Dãy s là m t l nh v c khó và r t r ng. gi i đ c các bài toán lo i này không ch đòi h i ng i làm Toán ph i s d ng nhi u ki n th c khác nhau c a Toán h c mà còn ph i có kh n ng sáng t o r t cao. Trong các bài toán v dãy s m t v n đ đ c quan tâm nhi u là tính ch t s h c c a dãy s nh : tính chia h t, tính ch t nguyên hay tính chính ph ng… Chúng r t đa d ng và phong phú. Trong nhi u tr ng h p, dãy s ch là v b ngoài còn b n ch t bài toán là m t bài s h c. Chính vì l đó, các bài toán v s h c nói chung, các bài toán v tính ch t s h c c a dãy s nói riêng th ng xu t hi n trong các kì thi h c sinh gi i qu c gia và qu c t , vì nó bao g m nhi u bài toán hay và khó. Trong khuôn kh c a bài vi t này tôi ch đ c p đ n m t khía c nh r t nh c a dãy s nguyênđólà tính tu n hoàn, hi v ng r ng đây là m t tài li u tham kh o t t cho các em h c sinh khá và gi i. Tr c h t ta hãy xem đ nh lý sâu đây:
nh lý: Cho dãy s nguyên truy h i c p k ( k là s nguyên d ng) ngha là N u dãy b ch n thì nó là dãy tu n hoàn k t lúc nào đó.
Ch ng minh:
Gi s dãy b ch n b i s nguyên d ng M, ngha là .
Xét các b k s Có t i đa
b khác nhau nên trong b đ u tiên pha có 2 b trùng nhau. Ch ng h n
Ngha là
Mà nên
t thì ta có
V y dãy tu n hoàn v i chu kì k t
H qu : Cho dãy s nguyên tho mãn
trong đó là các s nguyên và m là s nguyên d ng l n h n 1. G i là s d trong phép chia cho m. Khi đó dãy tu n
hoàn.
Ch ng minh:
Theo gi thi t ta có . Theo tính ch t c ađ ng d th c ta có
Theo các xác đ nh ta có t c là dãy b ch n và truy h i tuy n tính c p k nên theo đ nh lý trêndãy tu n hoàn k t lúc nào đó, ngha là sao cho
Ch n ta đ c
V y . T ng t ta có = ,…, Do đó dãy tu n hoàn v i chu kì T.
Sau đây tôi s đ a ra m t s ví d đi n hình v vi c áp d ng đ nh lý trên. Các bài toán nêu ra đây đ u s d ngđ n tính tu n hoàn c a dãy s d . Gi s là s d trong phép chia cho m t s nguyên d ng m nào đó. Khi đó dãy b ch n và c ng có cùng công th c truy h i v i dãy nên theo h qu trên nó là dãy tu n hoàn.
Bài 1:
Cho V i là s d c a phép chia cho 100. Tìm s d trong phép chia cho 8.
Bài gi i:
G i là s d trong phép chia cho 4. Theo gi thi t
nên
M t khác t c là dãy b ch n do đó dãy này tu n hoàn. Ta tính đ c
D ki m tra tu n hoàn chu kì 6, ngha là
L i có . Do nên cùng tính ch n l suy ra hay V y Mà . Do đó chia h t cho 8. Bài 2: Cho dãy , n=0,1,2,… xác đ nh b i và Ch ng minh r ng: chia h t cho 20
Bài gi i:
T công th c truy h i c a dãy ta th y ( .G i là s d trong phép chia cho 4. Khi đó H n n a ( nên t ng t bài 1 dãy tu n hoàn chu kì 6.
Ta có ( . Vì v y t c là chia h t cho 4. M t khác v i ta có Suy ra V y . Do đó chia h t cho 20. Bài 3: Cho dãy , n=,1,2,3… xác đ nh b i
Ch ng minh r ng t n t i vô s s h ng c a dãy chia h t cho 2005.
Ta có chia h t cho 2005. G i là s d trong phép chia cho 2005. T
công th c truy h i c a dãy ta có
ng th i dãy tu n hoàn k t lúc nào đó, ngh a là sao cho .
Ch n ta đ c
V y . T ng t ta c ng có
Do đó hay chia h t cho 2005 (đpcm)
Bài 4:
Cho dãy , n=,1,2,3… xác đ nh b i
Ch ng minh r ng v i m i s nguyên d ng t n tai vô s s t nhiên sao cho cùng chia h t cho .
Bài gi i:
Xét dãy , n=,1,2,3… xác đ nh nh sau
Ta tính đ c Do đó
G i là s d trong phép chia cho m. Khi đó dãy tu n hoàn ngha là t n t i s
t nhiên T>1 sao cho
V y chia h t cho m v i hay
chia h t cho m v i .
Bài 5:
G i là nghi m d ng l n nh t c a ph ng trình Xét dãy xác
đ nh theo công th c sau: Tìm s d trong phép chia cho 17.
Bài gi i:
t Ta có >0,
.
Do là hàm lien t c trên R nên ph ng trình có 3 nghi m phân
bi t:
t Khi đó là nghi m c a ph ng trình sai phân tuy n
tính thu n nh t có pt đ c tr ng là Do đó ta có
Hay trong đó
( s d ngđ nh lý Vi-et)
Vì v y Do >0
L i có nên
(do .
V y =( . Cho nên
=
V y
G i là s d trong phép chia cho 17. Khi đó dãy tu n hoàn và b ng tính toán
tr c ti p ta có
D ki m tra tu n hoàn chu kì 16, ngh a là là
V y nên
hay chia 17d 6.
Cu i cung tôi xin nêu thêm 2 bài t p khác có th gi i theo ph ng pháp này đ b n đ c tham kh o
Bài 1:
Cho dãy , n=,1,2,3… xác đ nh b i
Ch ng minh r ng:
a) M i s h ng c a dãy đ u là s nguyên d ng.
b) Có vô s nguyên d ng n sao cho có 4 ch s t n cùng là 2003.
c) Không t n t i s nguyên d ng n sao cho có 4 ch s t n cùng là 2004. H ng d n: Bi n đ i đ d n đ n
Bài 2:
Dãy s nguyên , n=,1,2,3… xác đ nh b i
