Khái niệm nghiệm nhớt có liên hệ mật thiết với nguyên lý cực trị và nguyên lý so sánh.
Định nghĩa 1.3.6. Hàm u ∈ C(E) gọi là thỏa mãn nguyên lý so sánh đối với các nghiệm trên ngặt, trơn nếu với mọi φ ∈ C1(E) và tập con mở O ⊂ E,
F(x, φ(x), Dφ(x)) > 0 trong O, u ≤ φ trên ∂O thì u ≤ φ trong Ẹ
Hàm u ∈ C(E) gọi là thỏa mãn nguyên lý cực đại nếu với mọi φ ∈
C1(E) và tập con mở O ⊂ E,
F(x, φ(x), Dφ(x)) > 0 trong O, u ≤ φ trên ∂O thì u−φ không có cực đại không âm trong O.
Rõ ràng là nếu u thỏa mãn nguyên lý cực đại thì u cũng thỏa mãn nguyên lý so sánh. Mối liên hệ giữa các khái niệm trên và nghiệm nhớt cho bởi mệnh đề sau đây
Mệnh đề 1.3.7. Nếu u ∈ C(E) thỏa mãn nguyên lý so sánh thì u là
r 7→ F(x, r, p) không giảm với mọi x, p thì u thỏa mãn nguyên lý cực đại và nguyên lý so sánh.
Bằng cách đổi chiều các bất đẳng thức, thay cực đại không âm bởi cực tiểu không dương ta có các kết quả đối với nghiệm nhớt dướị
Sau đây là một số kết quả về sự so sánh nghiệm và tính duy nhất nghiệm của một số lớp phương trình cụ thể:
Định lý 1.3.8. Giả sử E ⊂RM là một tập mở, bị chặn; tồn tại một mô đun ω1 : [0,+∞) →[0,+∞) sao cho Hamiltonian H thỏa mãn điều kiện
|H(x, p)−H(y, p)| ≤ω1(|x−y|(1 +|p|)), x, y ∈ E, p ∈ RM. (H1)
Khi đó nếu u1, u2 ∈ C(E) tương ứng là nghiệm nhớt dưới và nghiệm
nhớt trên của phương trình Hamilton-Jacobi
u(x) +H(x, Du(x)) = 0, x ∈ E (1.19)
và
u1 ≤u2, x ∈ ∂E
thì u1 ≤ u2 trên Ẹ
Nhận xét 1.3.9. i) Nếu u1, u2 trong Định lý 1.3.8 là hai nghiệm nhớt của phương trình (1.19) và u1 = u2 trên ∂E thì u1 = u2 trong Ẹ Nói cách khác bài toán Dirichlet đối với (1.19) có tính duy nhất nghiệm theo nghĩa nhớt.
ii) Định lý 1.3.8 vẫn đúng đối với phương trình
λu(x) +H(x, Du(x)) = 0, x ∈ E,
trong đó λ >0 đã chọ
Trong trường hợp E = RM,chúng ta có kết quả về sự so sánh nghiệm trong không gian BC(RM)-tất cả các hàm liên tục và bị chặn trên RM.
Tuy nhiên chúng ta cần các giả thiết sau về Hamiltonian H : H(y, λ(x−y) + p)−H(x, λ(x−y) +q)
với mọi λ ≥ 1;p, q ∈ B(0,¯ 1);x, y ∈ B(0, R),¯ ∀R > 0;ω2 là một mô đun địa phương còn ω3 là một mô đun.
Có thể thấy, nếu H thỏa mãn (H1) và
H(x, p)−H(x, q) ≤ ω(|p−q|), ∀x, p, q ∈ RM (H3) thì H thỏa mãn (H2) với ω3 = ω và ω2(r, R) =ω1(2r) với mọi r, R > 0.
Định lý 1.3.10. Giả sử u1, u2 ∈ BC(RM) tương ứng là nghiệm nhớt dưới và nghiệm nhớt trên của phương trình Hamilton-Jacobi
u(x) +H(x, Du(x)) = 0, x ∈ RM