D oˆ` thi Hamilton v`a nu.’a Hamilton - Đồ thị met- 123docz.net

Vie.ˆc xác d¯i.nh xem mo.ˆt d¯oˆ` thi. G cho tru.ó.c có chu tr`ınh Hamilton hay khoˆng là raˆ´t khó kh˘an. Cho tó.i nay, ngu.ò.i ta vaˆñ chu.a theˆ’ d¯˘a.c tru.ng d¯u.o.. c các d¯oˆ` thi. Hamilton b˘a`ng mo.ˆt d¯ieˆù kie.ˆn caˆ`n và d¯u’ trong tru.ò.ng ho.. p toˆ’ng quát. Bài toán này d¯ã tro.’ thành mo.ˆt trong các vaˆń d¯eˆ` d¯u.o.. c nhieˆù ngu.ò.i quan taˆm cu’a lý thuyeˆ´t d¯oˆ` thi..

Hai d¯i.nh lý sau d¯u.o..c coi là nh˜u.ng keˆ´t qua’ só.m nhaˆ´t cho bài toán Hamilton (xem [14], [18], [19] và [24]).

D- i.nh lý 1.2 (Dirac, 1952). Neˆú G = (V, E) có n ≥ 3 d¯ı’nh và vó.i mo. i d¯ı’nh v ∈ V, deg(v) ≥ n/2 th`ıG là d¯oˆ` thi. Hamilton.

D- i.nh lý 1.3 (Ore, 1960). Neˆú G = (V, E) có n ≥ 3 d¯ı’nh và vó.i mo. i c˘a. p d¯ı’nh u, v khoˆng keˆ` nhau trong G ta có deg(u) +deg(v) ≥n th`ıG là

O’ các d¯i.nh lý treˆn, chúng ta thaˆý d¯eˆ’. G là Hamilton, nó pha’i có “soˆ´ ca.nh d¯u’ ló.n”. Cu. theˆ’ là D-i.nh lý 1.2 d¯òi ho’i taˆ´t ca’ các d¯ı’nh cu’a d¯oˆ` thi. d¯eˆù pha’i có ba.ˆc ló.n ho.n hay b˘a`ng nu.’a soˆ´ d¯ı’nh. D- i.nh lý 1.3 là toˆ’ng quát hóa cu’a D- i.nh lý 1.2. Tuy nhieˆn, trong nhieˆù ló.p d¯oˆ` thi. có caˆú trúc d¯˘a.c bie.ˆt, nh˜u.ng d¯ieˆù kie.ˆn này khoˆng d¯u.o..c tho’a mãn nhu.ng ta vaˆñ có theˆ’ t`ım d¯u.o.. c nh˜u.ng d¯ieˆù kie.ˆn d¯u’ khác d¯eˆ’ chúng có chu tr`ınh Hamilton. Ló.p d¯oˆ` thi. meta luaˆn hoàn d¯u.o..c d¯eˆ` ca.ˆp tó.i o.’ d¯aˆy là mo.ˆt trong nh˜u.ng ló.p d¯ó. Ngu.ò.i ta d¯ã chú.ng minh d¯u.o.. c r˘a`ng mo.i d¯oˆ` thi. meta luaˆn hoàn có tham soˆń nguyeˆn toˆ´ và khác vó.i d¯oˆ` thi. Petersen d¯eˆù có chu tr`ınh Hamilton [4]. Mo.ˆt soˆ´ nghieˆn cú.u gaˆ`n d¯aˆy treˆn d¯oˆ` thi. meta luaˆn hoàn ba.ˆc 3 veˆ` vaˆń d¯eˆ` này c˜ung d¯ã có nhieˆù keˆ´t qua’ (xem trong [25], [26], [28], [29], [31], [35], [36]).

Tieˆ´p theo hu.ó.ng nghieˆn cú.u này, chúng toî d¯˘a.t ra mu.c tieû thú. hai là xem xét su.. toˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton trong các d¯oˆ` thi. meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4 lieˆn thoˆng. Chu.o.ng 3 s˜e tr`ınh bày chi tieˆ´t các keˆ´t qua’ thu d¯u.o.. c cu’a lua.ˆn án.

Nh˜u.ng keˆ´t qua’ sau d¯aˆy veˆ` su. to. ˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton trong mo.ˆt soˆ´ ló.p d¯oˆ` thi. s˜e d¯u.o..c su.’ du.ng cho các chú.ng minh o.’ Chu.o.ng 3. Tru.ó.c heˆ´t là d¯oˆí vó.i d¯oˆ` thi. Cayley. He.ˆ qua’ 3 [6] d¯ã kh˘a’ng d¯i.nh trong các d¯oˆ` thi. Cayley lieˆn thoˆng treˆn nhóm giao hoán có caˆ´p ≥ 3, moˆ˜i ca.nh d¯eˆù n˘a`m treˆn mo.ˆt chu tr`ınh Hamilton. Do va.ˆy mo.i d¯oˆ` thi. luaˆn hoàn lieˆn thoˆng d¯eˆù chú.a chu tr`ınh Hamilton. Theˆm n˜u.a, các d¯oˆ` thi. Cayley ba.ˆc 3 treˆn nhóm nhi. die.ˆn còn d¯u.o..c nói d¯eˆń trong d¯i.nh lý sau.

D- i.nh l´y 1.4 ([8]). Mo. i d¯oˆ` thi. Cayley ba.ˆc 3 lieˆn thoˆng treˆn nh´om nhi.

die.ˆn d¯eˆ`u c´o chu tr`ınh Hamilton.

Trong d¯ó, nhóm nhi. die.ˆn Dn là nhóm caˆ´p 2n (n > 1) sinh bo.’ i hai phaˆ`n tu.’ α, β tho’a mãn αn = β2 = 1 và βαβ−1 = α−1.

Gia’ su.’ G =M C(m, n, α, S0, S1, . . . , Sµ) là mo.ˆt d¯oˆ` thi. meta luaˆn hoàn vó.i ta.ˆp d¯ı’nh V = {vji| i ∈ Zm, j ∈ Zn}, tu.. d¯˘a’ng caˆú ρ cu’a G xác d¯i.nh bo’ i. ρ : vji →vji+1 là t´ıch cu’a m chu tr`ınh rò.i nhau có d¯o.ˆ dài n:

ρ = (v00 v10 . . . vn0−1)(v10 v11 . . . vn1−1). . .(v0m−1 v1m−1 . . . vnm−−11).

V`ı va.ˆy ρ là nu.’ a ch´ınh qui. Khi d¯ó chúng ta có khái nie.ˆm d¯oˆ` thi. thu.o.ng.

D- i.nh ngh˜ıa 1.11. Gia’ su.’ nhóm các tu.. d¯˘a’ng caˆú cu’a d¯oˆ` thi. G có phaˆ`n tu.’ nu.’ a ch´ınh qui ρ. Khi d¯ó d¯oˆ` thi. thu.o.ng G/ρ d¯u.o.. c d¯i.nh ngh˜ıa là d¯oˆ` thi. vó.i các d¯ı’nh là các qu˜ı d¯a.o cu’a ρ và hai d¯ı’nh là keˆ` nhau trong G/ρ

neˆú có mo.ˆt ca. nh trong G noˆí hai d¯ı’nh tu.o.ng ú.ng thuo.ˆc hai qu˜ı d¯a. o d¯ó.

Keˆ´t qua’ sau d¯aˆy veˆ` chu tr`ınh Hamilton trong d¯oˆ` thi. thu.o.ng d¯˜a d¯u.o.. c t´ac gia’ Alspach d¯u.a ra n˘am 1989.

D- i.nh lý 1.5 ([2]). Gia’ su.’ d¯oˆ` thi. G có mo.ˆt tu. d. ¯˘a’ng caˆú ρ là nu.’ a ch´ınh qui và ρ có caˆ´p t ≥ 3, G1, G2, . . . , Gk là các d¯oˆ` thi. con ca’m sinh bo’ i.

G treˆn các qu˜ı d¯a. o cu’a ρ. Gia’ su.’ các d¯oˆ` thi. Gi d¯eˆù lieˆn thoˆng và 2-ch´ınh qui. Khi d¯ó G có chu tr`ınh Hamilton neˆú mo.ˆt trong các kh˘a’ng d¯i.nh sau là d¯úng:

1. Gr và Gs có cùng bieˆ’u tu.o..ng và có mo.ˆt d¯u.ò.ng Hamilton trong G/ρ

noˆí chúng vó.i nhau;

2. G/ρ c´o mo.ˆt chu tr`ınh Hamilton v`a k le’.

Ngoài ra, khái nie.ˆm d¯oˆ` thi. Petersen toˆ’ng quát GP(n, k) c˜ung caˆ`n su.’ du.ng trong lua.ˆn án. D- aˆy là mo.ˆt ló.p d¯oˆ` thi. khá d¯˘a.c bie.ˆt. Ngu.ò.i ta d¯ã có d¯u.o.. c d¯ieˆù kie.ˆn caˆ`n và d¯u’ cho su. to. ˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton trong các d¯oˆ` thi. này. M˘a.c dù khoˆng pha’i taˆ´t ca’ các d¯oˆ` thi. GP(n, k) d¯eˆù là d¯oˆ` thi. meta luaˆn hoàn, nhu.ng keˆ´t qua’ d¯ó c˜ung có theˆ’ hoˆ˜ tro.. cho nh˜u.ng chú.ng minh o.’ Chu.o.ng 3. Ta có d¯i.nh ngh˜ıa sau:

D- i.nh ngh˜ıa 1.12. Cho tru.ó.c soˆ´ nguyeˆn n > 1. Khi d¯ó d¯oˆ` thi. Pe- tersen toˆ’ng quát GP(n, k), 1 ≤ k ≤ n − 1, l`a d¯oˆ` thi. có ta.ˆp d¯ı’nh

V(GP(n, k)) = {ui, vi | 0 ≤ i ≤ n − 1} v`a ta.ˆp ca. nh E(GP(n, k)) =

{uiui+1, uivi, vivi+k | 0 ≤ i ≤ n−1}, o.’ d¯aˆy các chı’ soˆ´ du.ó.i luoˆn d¯u.o..c laˆý theo modulo n.

D- ieˆù kie.ˆn caˆ`n và d¯u’ sau d¯aˆy cho su.. toˆ`n ta.i chu tr`ınh Hamilton trong d¯oˆ` thi. Petersen toˆ’ng quát c˜ung là keˆ´t qua’ cu’a Alspach.

D- i.nh lý 1.6 ([1]). D- oˆ` thi. Petersen toˆ’ng quát GP(n, k) là Hamilton khi và chı’ khi nó khoˆng pha’i là mo.ˆt trong các d¯oˆ` thi. sau:

1. GP(n,2) ∼= GP(n, n−2) ∼= GP(n,(n−1)

2 ) ∼= GP(n, (n+1)

2 ), trong d¯´o

n≡ 5 (mod 6);

2. GP(4m,2m), m ≥ 2.

Bài toán Hamilton treˆn d¯oˆ` thi. b˘ać caˆù d¯ı’nh và d¯oˆ` thi. meta luaˆn hoàn còn d¯u.o.. c d¯eˆ` ca.ˆp d¯eˆń trong raˆ´t nhieˆù coˆng tr`ınh nghieˆn cú.u khác. Nhu.ng trong pha.m vi cu’a lua.ˆn án, chúng toî chı’ nh˘ać tó.i o.’ d¯aˆy mo.ˆt soˆ´ keˆ´t qua’ thu.. c su. ca. ˆ`n thieˆ´t.

T´INH LIEˆN THOˆNG CU’A D- Oˆ` THI. META

LUAˆN HO`AN BA.ˆC 4

Chu.o.ng này tr`ınh bày các keˆ´t qua’ veˆ` t´ınh lieˆn thoˆng cu’a các d¯oˆ` thi. meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4. O’ d¯aˆy, d¯ieˆù kie.ˆn caˆ`n và d¯u’ d¯eˆ’ các d¯oˆ` thi.. này là lieˆn thoˆng s˜e d¯u.o.. c chú.ng minh. Tù. d¯ó chúng ta có theˆ’ kieˆ’m tra t´ınh lieˆn thoˆng cu’a mo.ˆt d¯oˆ` thi. meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4 cho bo’ i c´. ac tham soˆ´ caˆú trúc b˘a`ng thu’ tu.c d¯u.o..c gió.i thie.û o.’ cuoˆí chu.o.ng. Keˆ´t qua’ này nha.ˆn d¯u.o..c tù. các keˆ´t qua’ toˆ’ng quát veˆ` t´ınh lieˆn thoˆng cu’a d¯oˆ` thi. meta luaˆn hoàn d¯u.o.. c xaˆy du.. ng trong Mu.c 2.1 và vie.ˆc xem xét tù.ng kha’ n˘ang có theˆ’ cu’a d¯oˆ` thi. meta luaˆn hoàn ba.ˆc 4. D- ieˆù kie.ˆn caˆ`n và d¯u’ nói treˆn c˜ung s˜e d¯u.o.. c áp du.ng trong Chu.o.ng 3.

2.1 Mo.ˆt soˆ´ t´ınh chaˆ´t cu’a d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an

Trong mu.c này, chúng ta s˜e chú.ng minh mo.ˆt soˆ´ keˆ´t qua’ toˆ’ng quát veˆ` t´ınh lieˆn thoˆng cu’a các d¯oˆ` thi. meta luaˆn hoàn.

Gia’ su.’ G= M C(m, n, α, S0, . . . , Sµ) l`a mo.ˆt d¯oˆ` thi. meta luaˆn ho`an. D

- ˘a.t V i = {vji | j ∈ Zn}, i = 0,1, . . . , m−1. Ta d¯i.nh ngh˜ıa c´ac d¯oˆ` thi. G

v`a Gi nhu. sau:

• D- oˆ` thi.G c´o ta.ˆp d¯ı’nh V(G) = V = {V0, V1, . . . , Vm−1} v`a ta.ˆp ca.nh

E(G) = E = {ViVj|i = j và vpivjq ∈ E(G) vó.i p, q nào d¯ó ∈ Zn}.

• D- oˆ` thi. Gi, i ∈ {0,1, . . . , m −1}, có ta.ˆp d¯ı’nh V(Gi) = Vi và ta.ˆp ca.nh E(Gi) =Ei = {vkivi | k = và trong G có d¯u.ò.ng noˆí vki, vi}.

Ta s˜e laˆ`n lu.o.. t ch´u.ng minh c´ac me.ˆnh d¯eˆ` sau.

Me.ˆnh d¯eˆ` 2.1. Gia’ su.’ G = M C(m, n, α, S0, S1, . . . , Sµ) là mo.ˆt d¯oˆ` thi. meta luaˆn hoàn. Khi d¯ó:

1. G∼= C(m, S) vó.i S = h ∈ Zm | V0Vh ∈ E ; 2. Gi ∼= C(n, Si) vó.i Si = k ∈ Zn | v0ivik ∈ Ei , i = 0,1, . . . , m−1; 3. Gi ∼= Gj vó.i mo. i i, j ∈ {0,1, . . . , m−1}. Chú.ng minh. 1. D- ˘a.t S =

h ∈ Zm | V0Vh ∈ E

. Khi d¯ó, 0 ∈/ S. Neˆú h ∈ S th`ı s˜e có mo.ˆt ca.nh vp0vhq, vó.i p, q nào d¯ó thuo.ˆc Zn. M˘a.t khác, do ánh xa. τ : V(G) → V(G), vji → vαji+1 là mo.ˆt tu. d. ¯˘a’ng caˆú cu’a

G neˆn τ−h ∈ Aut(G). Do d¯ó, τ−h(vp0vqh) = τ−h(v0p)τ−h(vqh) = vp−hvq0, vó.i p ≡ α−hp (mod n) và q ≡ α−hq (mod n), c˜ung là mo.ˆt ca.nh cu’a

G. V`ı theˆ´ V−hV0 ∈ E. Va.ˆy −h ∈ S hay S = −S. X´et ´anh xa.

ϕ : V(G) → V(C(m, S)), Vi → vi. D- aˆy s˜e là mo.ˆt song ánh, ho.n theˆ´ n˜u.a ViVj ∈ E khi và chı’ khi vivj ∈ E(C(m, S)). Do va.ˆy ϕ là mo.ˆt d¯˘a’ng caˆú gi˜u.a G và d¯oˆ` thi. luaˆn hoàn C(m, S).

2. D- ˘a.t Gi = (Vi, Ei) v`a Si =

s ∈ Zn | v0ivis ∈ Ei

. Khi d¯ó, 0 ∈/ Si. Neˆú s ∈ Si th`ı s˜e có mo.ˆt hành tr`ınh W = v0ivi1

j1. . . vjfifvsi trong G noˆ´i v0i

vó.i vsi. Do ánh xa. ρ : V(G) → V(G), vij → vij+1, c˜ung là mo.ˆt tu. d. ¯˘a’ng caˆú cu’a G neˆn ρ−s ∈ Aut(G). Tù. d¯ó

ρ−s(W−1) = ρ−s(vis. . . v0i)

= ρ−s(vis)ρ−s(vjfif). . . ρ−s(vi1

j1)ρ−s(v0i) = v0ivifjf−s. . . v−i s

c˜ung là mo.ˆt hành tr`ınh trong G. D- ieˆù d¯ó chú.ng to’ v0iv−i s ∈ Ei hay

−s ∈ Si. Xét ánh xa. ψ : V(Gi) →V(C(n, Si)), vji →vj. D- aˆy s˜e là mo.ˆt song ánh. Ho.n theˆ´ n˜u.a, vjivhi ∈ Ei khi và chı’ khi vjvh ∈ E(C(n, Si)). Va.ˆy ψ là mo.ˆt d¯˘a’ng caˆú gi˜u.a Gi và d¯oˆ` thi. luaˆn hoàn C(n, Si).

3. Xét các d¯oˆ` thi. Gh và Gk, vó.i h = k baˆ´t k`y và tu.. d¯˘a’ng caˆú

τ n´oi treˆn cu’a G. Ta c´o τk−h(vxh) = vαkk−hx. Nhu.ng do α ∈ Z∗

n, neˆn

αk−h ∈ Z∗

n. V`ı va.ˆy, neˆ´u cho x cha.y qua taˆ´t ca’ c´ac phaˆ`n tu’ cu’a. Zn th`ı

αk−hx c˜ung pha’i cha.y qua taˆ´t ca’ các phaˆ`n tu’ cu’a. Zn. D- ieˆù này chú.ng to’ r˘a`ng τk−h

V h

: Vh →Vk l`a mo.ˆt song ´anh.

Gia’ su.’ vxhvyh là mo.ˆt ca.nh cu’a Gh. Khi d¯ó có mo.ˆt hành tr`ınh W =

vxhvh1

x1. . . vxfhfvyh trong G noˆí vxh vó.i vyh. Do τk−h c˜ung là mo.ˆt tu. d. ¯˘a’ng caˆú cu’a G neˆn τk−h(W) = τk−h vxhvh1 x1 . . . vxfhfvyh = τk−h vxh τk−h vh1 x1 . . . τk−h vxfhf τk−h vhy = vαkk−hxτk−h vh1 x1 . . . τk−h vxfhf vαkk−hy = W

là mo.ˆt hành tr`ınh trongG noˆí vk

αk−hx v´o.i vk

αk−hy. Do d¯´ovk

αk−hxvk

αk−hy c˜ung là mo.ˆt ca.nh trong Gk. D- ieˆù ngu.o..c la.i có theˆ’ kieˆ’m tra b˘a`ng cách tu.o.ng tu.. . Va.ˆy ha.n cheˆ´ cu’a τk−h treˆn Gh ch´ınh là d¯˘a’ng caˆú caˆ`n t`ım gi˜u.a Gh

và Gk. Me.ˆnh d¯eˆ` 2.1 d¯ã d¯u.o..c chú.ng minh.

Me.ˆnh d¯eˆ` 2.2. Gia’ su.’ G = M C(m, n, α, S0, S1, . . . , Sµ) là mo.ˆt d¯oˆ` thi. meta luaˆn hoàn. Khi d¯ó G là lieˆn thoˆng khi và chı’ khi ca’ hai d¯oˆ` thi. G

v`a G0 d¯eˆ`u lieˆn thoˆng.

Chú.ng minh. Tru.ó.c heˆ´t ta thaˆý ngay r˘a`ng neˆú G lieˆn thoˆng th`ı ca’ hai d¯oˆ` thi. G và G0 d¯eˆù lieˆn thoˆng. Ngu.o.. c la.i, ta pha’i chú.ng minh neˆú ca’ hai d¯oˆ` thi. G và G0 cùng lieˆn thoˆng th`ı d¯oˆ` thi. G c˜ung lieˆn thoˆng.

Tha.ˆt va.ˆy, xét mo.ˆt d¯ı’nh vk (= v00) baˆ´t k`y cu’a G. Do t´ınh lieˆn thoˆng cu’a d¯oˆ` thi. G, ta có theˆ’ t`ım d¯u.o.. c các ca.nh v00vi1

j1, vi1 j1vi2 j2, vi2 j2vi3 j3, . . . , vif jfvjkk

trong G. M˘a.t kh´ac, V`ıG0 lieˆn thoˆng neˆn theo Me.ˆnh d¯eˆ` 2.1, c´ac d¯oˆ` thi.

G1, G2, . . ., Gm−1 c˜ung lieˆn thoˆng. Do d¯ó, ta có theˆ’ t`ım d¯u.o.. c các hành tr`ınh Wi1, Wi2, . . ., Wif trong G, tu.o.ng ú.ng noˆí vi1

j1 v´o.i vi1

j1, vi2

j2 v´o.i vi2

. . ., vjfif v´o.i vifj

f. Cuoˆí cùng ta có mo.ˆt hành tr`ınh Wk, c˜ung trong d¯oˆ` thi.

G, noˆí vjkk vó.i vk. Nhu. va.ˆy, tù. d¯ı’nh v00 cu’a G ta luoˆn có theˆ’ t`ım d¯u.o.. c mo.ˆt hành tr`ınh W = v00vji1 1Wi1vji1 1vji2 2Wi2vji2 2vji3 3Wi3. . . Wifvifj fvkjkWkvk

d¯eˆ’ d¯i tó.i mo.ˆt d¯ı’nh vk baˆ´t k`y cu’a G. Kh˘a’ng d¯i.nh này cùng vó.i t´ınh chaˆ´t b˘ać caˆù cu’a d¯oˆ` thi. G cho phép chúng ta keˆ´t lua.ˆn r˘a`ng d¯oˆ` thi. G là lieˆn thoˆng. Me.ˆnh d¯eˆ` 2.2 d¯u.o..c chú.ng minh.

Vó.i hai keˆ´t qua’ treˆn, chúng ta d¯ã d¯u.a d¯u.o.. c bài toán t`ım d¯ieˆù kie.ˆn lieˆn thoˆng cu’a mo.ˆt d¯oˆ` thi. meta luaˆn hoàn veˆ` da.ng d¯o.n gia’n ho.n là t`ım d¯ieˆù kie.ˆn lieˆn thoˆng cu’a hai d¯oˆ` thi. luaˆn hoàn tu.o.ng ú.ng vó.i d¯oˆ` thi. meta luaˆn hoàn d¯ã cho. D- eˆ’ d¯i d¯eˆń các keˆ´t qua’ cu. theˆ’ khi xét xem mo.ˆt d¯oˆ` thi. meta luaˆn hoàn cho tru.ó.c có lieˆn thoˆng hay khoˆng, chúng ta s˜e dùng d¯eˆń Me.ˆnh d¯eˆ` 1.1 và Me.ˆnh d¯eˆ` 2.3 du.ó.i d¯aˆy.

Gia’ su.’ G = C(n, S) là mo.ˆt d¯oˆ` thi. luaˆn hoàn và R là mo.ˆt ta.ˆp con cu’a S tho’a mãn hai d¯ieˆù kie.ˆn:

(i) R = −R;

(ii) V´o.i moˆ˜i s ∈ S, ta c´o s = h