Phát hiện hư hỏng của kết cấu dạng thanh dầm bằng phương pháp hàm phổ phản ứng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - CAO VĂN MAI PHÁT HIỆN HƯ HỎNG CỦA KẾT CẤU DẠNG THANH DẦM BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM PHỔ PHẢN ỨNG Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 9.52.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SỸ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN VIỆT KHOA Hà Nội – 2022 LỜI CAM ĐOAN Các kết trình bày luận án cơng trình nghiên cứu riêng tơi hồn thành hướng dẫn PGS TS Nguyễn Việt Khoa Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa bố cơng trình khác Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm nội dung khoa học cơng trình Tác giả luận án Cao Văn Mai MỤC LỤC Danh mục ký hiệu chữ viết tắt i Danh mục hình ảnh, đồ thị iii Danh mục bảng vii Mở đầu 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu 3 Phạm vi đối tượng nghiên cứu luận án Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận án Những đóng góp luận án Chương Tổng quan 1.1 Sơ lược phương pháp phát hư hỏng kết cấu 1.2 Ảnh hưởng vết nứt lên đặc trưng động lực học kết cấu 1.3 Ảnh hưởng khối lượng tập trung lên đặc trưng động lực học kết cấu 23 Kết luận chương 31 Chương Hàm phổ phản ứng, hàm độ cong phổ phản ứng ứng dụng phát vết nứt 33 2.1 Hàm phổ phản ứng dầm nguyên vẹn 33 2.2 Cơng thức xác hàm phổ phản ứng hàm độ cong phổ phản ứng dầm có vết nứt 36 2.3 Hàm độ cong phổ phản ứng dầm có nhiều vết nứt phương pháp phần tử hữu hạn 44 2.4 So sánh với công bố trước 49 2.5 Kết mô số 49 2.5.1 Dầm nguyên vẹn 50 2.5.2 Dầm có vết nứt sử dụng cơng thức xác 53 2.5.3 Dầm có vết nứt sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn 58 Kết luận chương 61 Chương Hàm phổ phản ứng dầm mang khối lượng tập trung 63 3.1 Hàm phổ phản ứng dầm đồng mang khối lượng tập trung .63 3.2 Cơng thức xác hàm phổ phản ứng dầm AFG mang khối lượng tập trung 68 3.3 So sánh với công bố trước 74 3.4 Kết mô số 76 3.4.1 Dầm đồng dầm AFG không mang khối lượng tập trung 76 3.4.2 Dầm đồng dầm AFG mang khối lượng tập trung 80 Kết luận chương 87 Chương Thực nghiệm kiểm chứng 88 4.1 Thiết bị đo 88 4.2 Bố trí thực nghiệm đo 90 4.2.1 Thực nghiệm 1: Phát vết nứt hàm độ cong phổ phản ứng 90 4.2.2 Thực nghiệm 2: Đánh giá ảnh hưởng khối lượng tập trung lên hàm phổ phản ứng 93 4.3 Các kết đo đạt 96 4.3.1 Kết thực nghiệm 1: Phát vết nứt hàm độ cong phổ phản ứng 96 4.3.2 Kết thực nghiệm 2: Đánh giá ảnh hưởng khối lượng tập trung lên hàm phổ phản ứng 99 Kết luận chương 101 Kết luận kiến nghị 102 Danh mục cơng trình liên quan đến luận án 105 Tài liệu tham khảo 107 Phụ lục 117 Phụ lục A 117 Phụ lục B 123 Phụ lục C 133 Phụ lục D 136 Phụ lục E 145 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Sau thời gian dài hoạt động, kết cấu xuất hư hỏng vết nứt, móp méo hay tăng khối lượng,… Theo thời gian hư hỏng tiếp tục phát triển Nếu không kịp thời khắc phục, kết cấu hoạt động được, chí bị phá hủy phần tồn Trên thực tế có nhiều thảm họa xảy không bảo trì kiểm tra cẩn thận (Hình 1) Hình Cầu Morandi bị sập phần trưa ngày 14/8/2018 (Đồ họa: BBC) Phát hư hỏng kết cấu có vai trò quan trọng nhằm đánh giá mức độ hư hỏng kết cấu, kịp thời thay khắc phục, đảm bảo an toàn vận hành sử dụng từ khai thác hiệu kết cấu, hạn chế rủi ro khơng mong muốn xảy gây thiệt hại người tài sản Đồng thời, phát vị trí mức độ hư hỏng cịn giúp cho việc gia cố, sửa chữa có hiệu cao tiết kiệm chi phí Trên giới có nhiều phương pháp phát hư hỏng kết cấu khác Chúng phân thành hai loại phương pháp kiểm tra phá hủy phương pháp kiểm tra không phá hủy Nếu phương pháp kiểm tra phá hủy làm tổn hại đến kết cấu phương pháp kiểm tra khơng phá hủy lại bảo tồn kết cấu, khơng làm tổn hại đến khả hoạt động kết cấu Chính có nhiều phương pháp kiểm tra không phá hủy khác nghiên cứu phát triển Trong số đó, phương pháp dao động thu hút quan tâm nhà nghiên cứu sử dụng nhiều loại vật liệu khác phát nhiều dạng hư hỏng hơn, kể hư hỏng nằm bên kết cấu hư hỏng vị trí đặc biệt khó tiếp cận Hình Sự lắng đọng paraffin ống dẫn dầu thô (Nguồn: Tạp chí dầu khí số 4/2017) Phương pháp dao động dựa vào nhạy cảm số đặc trưng động lực học kết cấu hư hỏng để phát hư hỏng Các đặc trưng động lực học thường ứng dụng để phát hư hỏng như: Tần số riêng; dạng riêng, hàm phổ phản ứng,… Sự thay đổi đặc trưng động lực học chứa thơng tin tồn tại, vị trí mức độ hư hỏng Trong thực tế, hư hỏng yếu tố, nguyên nhân gây thay đổi phản ứng kết cấu so với trạng thái ban đầu (kết cấu nguyên vẹn), làm cho kết cấu khơng hoạt động trơn tru chí hoạt động bị phá hủy phần tồn kết cấu Hư hỏng có nhiều dạng khác như: vết nứt, móp méo, tăng - giảm khối lượng, xoắn vặn, Các hư hỏng vết nứt gây như: Nứt gãy dầm cầu, nứt gãy móng, cột nhà,… Thơng thường hư hỏng vết nứt phát triển âm ỉ bên kết cấu, không kịp thời phát chúng gây phá hủy phần toàn kết cấu gặp tải trọng bất thường Các hư hỏng tăng khối lượng gây như: Hà bám vị trí mép nước giàn ngồi khơi gây tăng khối lượng cục bộ, ăn mòn tăng tác động sóng lên cơng trình Hay tượng lắng đọng paraffin ống dẫn dầu thô (Hình 2) Hiện tượng xảy vận chuyển dầu thơ từ ngồi khơi vào đất liền qua đường ống ngầm đáy biển Theo chiều dài ống, nhiệt độ dầu thô ống dẫn bị tiêu tán dần, đến mức nhiệt độ dầu thơ ống thấp nhiệt độ bắt đầu kết tinh paraffin Hiện tượng không phát xử lý kịp thời gây tượng tắc nghẽn hệ thống thu gom, xử lý vận chuyển dầu thô đường ống Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu tổng quát luận án là: Nghiên cứu hàm phổ phản ứng kết cấu dạng dầm Euler – Bernoulli có hư hỏng, từ đó, xác định ảnh hưởng hư hỏng lên hàm phổ phản ứng ứng dụng phát hư hỏng kết cấu dạng dầm Trong đó, hư hỏng xét hư hỏng kiểu khối lượng tập trung hư hỏng kiểu vết nứt gây Cụ thể, mục tiêu cụ thể luận án sau: (1) Nghiên cứu hàm phổ phản ứng dầm Euler – Bernoulli có nhiều vết nứt Xác định ảnh hưởng vết nứt đến phản ứng động dầm (2) Nghiên cứu hàm độ cong phổ phản ứng dầm Euler – Bernoulli có nhiều vết nứt Xác định ảnh hưởng vết nứt lên hàm độ cong phổ phản ứng phục vụ việc phát vết nứt từ số liệu đo hàm phổ phản ứng (3) Nghiên cứu hàm phổ phản ứng dầm Euler – Bernoulli không đồng mang khối lượng tập trung, từ đó, khảo sát hàm phổ phản ứng dầm nhằm xác định khu vực mang khối lượng tập trung, khảo sát phân bố khối lượng dầm không đồng Phạm vi đối tượng nghiên cứu luận án Đối tượng nghiên cứu luận án dầm Euler – Bernoulli có hư hỏng dạng khối lượng tập trung dạng vết nứt, với vật liệu kết cấu đồng khơng đồng Trong thực tế, có nhiều dạng hư hỏng khác kết cấu hư hỏng gây vết nứt, móp méo, tăng - giảm khối lượng, xoắn vặn,… Trong khuôn khổ luận án xét hư hỏng dạng khối lượng tập trung (không xét khối lượng phân bố) hư hỏng dạng vết nứt Vết nứt coi mở hồn tồn, có hình dạng đường thẳng vng góc với bề mặt dầm, chiều rộng vết nứt nhỏ vết nứt không làm thay đổi khối lượng dầm Hàm phổ phản ứng nghiên cứu luận án hàm xác định cách lấy phản ứng chuyển vị chia cho lực kích động (Frequency Response Function) Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu theo mục tiêu đề ra, luận án tác giả sử dụng phương pháp lý thuyết kết hợp với mô số thực nghiệm kiểm chứng Cụ thể: • Sử dụng phương pháp lý thuyết để xây dựng cơng thức xác hàm phổ phản ứng hàm độ cong phổ phản ứng dầm có vết nứt dầm mang khối lượng tập trung • Sử dụng mơ số dựa công thức xây dựng để xác định ảnh hưởng hư hỏng nhằm phát triển phương pháp phát hư hỏng • Cuối cùng, luận án thực thí nghiệm nhằm kiểm chứng tính đắn công thức xây dựng khả ứng dụng thực tiễn phương pháp đề xuất Bố cục luận án Luận án bố cục gồm phần Mở đầu, chương, phần Kết luận, phần Danh mục cơng trình tác giả, phần Tài liệu tham khảo phần Phụ lục Cụ thể: Chương trình bày tổng quan phương pháp phát hư hỏng kết cấu tình hình nghiên cứu ảnh hưởng hư hỏng dạng vết nứt khối lượng tập trung lên đặc trưng động lực học tần số riêng, dạng riêng, hàm phổ phản ứng hàm độ cong phổ phản ứng kết cấu đồng kết cấu không đồng nhằm phát hư hỏng kết cấu Chương trình bày q trình xây dựng cơng thức xác hàm phổ phản ứng, hàm độ cong phổ phản ứng dầm nguyên vẹn dầm có vết nứt, tham số liên quan Các kết mô số sử dụng biểu thức phát triển xác định ảnh hưởng vết nứt lên hàm phổ phản ứng hàm độ cong nó, kết ứng dụng để phát vết nứt Các kết mô số sử dụng phương pháp PTHH trình bày nhằm kiểm tra chéo tính đắn biểu thức xây dựng Chương trình bày việc xây dựng cơng thức xác cho hàm phổ phản ứng dầm đồng đẳng hướng dầm có tính biến đổi dọc theo trục (dầm AFG) mang khối lượng tập trung Các so sánh với nghiên cứu trước trình bày nhằm đánh giá độ tin cậy chương trình tính Các kết mơ số chương trình trính trình bày xác định ảnh hưởng khối lượng tập trung ảnh hưởng mật độ khối lượng dọc theo trục dầm AFG lên hàm phổ phản ứng Chương trình bày thí nghiệm Phịng thí nghiệm Cơ học Cơng trình, Viện Cơ học nhằm kiểm chứng tính đắn công thức xây dựng khả ứng dụng phương pháp phát hư hỏng đề xuất Các kết thực nghiệm minh chứng phương pháp đề xuất luận án đắn có khả thực thực tiễn Phần Kết luận trình bày kết đạt luận án số kiến nghị cho nghiên cứu tương lai Phần phụ lục gồm: • Phụ lục A trình bày cơng thức xác hàm phổ phản ứng điều kiện biên cụ thể • Phụ lục B trình bày cơng thức xác hàm phổ phản ứng hàm độ cong phổ phản ứng dầm có vết nứt với điều kiện biên cụ thể • Phụ lục C trình bày kết mơ số dầm hai đầu ngàm nguyên vẹn có chứa vết nứt sử dụng cơng thức xác • Phụ lục D trình bày số liệu đo hàm phổ phản ứng kết tính hàm độ cong phổ phản ứng dầm hai đầu gối tựa có vết nứt • Phụ lục E trình bày số liệu đo ma trận hàm phổ phản ứng dầm hai đầu ngàm mang khối lượng tập trung Những đóng góp luận án Theo tác giả, đóng góp luận án tóm tắt sau: • Đã xây dựng cơng thức xác hàm phổ phản ứng dầm có vết nứt 107 [11] B P Nandwana; S K Maiti, "Detection of the location and size of a crack in stepped cantilever beams based on measurements of natural frequencies," Journal of Sound and Vibration, vol 203, no 3, pp 435-446, 1997 [12] R Ruotolo; C Surace, "Damage assessment of multiple cracked beams: numerical results and experimental validation," Journal of Sound and Vibration, vol 206, no 4, pp 567-588, October 1997 [13] T G Chondros; A D Dimarogonas; J Yao, "Longitudinal vibration of a bar with a breathing crack," Engineering Fracture Mechanics, vol 61, no 5-6, ap 503-518, 1998 [14] M Kisa; J Brandona; M Topcu, "Free vibration analysis of cracked beams by a combination of finite elements and component mode synthesis methods," Computers and Structures, vol 67, pp 215-223, 1998 [15] E I Shifrin; R Ruotolo, "Natural frequencies of a beam with an arbitrary number of cracks," Journal of Sound and Vibration, vol 222, no 3, p 409– 423, 1999 [16] M Kisa; J Brandon, "The effects of closure of cracks on the dynamics of a cracked cantilever beam," Journal of Sound and Vibration, vol 238, no 1, ap 1-18, 2000 [17] Y S Lee; M J Chung, "A study on crack detection using eigenfrequency test data," Computers & Structures, vol 77, no 3, pp 327-342, 29 June 2000 [18] S Chinchalkar, "Determination of crack location in beams using natural frequencies," Journal of Sound and Vibration, vol 247, no 3, pp 417-429, 2001 [19] N T Khiem and T.V Lien, "A simplified method for natural frequency analysis of multiple cracked beam," Journal of Sound and Vibration, vol 245, no 4, pp 737-751, 2001 [20] D P Patil; S K Maiti, "Detection of multiple cracks using frequency measurements," Engineering Fracture Mechanics, vol 70, no 12, pp 15531572, 2003 108 [21] J Hu; R Y Liang, "An integrated approach to detection of cracks using vibration characteristics," Journal of the Franklin Institute, vol 330, no 5, ap 841-853, 1993 [22] D Y Zheng; N J Kessissoglou, "Free vibration analysis of a cracked beam by finite element method," Journal of Sound and Vibration, vol 273, no 3, ap 457-475, June 2004 [23] S Orhan, "Analysis of free and forced vibration of a cracked cantilever beam," NDT&E International, vol 40, no 6, p 443–450, 2007 [24] J Lee, "Identification of multiple cracks in a beam using natural frequencies," Journal of Sound and Vibration, no 320, p 482–490, 2009 [25] J Ye; Y He; X Chen; Z Zhai; Y Wang; Z He, "Pipe crack identification based on finite element method of second generation wavelets," Mechanical Systems and Signal Processing, vol 24, p 379–393, 2010 [26] A Labib; D Kennedy; C Featherston, "Free vibration analysis of beams and frames with multiple cracks for damage detection," Journal of Sound and Vibration, vol 333, no 20, pp 4991-5003, 2014 [27] T V Lien; N T Khiem; N T Duc, "Free vibration anslysis of functional graded Timoshenko beam using dynamic stiffness method," Latin American Journal of Solid and Structures, vol 14, no 9, pp 774-788, 2017 [28] T V Lien, N T Duc, N T Khiem, “Mode shape analysis of multiple cracked functionally graded Timoshenko beams”, Latin American Journal of Solids and Structures, vol 14, 7, pages 1327-134, 2017 [29] G R Gillich; H Furdui; M A Wahab and Z I Korka, "A robust damage detection method based on multi-modal analysis in variable temperature conditions," Mechanical Systems and Signal Processing, vol 115, no 12, pp 361-379, 2019 [30] G L Qian; S N Gu; J S Jiang, " The dynamic behaviour and crack detection of a beam with a crack," Journal of Sound and Vibration, vol 138, pp 233-243, 1990 109 [31] A K Pandey; M Biswas; M M Samman, "Damage detection from changes in curvature mode shapes," Journal of Sound and Vibration, vol 145, no 2, pp 321-332, March 1991 [32] M M A Wahab ; G D Roeck, "Damage detection in bridges using modal curvatures: application to a real damage scenario," Journal of Sound and Vibration, vol 226, no 2, pp 217-235, 16 September 1999 [33] A P Bovsunovsky; V V Matveev, "Analytical approach to the determination of dynamic characteristics of a beam with a closing crack," Journal of Sound and Vibration, vol 235, no 3, pp 415-434, 2000 [34] V V Matveev; A P Bovsunovsky, "Vibration-based diagnostics of fatigue damage of beam-like structures," Journal of Sound and Vibration, vol 249, no 1, pp 23-40, 2002 [35] P Verboven; E Parloo; P Guillaume; M V Overmeire, "Autonomous structural health monitoring," in Part I: Modal Parameter Estimation and Tracking, vol Vol 16(4), 2002, pp 637-657 [36] P Verboven ; E Parloo ; P Guillaume ;M.V Overmeire , "Autonomous structural health monitoring - Part II: Vibration-based in-operation damage assessment," Mechanical Systems and Signal Processing, vol 16, no 4, pp 659-675, 2002 [37] S Vanlanduit; P Verboven; P Guillaume, "On-line detection of fatigue cracks using an automatic mode tracking technique," Journal of Sound and Vibration, vol 266, pp 805-814, 2003 [38] P Verboven; E Parloo; P Guillaume; M V Overmeire, "Autonomous modal parameter estimation based on a statistical frequency domain maximum likelihood approach," SEM International Modal Analysis Conference, Kissimmee, FL, USA, pp 1511-1517, 2001 [39] S Vanlanduit; P Verboven; J Schoukens; P Guillaume, "An automatic frequency domain modal parameter estimation algorithm," Journal of Sound and Vibration, vol 265, no 3, pp 647-661, 2003 110 [40] L M Khoo; P R Mantena; P Jadhav, "Structural damage assessment using vibration modal analysis," Structural Health Monitoring, vol 3, no 2, pp 177-194, 2004 [41] N Haritos; J S Owen, "The use of vibration data for damage detection in bridges: A comparison of system identification and pattern recognition approaches," Structural Health Monitoring, vol 3, no 2, pp 141-163, 2004 [42] S Caddemi and I Caliò, "Exact closed-form solution for the vibration modes of the Euler–Bernoulli beam with multiple open cracks," Journal of Sound and Vibration, vol 327, no 3, pp 473-489, 2009 [43] K V Nguyen, "Mode shapes analysis of a cracked beam and its application for crack detection," Journal of Sound and Vibration, vol 333, p 848–872, 2014 [44] M E Gebeily; Y A Khulief, "Identification of wall-thinning and cracks in pipes utilizing vibration modes and wavelets," Applied Mathematical Modelling, vol 40, p 5335–5348, 2016 [45] R E D Bishop; D C Johnson, The Mechanics of Vibration, Cambridge: Cambridge University Press, 1960 [46] H K Milne, "The receptance functions of uniform beams.," Journal of Soundand Vibration, vol 131, no 3, pp 353-365, 1989 [47] R P C Sampaio; N M M Maia; J M M Silva, "Damage detection using the frequency-response-function curvature method," Journal of Sound and Vibration, vol 226, no 5, pp 1029-1042, October 1999 [48] Z Wang; R M Lin; M K Lim, "Structural damage detection using measured FRF data," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol 147, no 1-2, pp 187-197, 1997 [49] R P C Sampaio; N M Maia and J M M Silva, "Damage detection methods using the frequency response function curvature method," Journal of Sound and Vibration, vol 226, no 5, pp 1029-1042, 1999 [50] N.M.M Maia; J.M.M Silva; E.A.M Almas; R.P.C Sampaio, "Damage detection in structures: from mode shape to frequency response function 111 methods," Mechanical Systems and Signal Processing, vol 17, no 3, pp 489-498, 2003 [51] U Lee and J Shin, "A frequency response function-based structural damage identification method," Computers and Structures, vol 80, pp 117-132, 2002 [52] H.Y Hwang; C Kim, "Damage detection in structures using a few frequency response function measurements," Journal of Sound and Vibration, vol 270, no 1-2, pp 1-14, 2004 [53] J V Araújo dos Santos; C M Mota Soares; C A Mota Soares; N M M Maia, "Structural damage identification in laminated structures using FRF data," Composite Structures, vol 67, pp 239-249., 2005 [54] G M Owolabi; A S J Swamidas; R Seshadri, "Crack detection in beams using changes in frequencies and amplitudes of frequency response functions," Journal of Sound and Vibration, vol 265, no 1, pp 1-22, 2003 [55] X Liu; N A Lieven and P.J Escamilla-Ambrosio, "Frequency response function shape-based method for structural damage localization," Mechanical Systems and Signal processing, vol 23, pp 1243-1259, 2009 [56] A Chatterjee, "Structural damage assessment in cantilever beam with a breathing crack using higher order freequency response function," Journal of Sound and Vibration, vol 329, no 16, pp 3325-3334, 2010 [57] D H Doan; T Q Bui; T V Do and N D Duc, “A rate - dependent hybrid phase field model for dynamic crack propagation” Journal of Applied Physics, vol 122 (11), 2017 [58] D H Doan; T V Do; P M Pham and N D Duc, “Validation simulation for free vibration and buckling of cracked Mindlin plates using phase - field method" J Mechanics of Advanced Materials and Structures, vol 26 (12), pp.1018-1027, 2019 [59] P M Pham and N D Duc, “The effect of cracks and thermal environment on free vibration of FGM plates”, Thin Walled Structures, vol 159, 2021 112 [60] P A A Laura; J L Pombo; E A Susemihl, "A note on the vibrations of a clamped-free beam with a mass at the free end," Journal of Sound and Vibration, vol 37, no 2, p 161–168, 1974 [61] M Gürgöze, "A note on the vibrations of restrained beams and rods with point masses.," Journal of Sound and Vibration, vol 96, no 4, p 461–468, 1984 [62] L Ercoli; P A A Laura, "Analytical and experimental investigation on continuous beams carrying elastically mounted masses," Journal of Sound and Vibration, vol 114, no 3, p 519–533, 1987 [63] R E Rossi; P A A Laura; D R Avalos; H Larrondo, "free vibrations of Timoshenko beams carrying elastically mounted, concentrated masses," Journal of Sound and Vibration, vol 165, no 2, p 209–223., 1993 [64] J S Wu; T L Lin, "Free vibration analysis of a uniform cantilever beam with point masses by an analytical-and-numerical-combined method," Journal of Sound and Vibration, vol 136, no 2, p 201–213, 1990 [65] B Posiadała, "Free vibrations of uniform Timoshenko beams with attachments," Journal of Sound and Vibration, vol 204, no 2, pp 359-369, 10 July 1997 [66] J.-S Wu; H.-M Chou, "A new approach for determining the natural frequencies and mode shapes of a uniform beam carrying any number of sprung masses.," Journal of Sound and Vibration, vol 220, no 3, p 451– 468, 1999 [67] M Gürgöze, "On the alternative formulations of the frequency equation of a bernoulli–euler beam to which several spring-mass systems are attached inspan.," Journal of Sound and Vibration, vol 217, no 3, p 585–595, 1998 [68] M Gürgöze, "Alternative formulations of the characteristic equation of a bernoulli-euler beam to which several viscously damped spring-mass systems are attached in-span.," Journal of Sound and Vibration, vol 223, no 4, p 666–677, 1999 [69] T P Chang; F I Chang; M F Liu, "On the eigenvalues of a viscously damped simple beam carrying point masses and springs.," Journal of Sound and Vibration, vol 240, no 4, p 769–778, 2001 113 [70] P D Cha, "Eigenvalues of a linear elastica carrying lumped masses, springs and viscous dampers.," Journal of Sound and Vibration, vol 257, no 4, p 798–808, 2002 [71] J R Banerjee, "Free vibration of beams carrying spring-mass systems − A dynamic stiffness approach," Computers & Structures, Vols 104-105, p 21– 26., 2012 [72] J S Wu; T F Hsu, "Free vibration analyses of simply supported beams carrying multiple point masses and spring-mass systems with mass of each helical spring considered.," International Journal of Mechanical Sciences, vol 49, no 7, p 834–852, 2007 [73] K V Nguyen, "Crack detection of a double-beam carrying a concentrated mass," Mechanics Research Communications, vol 75, pp 20-28, July 2016 [74] B Yang, "Exact Receptances of Nonproportionally Damped Dynamic Systems," Journal of Vibration and Acoustics, vol 115, no 1, p 47–52, 1993 [75] R M Lin and M K Lim, "Derivation of structural design sensitivities from vibration test data.," Journal of Sound and Vibration, vol 201, no 5, p 613– 631, 1997 [76] J E Mottershead, "On the zeros of structural frequency response functions and their sensitivities," Mechanical Systems and Signal Processing, vol 12, no 5, p 591–597, 1998 [77] M Gürgöze, "Receptance matrices of viscously damped systems subject to several constraint equations," Journal of Sound and Vibration, vol 230, no 5, p 1185–1190, 2000 [78] M Gürgöze; H Erol, "On the frequency response function of a damped cantilever simply supported in-span and carrying a tip mass," Journal of Sound and Vibration, vol 255, no 3, p 489–500, 2002 [79] A Karakaş; M Gürgöze, "A novel formulation of the receptance matrix of non-proportionally damped dynamic systems.," Journal of Sound and Vibration, vol 264, no 3, p 733–740, 2003 114 [80] E Arlaud; S C D’Aguiar; E Balmes, "Receptance of railway tracks at low frequency: Numerical and experimental approaches," Transportation Geotechnics, vol 9, p 1–16, 2016 [81] A Burlon ; G Failla ; F Arena , "Exact frequency response analysis of axially loaded beams with viscoelastic dampers," International Journal of Mechanical Science, Vols 115-116, p 370–384, 2016 [82] G Failla, "An exact generalised function approach to frequency response analysis of beams and plane frames with the inclusion of viscoelastic damping," Journal of Sound and Vibration, vol 360, pp 171-202, January 2016 [83] A Burlon; G Failla; F Arena, "Exact frequency response of two-node coupled bending-torsional beam element with attachments.," Applied Mathematical Modelling, vol 63, p 508–537, 2018 [84] Y Q Guo; W Q Chen, "Dynamic analysis of space structures with multiple tuned mass dampers," Engineering Structures, vol 29, no 12, pp 33903403, December 2007 [85] Y Huang; X F Li, "A new approach for free vibration of axially functionally graded beams with non-uniform cross-section," Journal of Sound and Vibration, vol 329, no 11, p 2291–2303, 2010 [86] A Shahba; R Attarnejad; M T Marvi; S Hajilar, "Free vibration and stability analysis of axially functionally graded tapered Timoshenko beams with classical and non-classical boundary conditions," Composites Part B: Engineering, vol 42, no 4, p 801–808, 2011 [87] S Šalinić; A Obradović; A Tomović, "Free vibration analysis of axially functionally graded tapered, stepped, and continuously segmented rods and beams.," Composites Part B: Engineering, vol 150, p 135–143, 2018 [88] M A Mahmoud, "Natural frequency of axially functionally graded, tapered cantilever beams with tip masses," Engineering Structures, vol 187, pp 3442, May 2019 [89] R W Clough and J Penzien, Dynamic of Structures, Computers & Structures, Inc., 2003 115 [90] P Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford: Oxford University Press, 1930, p 257 [91] D J Ewins, Modal Testing: Theory, Practice and Application, 2nd Edition, Wiley, 2000 [92] S Zheng, D Chen and H Wang, "Size dependent nonlinear free vibration of axially functionally graded tapered microbeams using finite element method," Thin-Walled Structures, vol 139, pp 46-52, June 2019 [93] H Haddadpour, "An exact solution for variable coefficients fourth-order wave equation using the Adomian method," Mathematical and Computer Modelling, vol 44, no 11-12, pp 1144-1152, December 2006 [94] H Y Lai; J C Hsu; C K Chen, "An innovative eigenvalue problem solver for free vibration of Euler–Bernoulli beam by using the Adomian decomposition method," Computers & Mathematics with Applications, vol 56, no 12, pp 3204-3220, December 2008 [95] J C Hsu; H Y Lai; C K Chen, "Free vibration of non-uniform Euler– Bernoulli beams with general elastically end constraints using Adomian modified decomposition method," Journal of Sound and Vibration, vol 318, no 4-5, pp 965-981, December 2008 [96] S Das, "A numerical solution of the vibration equation using modified decomposition method," Journal of Sound and Vibration, vol 320, no 3, pp 576-583, 20 February 2009 [97] Q Mao; S Pietrzko, "Design of shaped piezoelectric modal sensor for beam with arbitrary boundary conditions by using Adomian decomposition method," Journal of Sound and Vibration, vol 329, no 11, pp 2068-2082, 24 May 2010 [98] Q Mao; S Pietrzko, "Free vibration analysis of a type of tapered beams by using Adomian decomposition method," Applied Mathematics and Computation, vol 219, no 6, pp 3264-3271, 25 November 2012 116 PHỤ LỤC 117 PHỤ LỤC A 122 PHỤ LỤC B 132 PHỤ LỤC C 135 PHỤ LỤC D 145 PHỤ LỤC E ... cứu hàm phổ phản ứng kết cấu dạng dầm Euler – Bernoulli có hư hỏng, từ đó, xác định ảnh hư? ??ng hư hỏng lên hàm phổ phản ứng ứng dụng phát hư hỏng kết cấu dạng dầm Trong đó, hư hỏng xét hư hỏng kiểu... số liệu đo hàm phổ phản ứng 33 CHƯƠNG HÀM PHỔ PHẢN ỨNG, HÀM ĐỘ CONG PHỔ PHẢN ỨNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÁT HIỆN VẾT NỨT Việc thiết lập cơng thức xác cho hàm phổ phản ứng hàm độ cong cho dầm có vết... 2.1 Hàm phổ phản ứng dầm nguyên vẹn 33 2.2 Cơng thức xác hàm phổ phản ứng hàm độ cong phổ phản ứng dầm có vết nứt 36 2.3 Hàm độ cong phổ phản ứng dầm có nhiều vết nứt phương