Định nghĩa 1.3.1. Hàm u ∈ U SC(E) là một nghiệm nhớt dưới của (1.16) hay là một nghiệm của F(x, u, Du) ≤ 0 trong E nếu với mỗi
φ ∈ C1(E) và với mỗi điểm cực đại địa phương x của u−φ ta có
F(x, u(x), Dφ(x)) ≤ 0.
Hàm u ∈ LSC(E) là một nghiệm nhớt trên của (1.16) hay là một nghiệm của F(x, u, Du) ≥ 0 trong E nếu với mỗi φ ∈ C1(E) và với mỗi điểm cực tiểu địa phương x của u−φ ta có
F(x, u(x), Dφ(x)) ≥ 0.
Hàm u ∈ C(E) được gọi là nghiệm nhớt của (1.16) nếu nó vừa là một nghiệm nhớt dưới vừa là một nghiệm nhớt trên của phương trình đó.
Để ý rằng: phương trình Hamilton tiến hóa
ut(y, t) + F(y, t, u(y, t), Dy(y, t)) = 0, (y, t) ∈ D ×(0, T)
có thể đưa về dạng (1.16) với
trong đó q = (q1,· · · , qM, qM+1) ∈ RM+1.
Mệnh đề sau đây cho thấy tính chất địa phương của nghiệm nhớt và sự phù hợp của nghiệm nhớt đối với khái niệm nghiệm cổ điển.
Mệnh đề 1.3.2. i) Nếuu ∈ C(E) là một nghiệm nhớt của phương trình
(1.16) trong E thì u là nghiệm nhớt của phương trình đó trong E0 với
mọi tập mở E0 ⊂E;
ii) Nếu u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.16) trong E thì u là
nghiệm nhớt của phương trình đó trong E;
iii) Nếu u ∈ C1(E) là nghiệm nhớt của phương trình (1.16) trong E
thì u là nghiệm cổ điển của phương trình đó trong E;
Ví dụ 1.3.3. Hàm u(x) = |x|là một nghiệm nhớt của phương trình một chiều
−|u0(x)|+ 1 = 0, x ∈ (−1,1)
nhưng không phải là một nghiệm cổ điển của phương trình đó trên khoảng (−1,1) vì u không khả vi tại x = 0.
Sau đây là một định nghĩa tương đương khác của nghiệm nhớt. Với
u : E →R và x∈ E, các tập
D+u(x) := {p ∈ RM : lim
y→x sup
y∈E
u(y)−u(x)−p.(y −x)
|x−y| ≤0},
D−u(x) := {p ∈ RM : lim
y→x inf
y∈E
u(y)−u(x)−p.(y −x)
|x−y| ≥ 0} tương ứng được gọi là trên vi phân và dưới vi phân của hàm u tại x.
Mệnh đề 1.3.4. Hàm u ∈ USC(E) là nghiệm nhớt dưới của (1.16) khi và chỉ khi
F(x, u(x), p) ≤ 0 với mọi x ∈ E và p∈ D+u(x). (1.17)
Hàm u ∈ LSC(E) là nghiệm nhớt trên của (1.16) khi và chỉ khi
Hàm u là nghiệm nhớt của (1.16) khi và chỉ khi nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện (1.17) và (1.18).
Nhờ đặc trưng này của nghiệm nhớt, chúng ta chứng minh được rằng Định lý 1.3.5. a) Nếu u ∈ C(E) là nghiệm nhớt của (1.16) và u khả vi tại x ∈ E thì
F(x, u(x), Du(x)) = 0.
b) Nếu u liên tục Lipschitz địa phương và là nghiệm nhớt của (1.16)
thì
F(x, u(x), Du(x)) = 0 hầu khắp nơi trong Ẹ