UBND HUYỆN QUỲ HỢP PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO.. Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC.[r]
Trang 1UBND HUYỆN QUỲ HỢP
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG 1 - NĂM HỌC 2018 - 2019
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (5.0 điểm)
a Cho số tự nhiên A biết A 99 98 (2018 chữ số 9 ) Tính tổng các chữ số của
số A
b Tìm số tự nhiên n sao cho n 39 và n 25 là hai số chính phương
c Với a b, là các số nguyên Chứng minh rằng nếu 4a23ab11b2 chia hết cho 5 thì a4 b4 chia hết cho 5
Câu 2 ( 4.0 điểm)
a Cho 0 a b thỏa mãn 3a3b10 ab Tính giá trị biểu thức:
a b M
a b
b Cho A 2018 2017 và B 2019 2018 So sánh A và B
Câu 3 ( 4.0 điểm)
a Giải phương trình:
2x 1 x5 1 2x211x5
x 4
b Cho a b c , , 0 thỏa mãn ab bc ac 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
Câu 4 (6.0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn ; các đường cao AK, BD, CE cắt nhau tại H
a Chứng minh rằng:
b Giả sử AK 3HK Chứng minh rằng: tanB.tanC 3
c Giả sử diện tích tam giác ABC SABC 240cm2và số đo góc BAC bằng 600 Hãy tính diện tích tam giác ADE?
Câu 5 (1.0 điểm)
Chứng minh rằng: Trong 51 số bất kì thuộc tập
1; 2;3; ;100
luôn chọn được hai số màsố này là bội của số kia
-Hết -Lưu ý: - Học sinh bảng B không phải làm câu 3b.
- Học sinh không được sử dụng máy tính
Trang 2Họ và tên thí sinh SBD
UBND HUYỆN QUỲ HỢP
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG 1 - NĂM HỌC 2018 - 2019 ĐÁP ÁN MÔN THI: TOÁN
Bảng A
Bảng B
1
(5.0
điể
10 2019 2
2A
102019 4 10
2019 499 9600 04
(2018 chữ số 8 và 2018 chữ số0) 0.25 0.5 Vậy tổng các chữ số của số A là: 9.2018 6 4 18172 0,5 0,5
b
Giả sử n39k2, n 25h2 (với k h N, và k h ) 0,25 0,5
2 2 64
Do k h và k h là các số nguyên dương cùng chẵn hoặc cùng lẻ nên ta có các trường hợp
0,25 0,25
TH1:
2 32
k h
k h
17 15
k h
n 250
0,25 0,25
TH2:
4 16
k h
k h
10 6
k h
n 61
0,25 0,25
TH3:
8 8
k h
k h
8 0
k h
n 25
0,25 0,25
Vậy có 3 số tự nhiên n thỏa mãn yêu cầu
c
Ta có: a4 b4
a2 b2
a2b2
a b a b a
2b2
Do 4a2 3ab11b25 4a23ab b 25 0,25 0,5
5
a b
a b
0,25 0,25
Trang 3TH2: 4a b 5 5a
a b
5 a b 5 a4 b45 0,25 0,252
(4.0
điể
m)
a
Ta có: 3a3b10 ab 3a 9 ab ab3b0
3 a a 3 b b a 3 b 0
0,5 0,5
3 3
9 9
0,5 0,5
Vậy
M
0,5 0,5
b
Đặt M 2019 2017 và N 2 2018
Ta có: M 2 4036 2 2019.2017 ,
2 4.2018 4036 2.2018
0,5 0,5
Mà 2019.2017
2018 1 2018 1
2018212019.2017 2018
0,5 0,5
Do đó: M2 N2 M N (vì M N , 0) B A 0,5 0,5
3
(4.0
điể
m)
a
Điều kiện xác định:
x
x x
0,25 0,5
Đặt a 2x1,b x5 (a b , 0) a2 b2 x 4 0,25 0,5 Phương trình đã cho trở thành:
a b
1ab
a2 b2 0,25 0,25
a b a
1
b 1
01 1
a b a b
0,25 0,25
TH1: a b 2x 1 x 5 x 4 ( thỏa mãn ) 0,25 0,25 TH2: a 1 2x 1 1 x 0 ( thỏa mãn ) 0,25 0,25 TH3: b 1 x 5 1 x4 (loại)
Vậy phương trình có 2 nghiệm : x0;x4
0,25 0,25
b
Ta chứng minh bất đẳng thức:
3 3
2 3
1 4
xy
với x y , 0
0,25
Trang 43 3 2 2
2x 3y x y 4xy 0
0,5
Bất đẳng thức này đúng Vậy bất đẳng thức
1 đúng Dấu " " xảy ra khi xy0,25
Áp dụng bất đẳng thức
1 ta được:3 3
2 3 4
ab
3 3
2 3 4
bc
3 3
2 3 4
ac
0,25
Do đó :
P
0,25
Dấu " " xảy ra khi 6
a b c
ab bc ac
Vậy GTNN của P bằng 6 khi a b c 2
0,25
4
(6.0
điể
m)
a
0,5 0,5
Ta có:
2
2
0,5 0,5
2 2
0,5 0,5
2 2
CK CK BK
BK BK CK
CK BK
(đpcm)
0,5 0,5
b
tanB AK
BK
; tan
AK C KC
2
AK
BK CK
0,5 0,5
Trang 5Mặt khác: B KHC (cùng bù với góc KHE) mà
tanKHC KC
HK
tanB KC
HK
0,5 0,5
Tương tự tan
KB C KH
tan tanB C KB KC
KH
2 2
1 , 2 tan tanB C AK
KH
9 tan tanB C 3 (vìtanB0, tanC0) đpcm
0,5 0,5
c
2 3
ABC ADE
0,5 0,5
ABD
vuông tại D có BAD 600 AB2AD
4 0,5 0,5Từ
3 , 44
ABC ADE
S S
60
ADE
0,5 0,5
5
(1.0
điể
m)
Viết 51 số đã cho dưới dạng: a12 k1b1; a2 2 k2b2; …
51
51 2 k 51
a b trong đó b b1; ; ;2 b51 là các số lẻ
Ta có: 1b b1; ; ;2 b51 99 Mặt khác trong các số tự nhiên từ
1 đến 99 có đúng 50 số lẻ
0,5 0,5
, 1; 2; ;51
m n
sao cho b mb n (m n )
m
a
và a n có một số là bội của số kia
0,5 0,5
Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa cho câu đó.
