng suất phẳng : σzz= 0.

Kirchoff gi định:

{S} = {S0} + Z {k} (3.35)

ta có {S0} là biến d ng c a mặt giữa và {k} là độ cong c a mặt giữa.

Điện tr ng đều và chuy n vị qua độ dày và đ ợc canh chỉnh vuông góc với đ ng thẳng góc c a mặt trung bình(ph ơng γ).

{E} = 00

{D} = 0 0

Áp điện tuyến tính cho mỗi lớp áp điện th k. Ph ơng trình cấu thành cho lớp th k tr thành: {T} = [c]k {S} - 3132 0 Ek (3.36) {D}k= { e31 e32 0}k {S} +ɛk Ek. (3.37) [c]k là ma trận hệ s đàn hồi c a lớp th k

3.4.1L păĐ năTrongă ngăSu tăPhẳng

Hình 3.7: Lớp và hệ trục tọa độ c a lớp đơn.

Đầu tiên xem xét một đơn t i th i đi m thuần cơ c a quan hệ ng suất biến d ng. Hưy đ xem xét một lớp duy nhất t i đi m cơ học c a vật liệu. Một góc θk là

40

góc định h ớng giữa các vật liệu trục dài h n c a lớp k và các trục xy đ ợc gi định nh hình trên,θk đ ợc tính từ x đến L. Ma trận chuy n đổi [RT] k và [RS]k quan hệ đến ng suất, biến d ng và chúng viết bằng các trục vật liệuđơn (LT) trong hệ trục tổng th (xy): � � � = �� � (3.38) 1 2 = 1 2 (3.39) =

Với ma trận biến đổi:

ωhúng ta có th viết:

= −1 (3.40)

Ma trận độ c ng Q’k c a lớp th k trong hệ trục (xy) c a tấm conposite đ ợc cho b i:

� �

� = ′ (3.41)

ψây gi ta giới thiệu tr ng thái áp điện kết n i. Tr ng điện thì quan hệ với điện áp ϕkqua độ dày hk c a lớp k:

41

Ek=-ϕk/hk. (3.42)

ψắt đầu từ công th c cho lớp áp điện k trong các trục chính c a vật liệu, chúng ta lấy trong trục (xy):

{T}xy= [RT]-1k {T}LT =[RT]-1k [c]k[RS]k{S}xy-[RT]-1k 31 31 0 Ek. =[Q]k{S}xy + [RT]-1k 31 31 0 � ℎ . (3.43) 3.4.2 ĐaăL p

Một tấm đ ợc t o thành từ hai hay nhiều lớp đ ợc liên kết với nhau đ ho t động nh một lớp đơn. Sự liên kết giữa hai lớp đ ợc cho là hoàn h o, đ chuy n vị đ ợc liên tục qua sự liên kết đó. Thuyết cổ đi n cho vật liệu đa lớp đ ợc cho sau đây và đ ợc thực hiện với tr ng thái liên kết thuộc điện cơ.

Nội lực trong mặt phẳng{N} và momen u n{M} có th đ ợc xác định b i sự tích hợp những ng suất trên độ dày c a vật liệu đa lớp. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

{N}= ℎ/2 −ℎ/2 {M}= ℎ/2

−ℎ/2

Ph ơng trình tích hợp trên độ dày, lấy kết qu nội lực trung bình và momen u n: = 0 + 3 3 [ ]−1 31 32 0 � ℎ −1 =1 . (3.44)

Với n là s lớp vật liệu áp điện và zk là tọa độ c a lớp kquan hệ với mặt trung bình nh :

42

Hình 3.8: phân tích nội lực c a tấm (Kirchoff)[3].

Hình 3.9: Vật liệu đa lớp[13].

Ma trận u n và ma trận liên kết A,ψ,D đ ợc cho b i m i quan hệ lớp cho vật liệu đa lớp: [A]= =1 ′ − −1 (ma trận lực dọc). [B]=1 2 ′ =1 ( 2 − 2−1) (ma trận kết hợp). [D]=1 3 ′ =1 ( 3 − 3−1) (ma trận u n).

Là kho ng cách từ mặt trung bình c a lớp k tới mặt trung bình c a tấm composite.

Ph ơng trình ch yếu th hai, cho chuy n vị điện cho lớp th k, trong hệ trục composite(xy):

Dk= 31 32 0 − �ℎ 31 32 0 3 3 0 − �ℎ . (3.45)

4. Quanăh ă ngăsu tăbi năd ngăc aăt măcompositeăcóăl păápăđi n.

Hiệu ng liên kết giữa thuộc tính cơ và điện c a vật liệu áp điện đ ợc chú ý trong những ng dụng điện áp nh c m biến(sensor) và bộ kích ho t. Trong nghiên

43

c u này, hai bộ kích ho t áp điện có bề mặt đ i x ng đ ợc liên kết trên bề mặt tấm composite phân lớp. Điện áp điện với c ng độ và độ lớn ng ợc chiều nhau đ ợc áp dụng cho hai bộ kích ho t áp điện composite, dẫn đến hiệu ng u n trên tấm phân lớp. Momen u n đ ợc gây ra bằng cách sử dụng thuyết phân lớp cổ đi n và áp điện. Gi i pháp phân tích c a chuy n vị hỗn hợpc a tấm composite tựa đơn phụ thuộc momen u n đ ợc gi i bằng lý thuyết tấm. Ph ơng pháp phân tích đ ợc so sánh với ph ơng pháp phần tử hữu h n đ cho thấy giá trị c a bài toán hiện t i. nh h ng c a kích th ớc và vị trí c a bộ kích ho t áp điện trên ph n ng c a tấm composite lớp đ ợc trình bày qua ph ơng pháp gi i tích.

4.1 Momen Uốn

Trong luận văn này, hai bộ kích ho t áp điện đ ợc gắn đ i x ng trên mặt trên và d ới c a tấm composite lớp. H ớng phân cực là dọc theo trục z. Vì bộ kích ho t áp điện m ng tự do, sự biến d ng cân bằng theo c ph ơng x và y sẽ đ ợc gây ra khi đ ợc kích ho t b i 1 điện áp dọc theo h ớng phân cực. Độ lớn c a sự biến d ng có th đ ợc đ a ra trong bi u thị hằng s áp điện d31, áp dụng điện áp Φvà độ dày c a bộ kích ho t h nh sau [7]:

= = = 31

ℎ .� (3.46)

Khi một điện tr ng đ ợc áp vào theo h ớng vuông góc với bề mặt bộ kích ho t, bề mặt biến d ng đ ợc mô t theo công th c (3.46). Đ ghép bộ kích ho t với cấu trúc, lực tập trung và momen đ ợc gây ra trong vùng liên kết với cấu trúc. Vì việc này tập trung vào sự biến d ng c a tấm gây ra b i momen u n, chỉ có hằng s d31là đ ợc xét đến trong mô hình này.

ωó hai bộ kích ho t đ ợc ho t động bằng cách áp điện với c ng độ bằng nhau và ng ợc dấu cho β bộ kích ho t đ i x ng. Những ph ơng đ i diện c a s c căng bề mặt t i bề mặt giao nhau gây nên momen u n đồng bộ dọc theo biên bộ kích ho t [4] nh hình3.10 :

44

Hình 3.10: Momen u n trên tấm composite lớp gây ra b i bộ kích ho t. Momen u n trên một đơn vị chiều dài mx và my đ ợc gây ra b i bộ kích ho t tới tấm composite đư đ ợc bắt nguồn trong phần tr ớc nh sau:

Sự đ i x ng c a bộ kích ho t qua mặt phẳng giữa z=0 không có phần m rộng hoặc độ co giãn trong mặt phẳng giữa c a tấm. Trong những kết qu sau đây, bộ kích ho t áp điện đ ợc gi sử là đ ợc liên kết hoàn toàn lớp composite và trong tr ng thái ng suất phẳng. Điều này hàm ý là sự biến d ng liên tục qua các mặt giao nhau nh hình 3.11:

Hình 3.11: Sự phân b ng suất dọc theo độ dày c a tấm composite lớp Sự biến d ng qua độ dày c a tấm composite lớp do momen u n [3], [8] có th đ ợc trình bày nh sau:

= ; = ; = (3.47)

đây z là vị trí dọc theo chiều dày đ ợc đo theo mặt giữa c a lớp composite: kx, ky, kxylà độ cong c a tấm composite lớp [6]. my mx PZT PZT composi

45

ng suất u n c a lớp th k c a tấm composite lớp theo (3.12) là: σx σy τxy k = z Q′11 Q′12 Q′16 Q′12 Q′22 Q′26 Q′16 Q′26 Q′66 k kx ky kxy (3.48) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Q’11 Q11cos4 2Q12 2Q66sin2cos2 Q22sin4

Q’12 Q11 Q22 4Q66sin2cos2 Q12sin4cos4

Q’22 Q11sin4 2Q12 2Q66sin2cos2 Q22 cos4

Q’16 Q11 Q12 2Q66sin cos3 Q12 Q22 2Q66sin3cos

Q’26 Q11 Q12 2Q66sin3cos Q12 Q22 2Q66sincos3

Q’66 Q11Q22 2Q12 2Q66sin2cos2 Q66sin4 cos4 ) Q11 = E1 1−v12v21 Q12 = v12E2 1−v12v21 Q22 = E2 1−v12v21 Q66 = G12

Với E1 Và E2 là modun đàn hồi dọc theo h ớng sợi và vuông góc với h ớng sợi, theo th tự. G12 là modun tr ợt, v12 và v21 là hệ s poison, θ là góc định h ớng sợi đ ợc đo từ trục X tổng th .

Trong tr ng hợp lớp đơn (θ =00 hoặc 900), Q’16và Q’26đều bằng 0. ng suất trong lớp th k có th gây ra b i: (σx)k = z[Q′11 k kx+Q′12 k ky] (3.49a) (σy)k = z[Q′12 k kx+Q′22 k ky] (3.49b) (σxy)k = z[Q′66 k ]kxy (3.49c)

46

Theo định luật Hook ta có ng suất gây ra trong bộ kích ho t áp điện [4]:

= Epe 1−vpe2 [ (εx) + vpeεy −( + )] = Epe 1−vpe2 (εx)p+ vpeεy p − 1 + vpe S] ng suất tổng th : = 1− 2 [ + − 1 + ] (3.50) T ơng tự ta có: = 1− 2 [ ( ) + −( + )] = 1− 2 ( ) + − 1 + ] (3.51a) = 1− 2 [ + − 1 + ] (3.51b)

Với Epe và vpelà modun đàn hồi và hệ s poison c a vật liệu áp điện. ωhỉ s d ới p đ i diện cho tấm composite.

Từ lý thuyết tấm composite lớp ta xem hai miếng áp điện liên kết với tấm composite nh là hai lớp c a tấm composite.

Momen u n trên độ dài mx và my đ ợc định nghĩa nh lực phân b σxdz và σydz quay quanhcánh tay đòn z. Tổng c a momen u n với việc thông qua trục trung gian (z=0) theo độ dày c a tấm composite lớp và bộ kích ho t áp điện là 0, nh là:

(� ) + −ℎ−− − + +ℎ = 0 (3.52) Khai tri n bi u th c (3.52): (� ) = − 11 + 12 2 = − 11 2 + 12 2 −1 =1 −1 =1

47 =1 3 11. 3 − 3−1 +1 3 =1 12. ( 3 − 3−1) =1 (3.53a) T ơng tự: = 1− 2 2 + 2 − 1 + .