Tín hiệu Các Wavelet thành phần với các vị trí và tỷ lệ khác nhau
Bi năđ i Wavelet liên t c (Continuous Wavelet Transform - CWT) c a m t hàm
f(t)ăăđ c bắtăăđầu từ m t hàm Wavelet mẹ (motherăWavelet)ă ă(tă).ăHƠmăWaveletă
mẹ ă(t)ăăcóăth là b t kỳ m t hàm s thực hoặc ph c liên t c nào tho mãn các tính ch tăsauăđơy:ă
Tích phân suy r ng trên toàn b tr c t c aăhƠmăă ă(t)ăălƠăbằng 0. T c là: = 0
∞
∞ (4.8)
Tíchăphơnănĕngăl ng c a hàm trên toàn b tr c t là m t s hữu h n, t c là: ∞∞ 2 ≤ ∞ (4.9)
Đi u ki nă(3.2)ăcóănghĩaălƠăhƠmăă ă(t)ăăph i là m t hàm bình ph ng kh tích
nghĩaălƠăhƠmăă ă(t)ăăthu c không gian (2) LR các hàm bình ph ng kh tích.
SauăkhiăhƠmăWaveletăă ă(t)ăăđ c lựa ch n, bi năđ i Wavelet liên t c c a m t hàm bình ph ng kh tíchăăf(t)ăăđ c tính theo công th c:
� , = ( ) 1
∞
−∞ ∗
− (4.10)
Bi năđ i này là m t hàm c a hai tham s thực a và b. D u * ký hi u là liên hi p ph c c aăă ă(t)ăă.ăN uăchúngătaăđịnhănghĩaăm tăhƠmăă ăa,b (t ) theo bi u th c:
, = 1
−
chúng ta có th vi tăđ c: , = ∞ ψ ,
−∞
(4.12)
Theo toán h c ta g iăđơyălƠătíchăvôăh ng c aăhaiăhƠmăăf(t)ăăvƠăă ăa,b (t ) . Giá trị 1
là h s chuẩn hoáăđ đ m b o rằngătíchăphơnănĕngăl ng c a hàm ăa,b
(t ) s đ c l p v i a và b :
−∞∞ , ( ) 2 = −∞∞ ( ) 2 (4.13)
V i m i giá trị c aăăaăăthìăă ăa,b (t ) là m t b n sao c aăă ăa,0 (t)ăđ c dịchăđiăăbăă đ n vị trên tr c th iăgian.ăDoăđóăăbăăđ c g i là tham s dịch. Đặt tham s dịch b =
0ătaăthuăđ c:
,0 = 1
đi uăđóăchoăth y rằng là tham s tỷ l .
Khi > 1 thì hàm Wavelet s đ c tr i r ng, còn khi 0< < 1 thì hàm s
đ c co l i.ă Sauă đơyă chúngă taă s địnhă nghĩaă phépă bi nă đ i ng c c a bi nă đ i Wavelet liên t c. G iăăΨă( )ăălƠăbi năđ i Fourier c aăă ă(t): (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
= ∞ −
−∞ (4.14)
N u W (a,b ) là bi năđ i CWT c a f (t) bằngăhƠmăWaveletăă ă(t)ă,ăthìăbi năđ i ng c c a bi năđ i CWT s đ c tính nh sau: f(t)=1 12 +∞ −∞ +∞ −∞ w(a,b) , (t)dadb (4.15) v i giá trị c aăωăăđ căđịnhănghĩaălƠ:
C= ( )2
+∞
−∞ (4.16)
Bi năđ i CWT chỉ t n t i n u C d ng và hữu h n.ăDoăđóăωăăđ c g iălƠăđi u ki n t n t i c a bi năđ i Wavelet. Cùng v iăhaiăđi u ki năđƣnêuă trên,ăđơyălƠăđi u ki n th 3 mà m t hàm cần ph i tho mƣnă đ có th đ c lựa ch n làm hàm Wavelet. Chúng ta có th xem bi năđ i CWT nh là m t ma tr n hai chi u các k t
qu c a phép tính tích vô h ng giữaăhaiăhƠmăăfă(t)ăăvƠăă ăa,b (t). Các hàng c a ma tr n t ng ng v i các giá trị c a a và các c t t ng ng v i các giá trị c a b do cách tính bi năđ i Wavelet theo tích vô h ngăđƣătrìnhăbƠyă trên:
, = +∞ ∗ −∞ ⇒ , , = , +∞ −∞ (4.17) 4.2.2.2 Bi năđ i Wavelet r i r c
Tính toán các h s Wavelet m i tỷ l có th là công vi c h t s căkhóăkhĕnă
và phát sinh r t nhi u dữ li u. V y t i sao không ch n chỉ m t t p con các tỷ l và vịtríăđ thực hi nătínhătoán.ăĐi uăđángăchúăỦălƠăn u ch n các tỷ l và vị trí dựa trên
hƠmămũă2ăcònăg i là các vị trí và m c dyadic thì phân tích s có hi u qu h nămƠă
v n chính xác. Ta thực hi nă1ăphépănh ăv y trong bi năđ i Wavelet r i r c ( discrete Wavelet transform / DWT). Doăđó,ăvi c tính toán bi năđ i DWT thực ch t là sự r i r c hoá bi năđ i Wavelet liên t c (CWT)
a= 2m ; b=2mn ; m,n�
Vi c tính toán h s c a bi năđ i Wavelet có th d dàng thực hi n bằng các
bĕngăl c s nhi u nhịpăđaăkênh,ăm t lý thuy t r t quen thu c trong xử lý tín hi u.
4.2.3. Tính ch t c a bi năđ i Wavelet
T t c chúngătaăđ u bi t rằng bi năđ i Fourier là m t bi năđ iăđƣăvƠăđangăđ c áp d ng r ng rãi trong nhi u ngành khoa h c và kỹ thu t khác nhau. Bi nă đ i Fourier chuy n m t hàm tín hi u từ mi n th i gian sang mi n tần s .
Sử d ng bi năđ i Fourier ta có th bi tăđ c trong tín hi u f (t ) có các thành phần tần s nào. Tuy nhiên bi năđ i Fourier có m tănh căđi măc ăb n là v i m t tín hi u f (t) ta không th bi tăđ c rằng t i m t th iăđi m t thì tín hi u có các thành phần tần s nào.
M t phép bi năđ i t tăh năbi năđ i Fourier ph i là phép bi năđ iăcóăđầyăđ tính
nĕngăc a bi năđ i Fourier và có kh nĕngăxácăđịnh xem t i m t th iăđi m t b t kỳ
trong tín hi u f (t) có thành phần tần s nào. Phép bi năđ iăWaveletăraăđ iăđƣăkhắc ph căđ căcácănh căđi m c a bi năđ i Fourier trong phân tích tín hi u.
Các giá trị W (ai,b) t o thành m t c t (i=1, 2,...., n) cho bi t m t thành phần tần s có trong những th iăđi m t nào và các giá trị W (a,bi) t o thành hàng cho bi t t i m t th iăđi m t c a tín hi u f (t) có các thành phần tần s nào.
Đ c nghiên c u từtr c nhữngănĕmă80ăc a th kỷtr căvƠăcũngăăđƣăđ c ng d ng trong m t s ngành khoa h c và công ngh khácă nhauă nh ngă bi n đ i Wavelet v n là m tălĩnhăvựcăđangăvƠăs ti p t căđ c nghiên c u và phát tri năcũngă nh ă ng d ng r ngărƣiăh nănữa.
Tham s b trong bi năđ i Wavelet cho bi t kho ng dịch c a hàm Wavelet mẹ và
đ phân gi i các tần s khác nhau c aăăfă(t)ăăđ c minh h a b i h s tỷ l chính là a. Bi năđ iăWaveletăngƠyăcƠngăđ c áp d ng r ngărƣiăđặc bi t là trong xử lý ti ng nói, xử lý nh s .
Tín hi u ti ng nói là tín hi u m t chi uănh ngădoăđặcăđi m c a ti ng nói là tín hi u không dừng nên vi c sử d ng Fourier là khôngăđ đ phân tích m tăcáchăđầy
xử lý tín hi u hai chi uăvƠădoăđặcăđi m c a nh s là bao gi cũngăcóătínhăđịnh
h ngăvƠătínhăđịnh vị. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
NgoƠiăraăng iătaăth ng áp d ng m t cách k t h p bi n đ i Wavelet v i các hàm Wavelet thích h p v i d ng tín hi u cần kh oăsátăvƠăphépăphơnătíchăđaăphơnă
gi iăđ vi c xử lý tín hi u ti ng nói và hình nhăđ t hi u qu caoăh n.ăchúngătaăxemă
xét lý thuy t v đaăphơnăgi i trong phân tích tín hi u. Gi sử chúng ta cần x p xỉ hoá m t tín hi u liên t c có d ng m tăhƠmăbìnhăph ngăkh tích f (x) bằng m t t p các giá trị r i r c (ví d hàm f (x) là hàm tín hi u cần kh o sát). Phép x p xỉ đ năgi n thực hi n dựa trên lý thuy t phép l y trung bình và dựa vào hàm x p xỉ là hàm �(x) có d ng:
� = 1, �[0,1)
0, á á �ị ò ạ (4.18)
Vi c tính toán các giá trị x p xỉ c a hàm f (x) theo hàm �(x) s đ c vi t nh sau: � = � − (4.19)
v i f n là chính là giá trị x p xỉ c a hàm f (x) trong kho ngăă[n;nă+ă1).ăĐơyăchínhălƠă
giá trị trung bình c a hàm f (x) trong kho ngăă[n;nă+ă1)ăđ c cho b i bi u th c: = +1 ( ) (4.20)
Nh v y chúng ta có th x p xỉ hoá hàm f (x) bằng m t t p các hàm t ng tự nh hàm �(x) và phép x p xỉ hoá hàm f (x) cho b i:
� = � − , � − (4.21)
đơy � đ c g i là hàm tr ng và �(x) là hàm n iăsuy,ăăđ x p xỉ �(x) tho mãn:
Vi c ph i tho mƣnăđi u ki n 4.22 lƠăđ đ m b o rằng hàm f (x) có th đ c x p xỉ hoá bằng m t t h p tuy n tính c a các hàm �(x-n). Ngoài ra hai hàm �
vƠăăφ(x)ăph iăđ c chuẩnăhoáăđ tho mãn:
�( ) 2 = � ( ) 2 = 1 (4.23)
Trong thực t , hàm f (x) th ngăđ c gi thi t là có chu kỳ nguyên và chúng ta chỉ cần m t s hữu h n các t h p tuy nătínhăđ x p xỉ hoá hàm f (x) . Chúng ta có th thayăđ iăđ phân gi i c a phép x p xỉ bằngăcáchăthayăđ i h s tỷ l c a các hàm � ( ) và �( ). Cho � = 22� 2 và � = 22� 2 chúng ta có x p xỉ:
� = ,� −2− � −2− (4.24)
c a hàm f (x) là các phép chi u trực giao c a hàm f (x) lên không gian
l y � ( −2− ) làm c s . Vi căthayăđ i giá trị c a j s lƠmăthayăđ i m căđ
chính xác c a phép x p xỉ hàm f (x) c a chúng ta nh trên hình 4.11.
Hình 4.11:Phân tích đa phân giải áp dụng cho biểu diễn tín hiệu
Hàm �(x)ăăđ c g i là hàm tỷ l và chúng ta th y hàm này có m t tính ch tăđặc bi t là các hàm ng v iăđ phân gi i th j (t c là có chi u r ng 2ứ j) là tr ng h p
đặc bi t c aăcácăhƠmăcóăđ phân gi i th 1 + j (chi u r ng
2ứ jăứ1) b iăvìăcácăhƠmăcóăđ phân gi i j có th d dàng bi u di n từ các hàm có
Vì v y chúng ta có th bi u di n hàm f (x) theo các m c phân gi i khác nhau dựa trên các phép chi u trực giao c a hàm f (x) lên các không gian Vj . Chính vì th ng iătaăđịnhănghĩaăm tăphépăphơnătíchăđaăphơnăgi i nh sau:
*. M tăphơnătíchăđaăphơnăgi i bao g m m t chu i không gian bao hàm nhau: …. 2 ⊂ 1 ⊂ 0 ⊂ −1 ⊂ −2… (4.25) tho mãn: −−− ⊂� =�2 � ∈� = 0 Tính b t bi n tỷ l : ∈ 2 ∈ 0 Tính b t bi n dịch: ∈ 0 − ∈ 0 ∀ ∈ Tính t n t i c a c s T n t i � ∈ V 0 v i �( − ) � (3.25) là m t c s trực chuẩn c a V 0 *. N u chúng ta g i � = � ( ) là hình chi u trực giao c a f (x) lên V m , thì ta có: lim →−∞ � ( ) = ( ) (3.26)
TrênăđơyălƠăc s lý thuy t c aăphépăphơnătíchăđaăphơnăgi i v i tín hi u 1D t ng quát. Vi c áp d ng trong tín hi u nh (tín hi u 2D) có th d dàng m r ng từ vi c
phơnătíchăđaăphơnăgi i 1D, chúng ta s xét t i phần áp d ng trong JPEG2000 phần sau
4.2.4. Gi i thi u m t s h Wavelet 4.2.4.1 H ăHaar: 4.2.4.1 H ăHaar:
ψi nă ă đ iă Haară Waveletă lƠă bi nă ă đ iă ă đ nă gi nă nh tă trongă cácă phépă bi nă đ iă Wavelet.ăHìnhăv ă4.1 choăth yăd ngăc aăhƠmăă ă(t)ăăv iăbi năđ iăHaar.ăDoătínhăch tăă đ năgi năc aăbi năăđ iăHaarămƠănóăăđ că ngăd ngăt ngăđ iănhi uătrongănénă nh,ă khiăápăd ngăbi năđ iănƠyăđ ănénă nhăthìăthu tătoánănénă nhătrênămáyătínhăcóăm tăs ă đi măkhácăv iăcôngăth cătoánăh căc aăbi năđ iăHaar.
Hình 4.12 Hàm ψ (t) c a biến đổi Haar (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
4.2.4.2 Daubecchies:
IngridăDaubecchiesălƠăng iăkhámăpháăraăWaveletătrựcăgiaoăkho ngăchặtăkhi nă choăphơnătíchăWaveletăr iăr căcóăgiáătrịăthựcăhƠnh.ăTênăg iăđ căvi tălƠ:ădbN,ătrongă đóăNălƠăth ătự,ădbălƠătênăh ăc aăWavelet.
db5 db6 db7
db8 db9 db10
Hình 4.13 : Các hàm ψ (t)c a biến đổi Daubecchies
4.2.4.3. Bi năđ iăWaveletăMeyer:
YvesăMeyerălƠăm tătrongănhữngănhƠăkhoaăh căđƣăđặtăn nămóngăchoăphépăbi năđ iă Wavelet.ăPhépăbi năđ iăWaveletămangătênăăMeyerăcũngălƠăm tăphépăbi năăđ iăthôngă
d ng,ăbi năăđ iănƠyăcóăkh ănĕngăphơnătíchătínăhi uăt tăh nănhi uăsoăv iăbi năđ iă Haar.ăD ngăc aăhƠmăă ă(t)ăv iăbi năđ iăMeyerăchoă hình v :
4.2.4.4. Biorthogonal ( song trực giao)
H các Wavelet này bi u thị thu c tính c a pha tuy n tính, cần thi t cho tái t o tín hi u và hình nh.ăD iăđơyălƠăcácăhƠmăc a bi năđ i Biorthogonal.
Hàm cho phân tách HƠmăchoătáiăt o Hàm phân tách HƠmăchoătáiăt o
bior1.3 bior1.5
bior2.2 bior2.4
bior2.6 bior2.8
bior3.1 bior3.3
bior3.9 bior4.4
bior5.5 bior6.8
Hinh 4.15: Hàm ψ (t) c a biến đổi Biorthogonal
4.2.4.5. Coiflets:
Đ căxơyădựngăb iăI.Dauberchiesătheoăđ ănghịăc aăR.ωoifman.ăHƠmăWaveletăcóă 2Nămomentăcơnăbằngă0ăvƠăhƠmăm căcóă2N-1ămomentăcơnăbằngă0.ăHaiăhƠmăđ uăcóă chi uădƠiă6N-1.ăTênăg iăc aăh ăWaveletăωoifletsăđ căvi tălƠăcoifNă(N:1†5)
coif1 coif2 coif3 coif4 coif5
Hinh 4.16: Hàm ψ (t) c a biến đổi Coiflets
4.2.4.6 Symlets:
LƠăWaveletăgầnăđ iăx ngăđ căchỉăđ oătừăDaubechiesălƠăđi uăchỉnhăc aăh cădb.ăĐặcă tínhăc aă2ăh cănƠyăt ngătựănhau.ăTênăg iătắtăsymNă(N:2†8)
Hinh 4.17: Hàm ψ (t) c a biến đổi Symlets
4.2.4.7. Morlet:
WaveletănƠyăkhôngăcóăhƠmăm c.
Hinh 4.18: Hàm ψ (t) c a biến đổi Morlet
4.2.4.8.MũăMehico (Mehico hat):
WaveletănƠyăkhôngăcóăhƠmăm căvƠălƠăd năxu tăc aăm tăhƠmămƠtỷăl ăv iăđ oăhƠmă b căhaiăc aăm tăđ ăxácăsu tăGauss.Tênăg iătắtăchoăh ămexh (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hinh 4.19: Hàm ψ (t) c a biến đổi Mehico
4.2.4.9. CácăWaveletăthựcăkhác
- M tăvƠiăWaveletăthựcăkhácăcóătrongăh păcôngăc
- ψiorthonalăng c
- H ăđ oăhƠmăGass
- X păxỉătrênăn năFIRăc aăWaveletăMeyer
4.2.4.10. CácăWaveletăph c:
- M tăs ăh ăWaveletăph căcóătrongăh păcôngăc :
- Đ oăhƠmăGass
- Morlet
- B-Splineătầnăs
- Shonnon
4.2.5. M t s ng d ng n i b t c a Wavelet
N u phân tích ph mô t tín hi u là t ng các hàm sin và cosin thì phân tích Wavelet mô t tín hi uătheoăcácăhƠmăWavelet.ăωácăhƠmăWaveletăđ ng th i có các
đặc tính th iăgianăvƠăcácăđặc tính tỉ l , do v y các ng d ng c aăWaveletăđ u mang c haiăđặcătínhăđó.ăĐ hi u r các khái ni m này, ta cần phân bi tăđ că2ăđặc tính th i gian vầ tỉ l c a Wavelet.
4.2.5.1ăĐ c tính t l
Gi ngănh ăcácătínăhi u thành phần trong Fourier, m t d ng tín hi uăkhácăđƣăxu t hi n. Các tín hi u m i này không có tính tuầnăhoƠnănh ăcácăhƠmăđƣăsử d ng trong phân tích ph . Bi năđ i Wavelet sử d ng các hàm ít có tính tuầnăhoƠnăh n.ăVíăd
m t xung nh năcóăph ngătrìnhălƠăt‟ăv i t gần gàn bằng 0 và 0<r<1, r càng th p thì tín hi u càng nh n.
M t s ng d ng sử d ng các kỷ thu t Wavelet cho nghiên c u tính năđịnh:
Sinh h c cho nh n d ng màng t bƠoă đ phân bi tă mƠngă thôngă th ng v i màng có b nh
TƠiăchínhăđ phát hi năcácăđặc tính bi n thiên nhanh c a các giá trị.
Mô t l uăl ng Internet trong thi t k quy mô dịch v .
4.2.5.2ăăĐ c tính th i gian.
Dựa vào đặc tính th i gian c a Wavelet ta có các ng d ng: - Phátăhi năsựăgƣyăvƠăgócăc nh
- Nghiênăc uăhi năt ngăth iăgianăngắnănh ăcácăquáătrìnhănh tăth i. Trongăcácălĩnhăvựcă ngăd ngătaăcó:
- Giámăsátăcôngănghi păcácăbánhărĕng
- Ki mătraănhi uăquáăm c.
- Phátăhi năcácăsựăki năb tăth ngăth iăgianăngắn.
- Hìnhă nhăSAR
- Nh năd ngăđ iăt ngătựăđ ng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ngoài các ng d ng chỉ t pătrungăvƠoăcácăđặc tính th i gian và tỉ l nh ătrên,ănhi u ng d ng khác sử d ng phân tích tín hi u thành các h s Wavelet nhằm m c tiêu khử nhi u và nén. Các tín hi u tái t o từ các h s Wavelet s cóătínhăđ năgi n và rõ ràng h n.ăωácă ng d ng lo i này có th th yănh :ănghiênăc uăđ iăd ngăvƠăđịa lý, nén nhăvơnătay,ăphơnătíchăđ t bi n trong tín hi uăđi nătơmăđ …M t d ng ng d ng khác là nghiên c u v ph c ngăh ng từ. M i giá trị ph có bi năđ i Fourier s
đ c mã hóa b i m t s h s Wavelet. Chỉ cần m t s h s lƠăđ d mã hóa các
đặc tính c a dãi ph quanătơm,sauăđóăsự phân lo iăđ c thực hi n trên các vector mã.
Ch ngă5
NG D NG WAVELET Đ PHÂN TÍCH CÁC M C
CHI TI T VÀ PHÂN B NĔNGăL NG C A CÁC
TÍN HI UăQUÁăĐ
5.1 Phơnătíchăđaăphơnăgi i:
Phân tích đa phân gi i (MRA ậ Multiresolution Analysis) là đặc tính quan tr ng nh t c a phép bi n đ i wavelets.
Bi u th c toán h c c a MRA nh sau:
= +1 ⊕ +1= +1 ⊕ +2 ⊕ +3 ⊕ … ⊕ + ⊕ (5.1) Trong đó: +1 là thành phần x p xỉ c a tín hi u tỉ l j+1 +1là thành phần chi ti t bi u di n t t c các hi n t ng quá đ c a tín hi u tỉ l j+1 ký hi u cho t ng c a 2 tín hi uđƣ phân tích là c p phân tích
Gi sử tín hi u [ ]đ c l y m u theo các kho ng th i gian nh nhau, v i s l ng m u là N=2�, J là s nguyên thì [ ] =( 0, 1,…, �−1). Bi u di n toán h c bi n đ i wavelet DWT c a [ ] là:
[ ] = .∅j.k[ ] (5.2) V i ∅( ) là hàm tỉ l trong bi n đ i DWT.
Kỹ thu t MRA s phân tích tín hi u nhi u tần s khác nhau theo nhi u đ phân gi i khác nhau.
Phân tích đa phân gi i t o nên m t kh i quan tr ng nh t cho vi c xây dựng các hàm tỷ l và các wavelets. Trong MRA, m t hàm s đ c nhìn nhi u c p x p xỉ hoặc
chi ti t. ng d ng kỹ thu t này có th phân chia m t hàm ph c t p thành các hàm
đ n gi n h năđ xem xét chúng riêng bi t nhau.
5.2.ăĐnh lý Parseval Gi sử m t tín hi u r i r c x[n] là dòng ch y qua đi n tr thì nĕng l ng tiêu th c a đi n tr s bằng t ng bình ph ng c a các h s c a bi n đ i Fourier trong mi n tần s . 1 � [ ] 2 = � = 2 (5.3) = � Trong đó: N là chu kỳ l y m u là các h s bi n đ i Fourier ng d ng định lý này vào phép bi n đ i DWT, k t h p ph ng trình 5.2 và 5.3 ta đ c ph ng trình 5.4: 1 � [ ] 2 = 1 � , 2 + (1 � � =1 , 2 ) (5.4) Vì th , bằng phép bi n đ i DWT, nĕng l ng c a tín hi u méo d ng s đ c bi u di n theo ph ng trình 5.4. Trong đó: 1 � , 2 bi u di n công su t trung bình c a thành phần x p xỉ c a tín hi u. (1 � � =1 , 2
) bi u di n công su t trung bình c a thành phần chi ti t c a tín hi u.
S h ng th hai này bi u di n các đặc tr ng phân b nĕng l ng c a thành phần chi ti t c a tín hi u méo. S h ng này đ c ch n đ trích các đặc tr ng c a công su t nhi u.