gcd(i, m) = 1, Sj = ∅ v´o.i mo. i j ∈ {1,2, . . . , µ} \ {i}. Neˆ´u gcd(r, n) = 1,
trong d¯´o r = k(1 +αi +· · ·+α(m−1)i) th`ı G c´o chu tr`ınh Hamilton. Ch´u.ng minh. Tru.´o.c heˆ´t ta thaˆ´y G l`a d¯oˆ` thi. lieˆn thoˆng theo D- i.nh l´y 2.5. Gia’ su.’ G c´o ta.ˆp d¯ı’nh V = {vxy | x ∈ Zm; y ∈ Zn}. Tu.. d¯˘a’ng caˆ´u
ρ : vxy → vyx+1 treˆn G l`a nu.’ a ch´ınh qui neˆn ta c´o theˆ’ x´et d¯oˆ` thi. thu.o.ng
G/ρ. D- ˘a.t Vx = {vxy| y ∈ Zn}; Gx = G[Vx], x = 0, . . . , m−1. Khi d¯´oVx
l`a c´ac d¯ı’nh cu’a G/ρ. Do Si = {k} neˆn theo d¯i.nh ngh˜ıa d¯oˆ` thi. thu.o.ng,
VxVx+i l`a ca.nh cu’a G/ρ. X´et chu tr`ınh C = V0ViV2i. . . V(m−1)iV0
trong G/ρ. La.i c´o gcd(i, m) = 1 neˆn {0, i,2i, . . . ,(m−1)i} l`a taˆ´t ca’ c´ac phaˆ`n tu.’ cu’a Zm. V`ı va.ˆy C l`a chu tr`ınh Hamilton trong G/ρ. Ta xaˆy du.. ng d¯u.`o.ng P t`u.C nhu. sau: P xuaˆ´t ph´at t`u.v0y cu’a G0, d¯i t´o.i vyi+k cu’a
Gi, roˆ`i t´o.i vy2+i k(1+αi) cu’a G2i. Tieˆ´p tu.c nhu. va.ˆy, t´o.i v(m−1)i
y+k(1+αi+···+α(m−2)i)
cu’a G(m−1)i v`a quay tro.’ veˆ`v0y+r cu’a G0. Ta.ˆp taˆ´t ca’ c´ac d¯u.`o.ng d¯i d¯u.o..c xaˆy du.. ng theo c´ach th´u.c treˆn, trong [2], d¯u.o.. c k´y hie.ˆu l`a coil(C).
Trong d¯oˆ` thi. G, tu.. d¯˘a’ng caˆ´u ρ nu.’ a ch´ınh qui v`a c´o caˆ´p n, d¯oˆ` thi. thu.o.ng G/ρ c´o chu tr`ınh Hamilton C v`a coil(C) ch´u.a c´ac d¯u.`o.ng P
noˆ´i hai d¯ı’nh cu’a G0 c´o khoa’ng c´ach r = k(1 +αi + · · ·+ α(m−1)i) v´o.i gcd(r, n) = 1. Theo Boˆ’ d¯eˆ` 1 [26], G c´o chu tr`ınh Hamilton.
D- i.nh l´y 3.9. Gia’ su.’ G = M C(m, n, α, S0, S1, . . . , Sµ) l`a d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an ba.ˆc 4 lieˆn thoˆng c´o m chia heˆ´t cho 4, n ch˘a˜n, S0 = {n
2},
Si = {s} v´o.i i n`ao d¯´o thuo.ˆc {1,2, . . . , µ −1} sao cho gcd(i, m) = 1,
Sj = ∅ cho mo. i j ∈ {1,2, . . . , µ−1} \ {i}, Sµ = {r}. Khi d¯´o G c´o chu tr`ınh Hamilton.
Ch´u.ng minh. Gia’ su.’ G c´o ta.ˆp d¯ı’nh V = {vyx | x ∈ Zm; y ∈ Zn}. K´y hie.ˆu wxy = {vyx, vyx+n
2}, o.’ d¯aˆy x ∈ Zm, y ∈ Zn/2. X´et d¯oˆ` thi. G d¯u.o.. c xaˆy du.. ng t`u.G nhu. sau: G c´o ta.ˆp d¯ı’nh V(G) = {wxy | x ∈ Zm, y ∈ Zn/2}, hai d¯ı’nh wxy v`a wkh, k = x, l`a keˆ` nhau trong G khi v`a chı’ khi toˆ`n ta.i
u∈ wxy v`a v ∈ wkh sao cho u, v keˆ` nhau trong G.
M˘a.t kh´ac, deˆ˜ kieˆ’m tra d¯u.o..c G d¯˘a’ng caˆ´u v´o.i d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an
M C(m, n2, α, S0, . . . , Sµ), trong d¯´o α ≡α (mod n2), Si = {s} v´o.i s ≡s
(mod n2), Sj = ∅ v´o.i mo.i j ∈ {0,1, . . . , µ−1} \ {i} c`on Sµ = {r} v´o.i
r ≡ r (mod n2). Do va.ˆy ta c´o theˆ’ d¯oˆ`ng nhaˆ´t G v´o.i d¯oˆ` thi. n`ay. Nhu. va.ˆy G l`a mo.ˆt d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an ba.ˆc 3 v´o.i S0 = ∅. Theˆm n˜u.a, G
l`a lieˆn thoˆng v`a c´o m chia heˆ´t cho 4. Theo D- i.nh l´y 5 [29], G s˜e c´o chu tr`ınh Hamilton.
Tieˆ´p theo ta s˜e xaˆy du.. ng chu tr`ınh Hamilton C trong Gt`u. mo.ˆt chu tr`ınh Hamilton C trong G b˘a`ng c´ach sau d¯aˆy.
Gia’ su.’ C = w00wx1
y1wx2
y2 . . . wxtyt−−11w00 l`a mo.ˆt chu tr`ınh Hamilton c´o d¯o.ˆ d`ai t trong G. Tru.´o.c heˆ´t ta xaˆy du.. ng d¯u.`o.ng P1 trong G nhu. sau: T`u. d¯ı’nh z00 = v00 ∈ w00 ta d¯i t´o.i d¯ı’nh zx1
y1 thuo.ˆc wx1
y1 b˘a`ng mo.ˆt ca.nh trong
G. Tieˆ´p theo, t`u.zx1
y1 ta d¯i t´o.i d¯ı’nh zx2
y2 thuo.ˆc wx2
y2 c˜ung b˘a`ng mo.ˆt ca.nh trong G, ..., v`a cuoˆ´i c`ung t`u. d¯ı’nh zytxt−−11 d¯˜a d¯u.o.. c cho.n thuo.ˆc wxtyt−−11, b˘a`ng mo.ˆt ca.nh trong G, ta d¯i t´o.i d¯ı’nh zytxt cu’a w00. C´ach xaˆy du.. ng d¯u.`o.ng P1
nhu. treˆn l`a thu.. c hie.ˆn d¯u.o.. c do d¯i.nh ngh˜ıa cu’a d¯oˆ` thi. G. Nhu. va.ˆy ta c´o
P1 = z00zx1
y1zx2
y2 . . . zxt−1
yt−1zytxt,
theˆ´ moˆ˜i d¯ı’nh zyixi trong P1 bo.’ i zyixi+n
2. C´o hai kha’ n˘ang xa’y ra:
Kha’ n˘ang 1: zytxt = z0n
2.
Trong tru.`o.ng ho.. p n`ay, zytxt+n
2 = z00. V`ı va.ˆy, C = P1∪P2 l`a chu tr`ınh Hamilton trong G.
Kha’ n˘ang 2: zytxt = z00. L´uc n`ay, zytxt+n
2 = z0n
2 v`a v`ı theˆ´, ca’ P1 v`a P2 d¯eˆ`u l`a chu tr`ınh trong
G. Do S0 = {n 2} neˆn z00 keˆ` v´o.i z0n 2 v`a zytxt−−11 keˆ` v´o.i zytxt−1 −1+n 2. Do va.ˆy C = z00zx1 y1zx2 y2 . . . zxt−1 yt−1zytxt−1 −1+n 2zytxt−2 −2+n 2 . . . z0n 2z00
l`a chu tr`ınh Hamilton trong G. T´o.i d¯aˆy, d¯i.nh l´y d¯u.o..c ch´u.ng minh. D- i.nh l´y 3.9 veˆ` c´ac d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an ba.ˆc 4 lieˆn thoˆng c´om chia heˆ´t cho 4 v`a S0 = ∅ s˜e d¯u.o.. c minh ho.a trong v´ı du. sau d¯aˆy.
V´ı du. . H`ınh 3.2 l`a mo.ˆt chu tr`ınh Hamilton trong G = M C(4,6,1,
{3},{1},{0}) khi d¯˜a x´oa d¯i c´ac ca.nh cu’a G khoˆng thuo.ˆc chu tr`ınh n`ay.
t t t t t t v00 v10 v20 v30 v04 v05 t t t t t t v10 v11 v21 v31 v41 v15 t t t t t t v20 v12 v22 v32 v42 v25 t t t t t t v03 v31 v23 v33 v43 v53