Chuyên đề thặng dư bình phương và ứng dụng

Chuyên đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC ĐỒNG BẰNG VÀ DUYÊN HẢI BẮC BỘ MÃ CHUYÊN ĐỀ BÁO CÁO KẾT QUẢ CHUYÊN ĐỀ HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐBDHBB TÊN CHUYÊN ĐỀ “THẶNG DƯ BÌNH PHƯƠNG VÀ ỨNG DỤNG” Mơn/ Nhóm mơn: Tốn Tổ mơn: Tốn - Tin Mã mơn: Người thực hiện: Nguyễn Duy Liên Điện thoại: 0123.304.5361 Email: lientoancvp@vinhphuc.edu.vn Vĩnh Phúc , tháng năm 2016 Chuyên đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” MỤC LỤC BẢNG CÁC KÝ HIỆU PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU IV GIẢ THUYÊT KHOA HỌC V BỐ CỤC PHẦN II: NỘI DUNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN II ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN 13 II Ứng dụng giải toán dãy số nguyên đa thức .13 II Ứng dụng giải toán chứng minh sử dụng tập hợp số nguyên tố vô hạn 19 II Ứng dụngcủa thặng dư bình phương toán chứng minh chia hết 24 II Ứng dụng thặng dư bình phương tốn, Giải phương trình nghiệm ngun 30 II Ứng dụngcủa thặng dư bình phương việc tính tổng chứng minh tồn số nguyên dương thỏa mãn đẳng thức số 34 III BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 38 IV KẾT QUẢ SAU KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI 42 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 43 Một số hướng phát triển Đề tài 43 Kiến nghị, đề xuất việc triển khai áp dụng đề tài 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 Chuyên đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” BẢNG CÁC KÝ HIỆU * x: ab ab b|a b|a a b mod m : a đồng dư với b theo môđun m , a b chia hết cho m a,b a,b a; b (đpcm), : chứng minh ,,, : n : Hàm Ơle số nguyên dương n Chuyên đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Ngạn ngữ Pháp có câu: "Le Mathématique est le Roi des Sciences mais L’Arithmétique est la Reine",dịch nghĩa:"Toán học vua khoa học Số học Nữ hoàng" Điều nói lên tầm quan trọng Số học đời sống khoa học Số học giúp người ta có nhìn tổng qt, sâu rộng hơn, suy luận chặt chẽ tư sáng tạo Trong kì thi chọn học sinh giỏi cấp THCS, THPT cấp tỉnh, cấp Quốc gia,cấp khu vực, cấp quốc tế, tốn Số học thường đóng vai trị quan trọng Chúng ta làm quen nhiều dạng toán Số học, biết nhiều phương pháp giải, có có cách giải Mỗi gặp toán lại phải suy nghĩ tìm cách giải Sự phong phú đa dạng tốn Số học ln hấp dẫn giáo viên, học sinh giỏi yêu toán Xuất phát từ ý nghĩ tơi sưu tầm hệ thống lại số toán để viết lên chuyên đề "Thặng dư bình phương ứng dụng ” Chuyên đề gồm phần : Báng kí hiệu Lời nói đầu Phần I: Kiến thức Ứng dụng 1: Ứng dụng giải toán dãy số nguyên đa thức Ứng dụng 2: Ứng dụng giải tốn tập hợp số ngun tố vơ hạn Ứng dụng 3: Ứng dụng giải toán chứng minh chia hết - Ứng dụng 4: Ứng dụng giải tốn giải phương trình nghiệm ngun Phần III: Bài tập tương tự Phần IV: Tài liệu tham khảo Mục tiêu số mẫu, số khác biệt nói lên phần yếu chuyên đề Tuy vậy, thiếu sót nhầm lẫn khơng thể tránh khỏi tất , phương diện chuyên môn phương diện sư phạm Lối trình bày giải tơi lối Tôi cố gắng áp dụng cách giải cho phù hợp với chuyên đề, học sinh theo mà khơng lạc hướng Ngồi lúc viết tơi ln ln ý đến bạn nhiều lí phải tự học, giản dị đầy đủ phương châm viết chuyên đề Tôi xin trân thành cảm ơn thầy giáo,các em học sinh góp ý thêm cho chỗ thơ lâu phê bình chân thành để có dịp tơi sửa chữa chun đề hồn thiện Chun đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu vai trò Thặng dư bình phương việc giải tốn số học sơ cấp - Vận dụng định nghĩa tính chất Thặng dư bình phương tình cụ thể nhằm phát huy khả tư toán học cho học sinh - Đề xuất số biện pháp nhằm rèn luyện, phát huy lực tư giải tốn phần Thặng dư bình phương chương trình chun tốn THPT III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong viết Chuyên đề sử dụng phương pháp nghiên cứu chủ yếu sau: - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu tài liệu chuyên Thặng dư bình phương đặc biệt tài liệu liên quan đến Thặng dư bình phương tạp chí ngồi nước; tài liệu từ Internet Phương pháp trao đổi, tọa đàm (với giáo viên, học sinh lớp chuyên toán) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm IV GIẢ THUYÊT KHOA HỌC Nếu học sinh học chuyên sâu theo chuyên đề phát triển lực tư Toán học, đặc biệt có phương pháp để giải tốn Thặng dư bình phương Đây phần khó với học sinh lớp chuyên toán V BỐ CỤC Chuyên đề gồm ba phần chính: Phần I- ĐẶT VẤN ĐỀ Phần II- NỘI DUNG I Kiến thức II Các ứng dụng Ứng dụng 1: Ứng dụng giải toán dãy số nguyên đa thức Ứng dụng 2: Ứng dụng giải toán tập hợp số nguyên tố vô hạn Ứng dụng 3: Ứng dụng giải toán chứng minh chia hết - Ứng dụng 4: Ứng dụng giải toán giải phương trình nghiệm nguyên III: Bài tập tương tự IV Kết sau áp dụng Chuyên đề Phần III- Kết luận kiến nghị Chuyên đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” PHẦN II: NỘI DUNG I KIẾN THỨC CƠ BẢN Mục đích chuyên đề trả lời câu hỏi phương trình x a mod m có nghiệm Nhờ định lý thặng dư Trung Hoa ta đưa câu hỏi dạng đơn giản phương trình x q mod p có nghiệm , p , q số nguyên tố Kết quan trọng chuyên đề Luật thận nghịch bình phương , khẳng định hai phương trình x q mod p , x p mod q ln có nghiệm , khơng có nghiệm, trừ trường hợp p q có dạng k Trong trường hợp , có hai phương trình có nghiệm Định nghĩa Cho số ngun dương m Số nguyên a gọi thặng dư bình phương modulo m a , m phương trình x a mod m có nghiệm Nếu phương trình x a mod m khơng có nghiệm ta nói a khơng thặng dư bình phương modulo m ( ta thường gọi a số phương modulo m , a số khơng phương modulo m ) Ví dụ : số 1,3,4,5,9 số phương modulo 11, số 2,6,7,8,10 số khơng phương modulo 11, Định lí Cho p số nguyên tố lẻ a số nguyên không chia hết cho p Khi phương trình x a mod p vơ nghiệm , có nghiệm không đồng dư theo modulo p Chứng minh Nếu phương trình x nghiệm phương trình nghiệm phương trình x12 x02 a mod p x12 x02 x1 x0 x1 x0 mod p p | x1 x0 phương trình x a mod p có nghiệm theo modulo p Định lí 1.2 p số phương modulo p p số khơng phương modulo p 2 Chứng minh.Gọi a thặng dư bậc hai theo modulo p Xét phương trình x a mod p Phương trình có nghiệm khơng đồng dư theo modulo p suy số a ứng với số thuộc tập 12 ,2 , , p số p số a p p 2 số p số số khơng phương modulo p số Chuyên đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” Định nghĩa Cho p số nguyên tố lẻ a số nguyên không chia hết cho a p Kí hiệu Lengendre p định nghĩa sau: Ví dụ : Định lí ( Tiêu chuẩn Euler’s ) Cho p số nguyên tố lẻ a số nguyên dương không chia p1 a a mod p p Chứng minh a Nếu p1 a2 a Nếu Với i 1, 2,3, , p ij a mod p vô nghiệm nên i j p p ! a2 cặp p mod p * Theo định lý Wilson’s p 1! mod p (**) .Từ * ** suy p1 a2 mod p Ví dụ : p 23 23 Vậy số khơng phương modulo 23 Chuyên đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” Định lí 3.Cho p số nguyên tố lẻ a , b số nguyên không chia hết cho p i Nếu a b mod p ii iii a b a2 p Chứng minh i Nếu a b mod p x a mod p có nghiệm a x b mod p có nghiệm bp mod p ,b mod p p ii a ab ab p a p iii Định lí Cho Chứng minh Theo tiêu chuẩn Euler’s ta có Nếu p mod p 4k 1,k Chuyên đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” Vì p Ta chứng minh r k Thật rk rl j0 (vơ lí )( k l p modulo p1 Lập luận tương tự với k 2n k1 Và đẳng thức p1 Nhận xét : toán 5.3 ta sử dụng tố p , p mod8 ,để tính số số p1 kết đẹp thú vị toán Bài toán 5.4 Chứng minh với số nguyên tố lẻ k1 thỏa mãn tính chất : p Lời giải Gọi a số nguyên dương nhỏ không thặng dư bình phương số nguyên tố lẻ p Đặt Vậy 36 Chuyên đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” Suy a p b p a Bài toán 5.5 (2004 Iran TST) Cho trước số nguyên tố lẻ số nguyên dương n cho Lời giải Bài toán tương đương với việc chứng minh nn k thỏa mãn chứng Giả sử tồn với số ngun tố lẻ p có p số khơng phương mod p Do f n, tồn f n , k , p nhận khơng q nh p phần tử , theo ngun lí Dirichlet ta có ba số ngun x , y , z x,y,z p phân biệt cho : f x,k,p Tức : x x k y y k z z k mod pp Điều vơ lí x , y , z phân biệt x , y , z p Vậy điều giả sử sai nên từ ta có điều phải chứng minh Bài toán 5.6 Chứng minh : Lời giải 2003,2003 mod8 37 Chuyên đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” Ta có 2003 nhận thấy i=0,1,2,…,1000 ta 2003 2003 22002 1001 2003 III BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài Chứng minh với số nguyên dương n n ,ước nguyên tố số Fermat’s : Fn 2n có dạng p s 2n , s * Bài Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun dương 4xyz x y t2 Bài Chứng minh số 4kxy không chia hết cho số x n yn với x , y, k ,n số nguyên dương Bài Cho P x Q x hai đa thức với hệ số nguyên, nguyên tố Giả sử với số nguyên n P n ,Q n số nguyên dương Q n chia hết P n Chứng minh Q x đa thức Bài Cho a , b , clà số nguyên p số nguyên tố lẻ khác ax bx c số phương ếu f x p giá trị liên tiếp x p chia hết b 4ac Bài Chứng minh với số nguyên dương n ,đều tồn số nguyên dương khác đôi nguyên tố : k1 ,k , ,kn Sao cho k1k kn tích hai số nguyên liên tiếp Bài Cho số nguyên dương a Xét dãy số nguyên xn ,xác định x 2x n1 n 1, 2,3, Đặt n cho tồn số nguyên dương a để số y1 , y , , yk Bài u 1,u Chứng minh un Bài (2005 Moldova TST) Cho hai hàm số i) g toàn ánh ii) f n n g n 11 , u 38 Chuyên đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” * Thì f có vơ số điểm bất Chứng minh nếu: f n n 2013 n , n động Bài 10 Cho p số nguyên tố Chứng minh tồn x cho p x x tồn y cho p y y 25 Bài 11 Chứng minh ước số lẻ số 5x2 có chữ số hàng chục chẵn Bài 12 Chứng minh với số nguyên tố p tồn số nguyên x, y cho x y2 bội p Bài 13 Với số nguyên a , tính số nghiệm x , y , z phương trình đồng dư : x y z 2 axyz mod p Bài 14 Chứng minh a , b Bài 15 Cho n , chứng minh ước nguyên tố n n4 có dạng 24k ,k Bài 16 Tìm tất n , cho tập A n, n 1, n 2, , n 1997 phân hoạch thành hai tập dời mà tích phần tử tập Bài 17 * Cho dãy số x xác định x 7,x 97 , x 2x2 1, n n n1 n1 n Chứng minh 2003 không chia hết số hạng dãy số Bài 18 Cho a ,n số nguyên dương Chứng minh : a 3n 16 n lẻ a Bài19.(2003 IMO-Japan) Cho dãy số x n Chứng minh với số nguyên dương n , p ước nguyên tố xn p mod 2n Bài 20 Cho dãy số Cho n ,n lẻ ,chứng minh Bài 21 Cho a nn , b * n n * a b nguyên dương n 2n p , thỏa mãn bn chia hết cho p 39 Chuyên đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” Bài 22 (1997 APMO) Tìm tất số nguyên dương n , 100 n 1997 cho n 2n Bài 23 (1999-Korean Mathematical Olympiad) Tìm tất số nguyên dương n cho n 1là bội tồn số nguyên 2n ước số m2 Bài 24 (2000- Korean Mathematical Olympiad) Chứng minh với số nguyên tố p , tồn số nguyên x, y , z, cho x y z p với p Bài 25 (2008- Czech-Polish-Slovakian Mathematical Olympiad) Chứng minh tồn số nguyên dương n cho với số nguyên dương k k k n khơng có ước ngun tố nhỏ 2008 Bài 26 (KHTNHN TST) Cho ba số nguyên dương a , b , c Chứng minh a , b, c , abc khơng số a phương tồn vô số nguyên tố p cho : m cho Bài 27 (2013 Iran TST) Có tồn số nguyên dương a , b, c cho : 2 a b c 2013 ab bc ca ? Bài 28 (2011 CWMO) Tìm tất cặp số nguyên dương a , b cho với số nguyên dương n , ta có : n a n bn Bài 29 (Gazeta Mathematical ) Cho p mod3 số nguyên tố Chứng minh phương trình : x1p x2p xnp x1 x2 xn , n * khơng có nghiệm ngun Bài 30 (Gazeta Mathematical) Tìm tất số nguyên tố q cho : 1993 q q Bài 31 (Radu Gologa, Gazeta Mathematică) Cho p mod8 số nguyên tố m, n số nguyên dương cho : m p n Bài 32 Cho p số nguyên tố có dạng 8k ,k Bài 33 Cho số nguyên tố p p Tính Chứng minh (Calin Popescu, AMM) Hãy tính tổng : (2005 Vietnamese TST ) 40 Chuyên đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” p1 S k1 p1 2 k1 Bài 34 Cho a b số nguyên dương cho a minh a không ước 3b Bài 35 * Cho p số nguyên tố có dạng k ,k (J.L.Selfridge AMM E3012 ) (Gabriel Dospinescu ) , cho p2 ước nguyên tố lớn nhât q p thỏa mãn bất đẳng thức q p p Bài 36 ( 2007 Bulgarian TST) Cho p số nguyên tố có dạng k ,k , tìm số lớp thặng dư khác mod p x y2 Bài 37 ( Gazeta Mathematică) p mod8 số nguyên tố Chứng minh tồn số nguy x2 p số c Cho cho Bài 38 (2007 Ukraina TST) Chứng minh tồn vô số số nguyên dương n cho tất ước số nguyên tố n n không lớn n Bài 39 (2007 Moldova TST) Chứng minh tồn vơ số số ngun tố p có tính chất sau : Tồn vơ số số ngun dương n cho p không chia hết cho n n! chia hết cho p Bài 40 (2013 BMO TST) Cho tập hợp S số hữu tỉ có dạng : a2 a a2 2 n a2 a n a 1 b12 b1 b22 b2 bn2 bn Với n , a1 , a , , a n , b1 , b2 , ,bn chạy qua số nguyên dương Chứng minh S gồm vô hạn số nguyên tố Bài 41 * Cho thỏa mãn y Y,ry xp y2, x 1p y xp , x 1,k 1 Tính T ry yY 41 Chuyên đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” k xp Tính T x Bài 42 * Chứng minh số n n khơng có ước dạng 12 k 11 k Bài 43 (Turkey TST 2013) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : m n n n Bài 44 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x 5y z2 Bài 45 (Turkey Junior BalkanMathematica TST 2013) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn : n n! Bài 46 Tìm số nguyên dương lẻ n thỏa mãn : n11 199 số phương Bài 47 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x 13 y 8z Bài 48 Tìm cặp số nguyên không âm m, n thỏa mãn 107 56 m 2 m Cn 114 113 IV KẾT QUẢ SAU KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI Trong ba năm học vừa qua thực đề tài với nhóm học sinh có học lực giỏi (lớp 10A1,11A1,12A1) Để đánh giá hiệu chuyên đề thực hai kiểm tra trước sau áp dụng, cụ thể sau: Đề 1(Trước thực chuyên đề) Đề 2(Sau thực chuyên đề) Hai đề có mức độ khó tương đương Kết cho thấy điểm số trung bình lớp 10A1 tăng 68,74%,.Như vậy, việc áp dụng chuyên đề có hiệu lớp học sinh giỏi Chuyên đề giảng dạy cho học sinh giỏi toán trại hè Hùng Vương tháng 08 năm 2013 với kết tốt , giảng dạy cho học sinh giỏi tồn quốc Viện tốn cao cấp nghiên cứu toán Việt Nam tháng năm 2014, với kết tốt Chuyên đề in sách “Các phương pháp giải toán qua kỳ thi Olympic” - Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh xuất năm 2014 42 Chuyên đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Một số hướng phát triển Chuyên đề -Khai thác thêm kỹ đánh giá khác -Kỹ tư học sinh với kiến thức số học liên quan đến chuyên đề -Ứng dụng giải lớp tập số học liên quan đến Thặng dư bình phương Kiến nghị, đề xuất việc triển khai áp dụng chuyên đề Chuyên đề thực cần thiết phải giảng dạy học sinh giỏi học sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia , khu vực quốc tế Có thể áp dụng rộng rãi cho học sinh lớp chun tốn 10,11,12 tồn quốc, bạn u thích mơn tốn sơ cấp Vấn đề mới/cải tiến chuyên đề đặt giải so với chuyên đề trước (ở nhà trường Tỉnh): Vấn đề Thặng dư bình phương vấn đề Số học, việc sử dụng kiến thức để giải số tốn Số học khơng phải dễ.Trong chun đề giúp thầy trị có cách tiếp cận toán cách dễ gần hơn, cách giải lớp toán chuyên đề linh hoạt , sáng hơn, lời dẫn dơn giản bạn đọc tự học học tốt môn Số học yêu quý môn Số học nói riêng mơn Tốn sơ cấp nói chung Vĩnh phúc ngày 17 tháng 07 năm 2016 Tơi xin cam đoan Chun đề viết, không chép nội dung người khác Người viết Chuyên đề Nguyễn Duy Liên 43 Chuyên đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” ÝKIẾN ĐÁNH GIÁ – NHẬN XÉT – XẾP LOẠI CỦA NHĨM TỐN 44 Chun đề: “Thặng dư bình phương ứng dụng” TÀI LIỆU THAM KHẢO Số học Các giảng Số học Tài liệu tập huấnGVChuyên toàn quốc năm 2011,2012 Tạp chí Tốn học tuổi trẻ Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Tỉnh,Thành phố Tuyển tập dự tuyển OLYMPIC toán hoc Quốc tế JunorBalkan Mathematical Olympiads DiophantinEquations Gazeta Matematică-A bridge 10 Mathematical Reflections 11 OLYMPIC toán học Châu Á Thái Bình Dương 12 Số học nâng cao 13 Mathematical Olympiad Challenges-2001 14 Mathematical Olympiad Treasures-2004 Birkhauser Boston,USA 15 Vô địch quốc gia vùng lãnh thổ từ 1991-2016 45 ... viết lên chuyên đề "Thặng dư bình phương ứng dụng ” Chuyên đề gồm phần : Báng kí hiệu Lời nói đầu Phần I: Kiến thức Ứng dụng 1: Ứng dụng giải toán dãy số nguyên đa thức Ứng dụng 2: Ứng dụng giải... ,3a, , p 1a Và lớp thặng dư dương nhỏ Chuyên đề: ? ?Thặng dư bình phương ứng dụng? ?? Gọi n số lớp thặng dư vượt định công thức n Chứng minh Gọi r , r , ,r lớp thặng dư lớn lớp thặng dư cịn lại Ta có... 24 II Ứng dụng thặng dư bình phương tốn, Giải phương trình nghiệm ngun 30 II Ứng dụngcủa thặng dư bình phương việc tính tổng chứng minh tồn số nguyên dư? ?ng thỏa mãn đẳng