.Bi năđi Wavelet liên tc

Một phần của tài liệu Ứng dụng WAVELET trong việc nhận dạng phổ tín hiệu (Trang 51)

Tín hiệu Các Wavelet thành phần với các vị trí và tỷ lệ khác nhau

Bi năđ i Wavelet liên t c (Continuous Wavelet Transform - CWT) c a m t hàm

f(t)ăăđ c bắtăăđầu từ m t hàm Wavelet mẹ (motherăWavelet)ă ă(tă).ăHƠmăWaveletă

mẹ ă(t)ăăcóăth là b t kỳ m t hàm s thực hoặc ph c liên t c nào tho mãn các tính ch tăsauăđơy:ă

Tích phân suy r ng trên toàn b tr c t c aăhƠmăă ă(t)ăălƠăbằng 0. T c là: = 0

∞ (4.8)

Tíchăphơnănĕngăl ng c a hàm trên toàn b tr c t là m t s hữu h n, t c là: ∞∞ 2 ≤ ∞ (4.9)

Đi u ki nă(3.2)ăcóănghĩaălƠăhƠmăă ă(t)ăăph i là m t hàm bình ph ng kh tích

nghĩaălƠăhƠmăă ă(t)ăăthu c không gian (2) LR các hàm bình ph ng kh tích.

SauăkhiăhƠmăWaveletăă ă(t)ăăđ c lựa ch n, bi năđ i Wavelet liên t c c a m t hàm bình ph ng kh tíchăăf(t)ăăđ c tính theo công th c:

� , = ( ) 1

−∞ ∗

− (4.10)

Bi năđ i này là m t hàm c a hai tham s thực a và b. D u * ký hi u là liên hi p ph c c aăă ă(t)ăă.ăN uăchúngătaăđịnhănghĩaăm tăhƠmăă ăa,b (t ) theo bi u th c:

, = 1

chúng ta có th vi tăđ c: , = ∞ ψ ,

−∞

(4.12)

Theo toán h c ta g iăđơyălƠătíchăvôăh ng c aăhaiăhƠmăăf(t)ăăvƠăă ăa,b (t ) . Giá trị 1

là h s chuẩn hoáăđ đ m b o rằngătíchăphơnănĕngăl ng c a hàm ăa,b

(t ) s đ c l p v i a và b :

−∞∞ , ( ) 2 = −∞∞ ( ) 2 (4.13)

V i m i giá trị c aăăaăăthìăă ăa,b (t ) là m t b n sao c aăă ăa,0 (t)ăđ c dịchăđiăăbăă đ n vị trên tr c th iăgian.ăDoăđóăăbăăđ c g i là tham s dịch. Đặt tham s dịch b =

0ătaăthuăđ c:

,0 = 1

đi uăđóăchoăth y rằng là tham s tỷ l .

Khi > 1 thì hàm Wavelet s đ c tr i r ng, còn khi 0< < 1 thì hàm s

đ c co l i.ă Sauă đơyă chúngă taă s địnhă nghĩaă phépă bi nă đ i ng c c a bi nă đ i Wavelet liên t c. G iăăΨă( )ăălƠăbi năđ i Fourier c aăă ă(t):

= ∞ −

−∞ (4.14)

N u W (a,b ) là bi năđ i CWT c a f (t) bằngăhƠmăWaveletăă ă(t)ă,ăthìăbi năđ i ng c c a bi năđ i CWT s đ c tính nh sau: f(t)=1 12 +∞ −∞ +∞ −∞ w(a,b) , (t)dadb (4.15) v i giá trị c aăωăăđ căđịnhănghĩaălƠ:

C= ( )2

+∞

−∞ (4.16)

Bi năđ i CWT chỉ t n t i n u C d ng và hữu h n.ăDoăđóăωăăđ c g iălƠăđi u ki n t n t i c a bi năđ i Wavelet. Cùng v iăhaiăđi u ki năđƣnêuă trên,ăđơyălƠăđi u ki n th 3 mà m t hàm cần ph i tho mƣnă đ có th đ c lựa ch n làm hàm Wavelet. Chúng ta có th xem bi năđ i CWT nh là m t ma tr n hai chi u các k t

qu c a phép tính tích vô h ng giữaăhaiăhƠmăăfă(t)ăăvƠăă ăa,b (t). Các hàng c a ma tr n t ng ng v i các giá trị c a a và các c t t ng ng v i các giá trị c a b do cách tính bi năđ i Wavelet theo tích vô h ngăđƣătrìnhăbƠyă trên:

, = +∞ ∗ −∞ ⇒ , , = , +∞ −∞ (4.17) 4.2.2.2 Bi năđ i Wavelet r i r c

Tính toán các h s Wavelet m i tỷ l có th là công vi c h t s căkhóăkhĕnă

và phát sinh r t nhi u dữ li u. V y t i sao không ch n chỉ m t t p con các tỷ l và vịtríăđ thực hi nătínhătoán.ăĐi uăđángăchúăỦălƠăn u ch n các tỷ l và vị trí dựa trên

hƠmămũă2ăcònăg i là các vị trí và m c dyadic thì phân tích s có hi u qu h nămƠă

v n chính xác. Ta thực hi nă1ăphépănh ăv y trong bi năđ i Wavelet r i r c ( discrete Wavelet transform / DWT). Doăđó,ăvi c tính toán bi năđ i DWT thực ch t là sự r i r c hoá bi năđ i Wavelet liên t c (CWT)

a= 2m ; b=2mn ; m,n�

Vi c tính toán h s c a bi năđ i Wavelet có th d dàng thực hi n bằng các

bĕngăl c s nhi u nhịpăđaăkênh,ăm t lý thuy t r t quen thu c trong xử lý tín hi u.

4.2.3. Tính ch t c a bi năđ i Wavelet

T t c chúngătaăđ u bi t rằng bi năđ i Fourier là m t bi năđ iăđƣăvƠăđangăđ c áp d ng r ng rãi trong nhi u ngành khoa h c và kỹ thu t khác nhau. Bi nă đ i Fourier chuy n m t hàm tín hi u từ mi n th i gian sang mi n tần s .

Sử d ng bi năđ i Fourier ta có th bi tăđ c trong tín hi u f (t ) có các thành phần tần s nào. Tuy nhiên bi năđ i Fourier có m tănh căđi măc ăb n là v i m t tín hi u f (t) ta không th bi tăđ c rằng t i m t th iăđi m t thì tín hi u có các thành phần tần s nào.

M t phép bi năđ i t tăh năbi năđ i Fourier ph i là phép bi năđ iăcóăđầyăđ tính

nĕngăc a bi năđ i Fourier và có kh nĕngăxácăđịnh xem t i m t th iăđi m t b t kỳ

trong tín hi u f (t) có thành phần tần s nào. Phép bi năđ iăWaveletăraăđ iăđƣăkhắc ph căđ căcácănh căđi m c a bi năđ i Fourier trong phân tích tín hi u.

Các giá trị W (ai,b) t o thành m t c t (i=1, 2,...., n) cho bi t m t thành phần tần s có trong những th iăđi m t nào và các giá trị W (a,bi) t o thành hàng cho bi t t i m t th iăđi m t c a tín hi u f (t) có các thành phần tần s nào.

Đ c nghiên c u từtr c nhữngănĕmă80ăc a th kỷtr căvƠăcũngăăđƣăđ c ng d ng trong m t s ngành khoa h c và công ngh khácă nhauă nh ngă bi n đ i Wavelet v n là m tălĩnhăvựcăđangăvƠăs ti p t căđ c nghiên c u và phát tri năcũngă nh ă ng d ng r ngărƣiăh nănữa.

Tham s b trong bi năđ i Wavelet cho bi t kho ng dịch c a hàm Wavelet mẹ và

đ phân gi i các tần s khác nhau c aăăfă(t)ăăđ c minh h a b i h s tỷ l chính là a. Bi năđ iăWaveletăngƠyăcƠngăđ c áp d ng r ngărƣiăđặc bi t là trong xử lý ti ng nói, xử lý nh s .

Tín hi u ti ng nói là tín hi u m t chi uănh ngădoăđặcăđi m c a ti ng nói là tín hi u không dừng nên vi c sử d ng Fourier là khôngăđ đ phân tích m tăcáchăđầy

xử lý tín hi u hai chi uăvƠădoăđặcăđi m c a nh s là bao gi cũngăcóătínhăđịnh

h ngăvƠătínhăđịnh vị.

NgoƠiăraăng iătaăth ng áp d ng m t cách k t h p bi n đ i Wavelet v i các hàm Wavelet thích h p v i d ng tín hi u cần kh oăsátăvƠăphépăphơnătíchăđaăphơnă

gi iăđ vi c xử lý tín hi u ti ng nói và hình nhăđ t hi u qu caoăh n.ăchúngătaăxemă

xét lý thuy t v đaăphơnăgi i trong phân tích tín hi u. Gi sử chúng ta cần x p xỉ hoá m t tín hi u liên t c có d ng m tăhƠmăbìnhăph ngăkh tích f (x) bằng m t t p các giá trị r i r c (ví d hàm f (x) là hàm tín hi u cần kh o sát). Phép x p xỉ đ năgi n thực hi n dựa trên lý thuy t phép l y trung bình và dựa vào hàm x p xỉ là hàm �(x) có d ng:

� = 1, �[0,1)

0, á á ò (4.18)

Vi c tính toán các giá trị x p xỉ c a hàm f (x) theo hàm �(x) s đ c vi t nh sau: � = � − (4.19)

v i f n là chính là giá trị x p xỉ c a hàm f (x) trong kho ngăă[n;nă+ă1).ăĐơyăchínhălƠă

giá trị trung bình c a hàm f (x) trong kho ngăă[n;nă+ă1)ăđ c cho b i bi u th c: = +1 ( ) (4.20)

Nh v y chúng ta có th x p xỉ hoá hàm f (x) bằng m t t p các hàm t ng tự nh hàm �(x) và phép x p xỉ hoá hàm f (x) cho b i:

� = � − , � − (4.21)

đơy � đ c g i là hàm tr ng và �(x) là hàm n iăsuy,ăăđ x p xỉ �(x) tho mãn:

Vi c ph i tho mƣnăđi u ki n 4.22 lƠăđ đ m b o rằng hàm f (x) có th đ c x p xỉ hoá bằng m t t h p tuy n tính c a các hàm �(x-n). Ngoài ra hai hàm �

vƠăăφ(x)ăph iăđ c chuẩnăhoáăđ tho mãn:

�( ) 2 = � ( ) 2 = 1 (4.23)

Trong thực t , hàm f (x) th ngăđ c gi thi t là có chu kỳ nguyên và chúng ta chỉ cần m t s hữu h n các t h p tuy nătínhăđ x p xỉ hoá hàm f (x) . Chúng ta có th thayăđ iăđ phân gi i c a phép x p xỉ bằngăcáchăthayăđ i h s tỷ l c a các hàm � ( ) và �( ). Cho � = 22� 2 và � = 22� 2 chúng ta có x p xỉ:

� = ,� −2− � −2− (4.24)

c a hàm f (x) là các phép chi u trực giao c a hàm f (x) lên không gian

l y � ( −2− ) làm c s . Vi căthayăđ i giá trị c a j s lƠmăthayăđ i m căđ

chính xác c a phép x p xỉ hàm f (x) c a chúng ta nh trên hình 4.11.

Hình 4.11:Phân tích đa phân giải áp dụng cho biểu diễn tín hiệu

Hàm �(x)ăăđ c g i là hàm tỷ l và chúng ta th y hàm này có m t tính ch tăđặc bi t là các hàm ng v iăđ phân gi i th j (t c là có chi u r ng 2ứ j) là tr ng h p

đặc bi t c aăcácăhƠmăcóăđ phân gi i th 1 + j (chi u r ng

2ứ jăứ1) b iăvìăcácăhƠmăcóăđ phân gi i j có th d dàng bi u di n từ các hàm có

Vì v y chúng ta có th bi u di n hàm f (x) theo các m c phân gi i khác nhau dựa trên các phép chi u trực giao c a hàm f (x) lên các không gian Vj . Chính vì th ng iătaăđịnhănghĩaăm tăphépăphơnătíchăđaăphơnăgi i nh sau:

*. M tăphơnătíchăđaăphơnăgi i bao g m m t chu i không gian bao hàm nhau: …. 2 ⊂ 1 ⊂ 0 ⊂ −1 ⊂ −2… (4.25) tho mãn: −−− ⊂� =�2 � ∈� = 0 Tính b t bi n tỷ l : ∈ 2 ∈ 0 Tính b t bi n dịch: ∈ 0 − ∈ 0 ∀ ∈ Tính t n t i c a c s T n t i � ∈ V 0 v i �( − ) � (3.25) là m t c s trực chuẩn c a V 0 *. N u chúng ta g i � = � ( ) là hình chi u trực giao c a f (x) lên V m , thì ta có: lim →−∞ � ( ) = ( ) (3.26)

TrênăđơyălƠăc s lý thuy t c aăphépăphơnătíchăđaăphơnăgi i v i tín hi u 1D t ng quát. Vi c áp d ng trong tín hi u nh (tín hi u 2D) có th d dàng m r ng từ vi c

phơnătíchăđaăphơnăgi i 1D, chúng ta s xét t i phần áp d ng trong JPEG2000 phần sau

4.2.4. Gi i thi u m t s h Wavelet 4.2.4.1 H ăHaar: 4.2.4.1 H ăHaar:

ψi nă ă đ iă Haară Waveletă lƠă bi nă ă đ iă ă đ nă gi nă nh tă trongă cácă phépă bi nă đ iă Wavelet.ăHìnhăv ă4.1 choăth yăd ngăc aăhƠmăă ă(t)ăăv iăbi năđ iăHaar.ăDoătínhăch tăă đ năgi năc aăbi năăđ iăHaarămƠănóăăđ că ngăd ngăt ngăđ iănhi uătrongănénă nh,ă khiăápăd ngăbi năđ iănƠyăđ ănénă nhăthìăthu tătoánănénă nhătrênămáyătínhăcóăm tăs ă đi măkhácăv iăcôngăth cătoánăh căc aăbi năđ iăHaar.

Hình 4.12 Hàm ψ (t) c a biến đổi Haar

4.2.4.2 Daubecchies:

IngridăDaubecchiesălƠăng iăkhámăpháăraăWaveletătrựcăgiaoăkho ngăchặtăkhi nă choăphơnătíchăWaveletăr iăr căcóăgiáătrịăthựcăhƠnh.ăTênăg iăđ căvi tălƠ:ădbN,ătrongă đóăNălƠăth ătự,ădbălƠătênăh ăc aăWavelet.

db5 db6 db7

db8 db9 db10

Hình 4.13 : Các hàm ψ (t)c a biến đổi Daubecchies

4.2.4.3. Bi năđ iăWaveletăMeyer:

YvesăMeyerălƠăm tătrongănhữngănhƠăkhoaăh căđƣăđặtăn nămóngăchoăphépăbi năđ iă Wavelet.ăPhépăbi năđ iăWaveletămangătênăăMeyerăcũngălƠăm tăphépăbi năăđ iăthôngă

d ng,ăbi năăđ iănƠyăcóăkh ănĕngăphơnătíchătínăhi uăt tăh nănhi uăsoăv iăbi năđ iă Haar.ăD ngăc aăhƠmăă ă(t)ăv iăbi năđ iăMeyerăchoă hình v :

4.2.4.4. Biorthogonal ( song trực giao)

H các Wavelet này bi u thị thu c tính c a pha tuy n tính, cần thi t cho tái t o tín hi u và hình nh.ăD iăđơyălƠăcácăhƠmăc a bi năđ i Biorthogonal.

Hàm cho phân tách HƠmăchoătáiăt o Hàm phân tách HƠmăchoătáiăt o

bior1.3 bior1.5

bior2.2 bior2.4

bior2.6 bior2.8

bior3.1 bior3.3

bior3.9 bior4.4

bior5.5 bior6.8

Hinh 4.15: Hàm ψ (t) c a biến đổi Biorthogonal

4.2.4.5. Coiflets:

Đ căxơyădựngăb iăI.Dauberchiesătheoăđ ănghịăc aăR.ωoifman.ăHƠmăWaveletăcóă 2Nămomentăcơnăbằngă0ăvƠăhƠmăm căcóă2N-1ămomentăcơnăbằngă0.ăHaiăhƠmăđ uăcóă chi uădƠiă6N-1.ăTênăg iăc aăh ăWaveletăωoifletsăđ căvi tălƠăcoifNă(N:1†5)

coif1 coif2 coif3 coif4 coif5

Hinh 4.16: Hàm ψ (t) c a biến đổi Coiflets

4.2.4.6 Symlets:

LƠăWaveletăgầnăđ iăx ngăđ căchỉăđ oătừăDaubechiesălƠăđi uăchỉnhăc aăh cădb.ăĐặcă tínhăc aă2ăh cănƠyăt ngătựănhau.ăTênăg iătắtăsymNă(N:2†8)

Hinh 4.17: Hàm ψ (t) c a biến đổi Symlets

4.2.4.7. Morlet:

WaveletănƠyăkhôngăcóăhƠmăm c.

Hinh 4.18: Hàm ψ (t) c a biến đổi Morlet

4.2.4.8.MũăMehico (Mehico hat):

WaveletănƠyăkhôngăcóăhƠmăm căvƠălƠăd năxu tăc aăm tăhƠmămƠtỷăl ăv iăđ oăhƠmă b căhaiăc aăm tăđ ăxácăsu tăGauss.Tênăg iătắtăchoăh ămexh

Hinh 4.19: Hàm ψ (t) c a biến đổi Mehico

4.2.4.9. CácăWaveletăthựcăkhác

- M tăvƠiăWaveletăthựcăkhácăcóătrongăh păcôngăc

- ψiorthonalăng c

- H ăđ oăhƠmăGass

- X păxỉătrênăn năFIRăc aăWaveletăMeyer

4.2.4.10. CácăWaveletăph c:

- M tăs ăh ăWaveletăph căcóătrongăh păcôngăc :

- Đ oăhƠmăGass

- Morlet

- B-Splineătầnăs

- Shonnon

4.2.5. M t s ng d ng n i b t c a Wavelet

N u phân tích ph mô t tín hi u là t ng các hàm sin và cosin thì phân tích Wavelet mô t tín hi uătheoăcácăhƠmăWavelet.ăωácăhƠmăWaveletăđ ng th i có các

đặc tính th iăgianăvƠăcácăđặc tính tỉ l , do v y các ng d ng c aăWaveletăđ u mang c haiăđặcătínhăđó.ăĐ hi u r các khái ni m này, ta cần phân bi tăđ că2ăđặc tính th i gian vầ tỉ l c a Wavelet.

4.2.5.1ăĐ c tính t l

Gi ngănh ăcácătínăhi u thành phần trong Fourier, m t d ng tín hi uăkhácăđƣăxu t hi n. Các tín hi u m i này không có tính tuầnăhoƠnănh ăcácăhƠmăđƣăsử d ng trong phân tích ph . Bi năđ i Wavelet sử d ng các hàm ít có tính tuầnăhoƠnăh n.ăVíăd

m t xung nh năcóăph ngătrìnhălƠăt‟ăv i t gần gàn bằng 0 và 0<r<1, r càng th p thì tín hi u càng nh n.

M t s ng d ng sử d ng các kỷ thu t Wavelet cho nghiên c u tính năđịnh:

 Sinh h c cho nh n d ng màng t bƠoă đ phân bi tă mƠngă thôngă th ng v i màng có b nh

 TƠiăchínhăđ phát hi năcácăđặc tính bi n thiên nhanh c a các giá trị.

 Mô t l uăl ng Internet trong thi t k quy mô dịch v .

4.2.5.2ăăĐ c tính th i gian.

Dựa vào đặc tính th i gian c a Wavelet ta có các ng d ng: - Phátăhi năsựăgƣyăvƠăgócăc nh

- Nghiênăc uăhi năt ngăth iăgianăngắnănh ăcácăquáătrìnhănh tăth i. Trongăcácălĩnhăvựcă ngăd ngătaăcó:

- Giámăsátăcôngănghi păcácăbánhărĕng

- Ki mătraănhi uăquáăm c.

- Phátăhi năcácăsựăki năb tăth ngăth iăgianăngắn.

- Hìnhă nhăSAR

- Nh năd ngăđ iăt ngătựăđ ng

Ngoài các ng d ng chỉ t pătrungăvƠoăcácăđặc tính th i gian và tỉ l nh ătrên,ănhi u ng d ng khác sử d ng phân tích tín hi u thành các h s Wavelet nhằm m c tiêu khử nhi u và nén. Các tín hi u tái t o từ các h s Wavelet s cóătínhăđ năgi n và rõ ràng h n.ăωácă ng d ng lo i này có th th yănh :ănghiênăc uăđ iăd ngăvƠăđịa lý, nén nhăvơnătay,ăphơnătíchăđ t bi n trong tín hi uăđi nătơmăđ …M t d ng ng d ng khác là nghiên c u v ph c ngăh ng từ. M i giá trị ph có bi năđ i Fourier s

đ c mã hóa b i m t s h s Wavelet. Chỉ cần m t s h s lƠăđ d mã hóa các

đặc tính c a dãi ph quanătơm,sauăđóăsự phân lo iăđ c thực hi n trên các vector mã.

Ch ngă5

NG D NG WAVELET Đ PHÂN TÍCH CÁC M C

CHI TI T VÀ PHÂN B NĔNGăL NG C A CÁC

TÍN HI UăQUÁăĐ

5.1 Phơnătíchăđaăphơnăgi i:

Phân tích đa phân gi i (MRA ậ Multiresolution Analysis) là đặc tính quan tr ng nh t c a phép bi n đ i wavelets.

Bi u th c toán h c c a MRA nh sau:

= +1 ⊕ +1= +1 ⊕ +2 ⊕ +3 ⊕ … ⊕ + ⊕ (5.1) Trong đó:  +1 là thành phần x p xỉ c a tín hi u tỉ l j+1  +1là thành phần chi ti t bi u di n t t c các hi n t ng quá đ c a tín hi u tỉ l j+1  ký hi u cho t ng c a 2 tín hi uđƣ phân tích  là c p phân tích

Gi sử tín hi u [ ]đ c l y m u theo các kho ng th i gian nh nhau, v i s l ng m u là N=2�, J là s nguyên thì [ ] =( 0, 1,…, �−1). Bi u di n toán h c bi n đ i wavelet DWT c a [ ] là:

[ ] = .∅j.k[ ] (5.2) V i ∅( ) là hàm tỉ l trong bi n đ i DWT.

Kỹ thu t MRA s phân tích tín hi u nhi u tần s khác nhau theo nhi u đ phân gi i khác nhau.

Phân tích đa phân gi i t o nên m t kh i quan tr ng nh t cho vi c xây dựng các hàm tỷ l và các wavelets. Trong MRA, m t hàm s đ c nhìn nhi u c p x p xỉ hoặc

chi ti t. ng d ng kỹ thu t này có th phân chia m t hàm ph c t p thành các hàm

đ n gi n h năđ xem xét chúng riêng bi t nhau.

5.2.ăĐnh lý Parseval Gi sử m t tín hi u r i r c x[n] là dòng ch y qua đi n tr thì nĕng l ng tiêu th c a đi n tr s bằng t ng bình ph ng c a các h s c a bi n đ i Fourier trong mi n tần s . 1 � [ ] 2 = � = 2 (5.3) = � Trong đó: N là chu kỳ l y m u là các h s bi n đ i Fourier ng d ng định lý này vào phép bi n đ i DWT, k t h p ph ng trình 5.2 và 5.3 ta đ c ph ng trình 5.4: 1 � [ ] 2 = 1 � , 2 + (1 � � =1 , 2 ) (5.4) Vì th , bằng phép bi n đ i DWT, nĕng l ng c a tín hi u méo d ng s đ c bi u di n theo ph ng trình 5.4. Trong đó: 1 � , 2 bi u di n công su t trung bình c a thành phần x p xỉ c a tín hi u. (1 � � =1 , 2

) bi u di n công su t trung bình c a thành phần chi ti t c a tín hi u.

S h ng th hai này bi u di n các đặc tr ng phân b nĕng l ng c a thành phần chi ti t c a tín hi u méo. S h ng này đ c ch n đ trích các đặc tr ng c a công su t nhi u.

Một phần của tài liệu Ứng dụng WAVELET trong việc nhận dạng phổ tín hiệu (Trang 51)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(110 trang)