Tài liệu ôn thi học sinh giỏi quốc gia dãy số

GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [TÀI LIỆU ƠN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ ÔN DỰ TUYỂN 2020 – 2021 LẦN Nội dung: Tính giới hạn theo định nghĩa, định lý kẹp, định lý Weierstrass, dùng cơng thức tổng qt… Các tính chất, đánh giá xung quanh dãy số Bài 1: Cho dãy số ( a n ) thỏa a1  0,a n +1 = a n + a Tính lim n +1 an a1 + a + + a n Lời giải: Từ giả thiết, ta có ( a n ) dãy dương tăng ngặt, suy a1 + a + + a n  na n điều suy a n +1  a n + 1  1  a n +1  a1 +  + + +  na n an  n Giả sử dãy ( a n ) bị chặn M, suy + 1+  1 + + +  bị chặn, hay  an  n 1 1 + + +  bị chặn điều vô lý  M n Vậy lima n = + từ ta có đánh giá: Bài 2: Cho dãy số ( x n ) thỏa x n + = ( ( x n x n +1 , x  x  Tính lim n n 2x n − x n +1 Lời giải: Từ đề cho, đặt y n = thức cho x n = a a n +1 = 1+ → hay lim n +1 = an an a n ( a1 + + a n ) x n +1 − x n ta suy công thức tổng quát cho yn suy công xn x1 x suy kết ( x1 − x2 ) n + 2x1 − x2 Bài 3: Cho dãy số ( x n ) thỏa x1 ,x2  x n + = 1|Năm học 2021 - 2022 )) x n +1 n +1 n +1 lim , tính + xn 2n + xn [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh Lời giải: Đặt y n = yn+2 − = yn − xn 2n từ giả thiết suy y n + = 1 + Từ cho ta + yn 2  y n − , n = 1; 2; 3; y n  với giá trị n (dãy dương) Từ yn +  x n +1 n  x n +1 xn = lim  n +1  = suy lim y n =  lim n = lim xn xn  2 → Bài 4: Cho hàm số f : D ⎯⎯ , nghịch biến D dãy ( xn ) xác định xn +1 = f ( xn ) thỏa điều kiện: 1/ x1  x3 , x1  x2 ( x1 ; x2 )  D a = f ( b ) 2/  có nghiệm a = b = l ( x1 ; x2 ) b = f ( a ) Chứng minh dãy cho có giới hạn Lời giải: Đầu tiên, ta chứng minh xn  ( x1 ; x2 )  D, n Thật vậy, xét quy nạp khơng hồn tồn sau x1  x2  x2  x3  x3  ( x1 ; x2 )  x3  x4 x1  x3  x2  x4  x4  ( x1 ; x2 )  x3  x5 Từ đó, ta có x3  x5 , x3  x4 Quá trình tiếp diễn liên tục cho ta điều phải chứng minh Xét dãy x2 n = f ( f ( x2 n − ) ) , x2 n +1 = f ( f ( x2 n −1 ) ) Từ chứng minh ta có ( x2 n −1 ) dãy tăng ( x2n ) dãy giảm Đồng thời ( x2 n −1 )  ( x1 ; x2 ) , ( x2 n )  ( x1 ; x2 ) nên hai dãy cho hội tụ Đặt a = lim x2 n , b = lim x2 n−1 Lấy lim hai vế xn +1 = f ( xn ) ta có hệ a = f ( b )  b = f ( a ) Vậy, theo giả thiết, hệ có nghiệm a = b = l nên lim xn = l Bài 5: Tìm giới hạn dãy số ( xn ) biết xn = + + + 2|Năm học 2021 - 2022 + (n − 1) + n GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [TÀI LIỆU ƠN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] Lời giải: Với  m  n − 1, đặt am = + m + (1 + m) + + (n − 1) + n ta có am2 = + mam +1  am2 − (m + 1) = mam +1 − m − 2m  am2 − (m + 1) = m( am +1 − ( m + 2)) Suy | am − (m + 1) | Từ | a2 − | m | am +1 − am + | m  | am+1 − m + | | am + (m + 1) | m + n −1 n −1 | an−1 − n | | + (n − 1) + n − n |→ (n → ) n +1 n +1 u +2 Bài 6: Cho dãy u1 = 1, u2 = , un + = n +1 un + a Tính giới hạn dãy cho b Chứng minh n n+2 −2   n − − , với giá trị n nguyên dương lớn i =3 iui Lời giải: a Cách 1: Quy nạp kết  u n  đánh giá 2 un+2 −  un − 1 2 + u n +1 −  u n − + u n +1 − un + u n +1 + 5 Sử dụng bổ đề suy kết Cách 2: Từ biến đổi u n + − = u n +1 − u n b Thực đánh giá: 1 ta quy nạp −  un  + , n  ta có kết un + n n n −  nun  n +  dương lớn Lại ý:  n +1 3|Năm học 2021 - 2022 1   với n nguyên n + nun n − 1 = n + − n + tương tự ta có kết n +1 + n + [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh Câu 7: Cho dãy S1 = 1, Sn +1 chứng minh an  ( + Sn ) = + Sn Biết Sn = a1 + a2 + + an với ( an ) dãy đó, 9n + (China Girl MO 2016 day 2) Lời giải: Ta có a1 = S1 = 1, an +1 = S n +1 − S n = 4 Vậy − = Sn − Sn −1 = an hay có cơng an +1 an + Sn thức tính 4 = an + an +1 an Bình phương vế cộng lại, đồng thời dùng AM – GM để có an  1, n = 1, 2,3, Ta có kết 16 16 = + a12 + a22 + + an2 + 8n  ( n + 1) + an2+1 a12 Từ có kết  x1 =  thỏa  Đặt dãy yn = xn+1 − xn , chứng minh dãy 2n n−1 x =  n (n − 1)2  xi , n  i =1  Câu 8: Dãy số thực ( un ) cho có giới hạn hữu hạn Lời giải:  1 1 Ta có CTTQ: xn+1 =  + + +  xn đánh giá  n n n   1  n xn+1   + + + + xn = xn = x n n n n −1 n   1− n Và đánh giá xn  ( n − 1) Khi đó: 4|Năm học 2021 - 2022 GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 1) + 𝑛2 + 𝑛 + 𝑦𝑛+1 − 𝑦𝑛 = 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 (𝑛 + 1)3 𝑛3 𝑛2 + 3𝑛 + (𝑛 + 1)(𝑛2 + 1) 𝑛2 + 𝑛 + = · 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑛 (𝑛 + 1)3 𝑛3 𝑛3 𝑥𝑛 (𝑛2 + 3𝑛 + 3)(𝑛2 + 1) = 3[ − (𝑛2 + 𝑛 + 1)] 𝑛 (𝑛 + 1)2 𝑥𝑛 𝑛4 + 3𝑛3 + 4𝑛2 + 3𝑛 + − (𝑛4 + 3𝑛3 + 4𝑛2 + 3𝑛 + 1) = 3[ ] 𝑛 (𝑛 + 1)2 𝑥𝑛 = 3[ ]>0 𝑛 (𝑛 + 1)2 Hay ( yn ) dãy tăng bị chặn nên có giới hạn hữu hạn 1 n a Bài 9: Cho dãy ( an ) thỏa a1 = 1, an +1 =  an +  Tính  a2017  lim n 2 an  n (Kỷ yếu Olympic sinh viên 2017) Lời giải: Cách 1: Quy nạp n  an  n − 1, n = 1; 2;3; Cách 2: Ta có chặn dưới: an +1  n theo AM – GM Từ có đánh giá: an +1  1 n ta đặt dãy bn = an + 2 n −1 n dãy tăng (xét n từ n −1 trở lên) Khi đó: an +1  Hay an +1  1 1 1  1 an + bn  an −1 + bn −1 + bn  n −1 a2 + bn  + + + n −1  2 2 2  2 a2 a n Đến tính phần nguyên giới hạn + bn = n2−1 + n −1 2 n −1 Nhận xét: Từ cách 2, ta có tốn mở rộng sau Cho hai dãy ( an ) , ( bn ) thỏa bn  an+1  ( an + bn ) , n = 1; 2;3; ( bn ) dãy tăng Tính lim ( an +1 − bn ) Từ cách 2, ta đánh giá kết bn  an +1  5|Năm học 2021 - 2022 a2 + bn 2n−1 GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [TÀI LIỆU ƠN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] Bài 10: Dãy số ( x n ) thỏa xn +1 = xn + x n , x1  Tính lim n ,lim ( x n − n ) n xn Lời giải: Quy nạp cho ta xn  n với giá trị n > Từ suy xn+1  x2 + n − Và  x n +1 x + n −  n +1 n +1  x −1 x n −1 n −1  xn −1 − Xét: x n +1 − ( n + 1) = ( x n − n )  n xn = xn −1 +   ( xn − n ) xn xn −1  xn  Từ suy  xn +1 − ( n + 1)  x1 ( x − ) n suy kết Bài 11: Cho dãy số ( xn ) xác định  x1 = 0, x2 =  ,n  3xn −1 +   xn +1 = 10 x + x + n n −1  Chứng minh dãy cho có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn Lời giải: Đề xuất DHBTB 2019 – Thái Nguyên Xét hàm số f ( x, y ) = Ta có f y' = 3x + ; x  0, y  10 y + x + −10 ( 3x + ) (10 y + x + )  0; f x' = 30 y + (10 y + x + )  0; x  0, y  Nên hàm số đồng biến theo x nghịch biến theo y − xn +1 = 20 xn + xn −1 +  0, n  10 xn + xn −1 + Vậy  xn  2, n  Vậy dãy cho bị chặn Ta chứng minh quy nạp ( x2 n +1 ) tăng dãy ( x2n ) giảm Thật vậy, x = 15  x1  x1; x4 =  x2 17 Giả sử x2 n+1  x2 n−1 6|Năm học 2021 - 2022 [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] GVBS: Nguyễn Hồng Vinh Ta có x2 n +3 = f ( x2 n +1 , x2 n + )  f ( x2 n −1 , x2 n + )  f ( x2 n −1 , x2 n ) = x2 n +1 x2 n + = f ( x2 n , x2 n +1 )  f ( x2 n , x2 n −1 )  f ( x2 n − , x2 n −1 ) = x2 n  3a +  + 97 a = b = a = 10b + 2a + 24  Vậy tồn lim x2 n+1 = a, lim x2 n = b Ta có  b +  b =  a + b =  10a + 2b + Nếu a + b = 1 b = −a 2 Khi 4a − 2a + = vô nghiệm, lim xn = + 97 24 Bài 12: Cho dãy số thực (an ),(bn ),(cn ) thỏa mãn điều kiện sau: i) a1 1, b1 ii) an an c1 0, cn , bn n bn an , cn n cn bn ) (bn Chứng minh lim n (an bn với n  n cn ) (cn an ) Lời giải: Đề đề nghị DHBTB 2019 – chuyên Bình Long, Bình Phước Đặt un (an bn )2 (bn cn )2 (cn an )2 , n Ta ước lượng giá trị un Từ cơng thức cho, ta có cn −1 − an −1 n (c − a ) 2(an −1 − bn −1 )(cn −1 − an −1 )  (an − bn ) = (an −1 − bn −1 ) + n −1 n −1 + n n an − bn = an −1 − bn −1 + Xây dựng đẳng thức tương tự với (bn − cn )2 ,(cn − an )2 cộng lại, ý ( x − y)( z − x) + ( y − z )( x − y ) + ( z − x)( y − z ) = x + y + z − xy − yz − zx = ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x)2  2 7|Năm học 2021 - 2022 GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [TÀI LIỆU ƠN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] n2 − n +  1  Suy un = 1 − +  un −1 = un −1 với n  Từ dùng đánh giá làm trội n2  n n  n2 − n + n + n +1 n  , n  , ta có un   n n+2 n + n +1 Do lim d n n nun n 3u3 với n u3 = n+2 3u3 3u3 Dễ thấy lim n n n nên theo nguyên lý kẹp, ta có Bài 13: Cho số thực   ( 1; ) , xét dãy số dương ( u n ) thỏa un  u1 + u + + u n −1 với n > Chứng minh tồn số C dương cho un  Cn, n Lời giải: TST Nghệ An 2021 Nếu dùng ý tưởng quy nạp, ta đưa đến kết n −1  C −1 , cách xét hàm số ta có  −1 2n n −1   cần chọn C cho C    −1 2n 2  −1     Và để hoàn tất giả thiết đầu quy nạp, ta chọn C = u1 ,    2 −1  Bài 14: Cho dãy số (an ) xác định bởi: a1 = , ( an+1 + an )( − an ) = 1, n  a) Tìm giới hạn dãy (an ) n → +∞ b) Chứng minh a1 + a2 + + an 1 − , n = 1,2, n Lời giải: Đề đề nghị DHBTB Quảng Nam a + Biến đổi ( an+1 + an )( – an ) = 1   an+1 + an = − an 8|Năm học 2021 - 2022 GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [TÀI LIỆU ƠN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] an2 − 2an + ( an − 1)  an+1 = − an = , n  = − an − an − an + a1 =   0,1 , a2 − 1) ( = 2− = 14 =   0,1 32   + Nhận xét: an  0,1 Ta chứng minh quy nạp  an − 1) ( 0 an+1 = − a  n  an+1   0,1 Giả sử an   0,1 , ta có:  a − ( n )  an+1 = − a  − = n    Vậy an  0,1 , n  − ( an − 1) − = − + Với an   0,1 , ta có: an+1 − 2 − an 2 = = ( ) ( 2an2 − + an + 2 − 2 ( − an ) )= ( )  2an2 − + an + 2 −   ( − an )   an −   2−  2−  =  an − a − a −   n  n  ( − an )     − an  ( ) n − an 2− 2− 2−   an − an −    a − = <  − an 2 2  2 n   2−   − = =    2  2   Mà lim    2 n n −1 2− 2 −1 giới hạn cần tìm = , lim an = 2 9|Năm học 2021 - 2022 [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] GVBS: Nguyễn Hồng Vinh b Ta lại có: ( an+1 + an )( − an ) =  n n −n + a k +1 k  (1 − a ) =  a Suy ra: k k =1 k =1 n2 n  n −  ak  n (a k =1 k =1 = 1 = − an  − = − an an+1 + an an+1 + an n2 n an+1 − a1 + 2 ak k + ak +1 ) −n ≥ n2 n k =1 n 2 ak n2 n 2 ak n2 n a1 + an+1 + 2 ak −n = k =2 − n (vì a1  an+1  an+1 − a1  ) k =1 k =1 n −  ak  −n= −n k =1 n2 −n Đặt x =  ak , đó: (*)  n − x  2x k =1 n  x – 4nx + n   0  n 1 − 2   2 2 x 1−   x  n 1 +      n  n a Vậy k =1 n k  1− (đpcm) Bài 15: Cho hàm số fn ( t ) = t + 3t − 12 n2 a)Chứng minh với n nguyên dương, phương trình fn ( t ) = có nghiệm xn dương b)Tìm lim nxn n(nxn − 2) Lời giải Xét hàm fn ( t ) = t + 3t − 12 liên tục (0; + ) n2 10 | N ă m h ọ c 2 - 2 GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [TÀI LIỆU ƠN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] xn + yn , xn +1 yn +1 xn2 + yn2 , a) Show that the limits of the sequences ( xn + yn )n for all n  and ( xn yn )n b) Show that the limits of the sequences ( xn )n , ( yn )n 1 * exist exist and are equal Lời giải: RMC 2008, Tr 53 Define the sequences sn , pn by sn = xn + yn , pn = xn yn for all n a) we have xn+1 sn sn pn , yn+1 pn , whence sn+1 sn , pn+1 pn It follows that the sequences ( sn )n and ( pn )n are nondecreasing and therefore have a limit b) if sn →  , we get, using the above inequalities, that xn →  and yn →  If sn → s  p , then the sequence ( pn )n is bounded above by s ,so it converges to some 2 s We also have pn+1 = xn+1 yn+1 sn whence, passing to the limit, we obtain the reverse 4 inequaliry ( ) 1 1  Since xn , yn   sn  sn2 − pn  , it follows that xn − sn = yn − sn = 2 2  so xn → 1 s and yn → s 2 77 | N ă m h ọ c 2 - 2 sn2 − pn → GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [TÀI LIỆU ƠN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] BÀI TẬP ÔN THI DỰ TUYỂN 2021 – 2022 LẦN II Ngày soạn: 5/10/2021 Chủ đề: Dãy số công thức tổng quát Bài 1: Cho dãy số u1 = a; un = un3−1 + 9un−1 − 3un2−1 − 6un−1 + Tìm giá trị a để dãy cho có giới hạn hữu hạn tính giới hạn trường hợp Lời giải: Nếu a = −1 un = −1; n  lim un = −1 Xét a  −1 ta có un + = (u n−1 + 1) 3un2−1 − 6un−1 + un −  un−1 −  =  = = un +  un−1 +   a − 3    a +1 ; un − = 3n −1 = b n  un = (u n−1 − 3) 3un2−1 − 6un−1 + điều suy + bn − bn Xét TH: 1/ lim bn = + a−3  nên suy lim un = −1 Vậy a  1; a  −1  lim un = −1 Kết a +1 hợp trường hợp xét ta suy a   lim un = −1 2/ lim bn = a−3  nên suy lim un = Vậy a   lim un = a +1 3/ Nếu a−3 = không tồn a a +1 4/ Nếu a−3 = −1  a =  un = 1; n hay suy lim un = a +1 Bài 2: Cho dāy số ( un ) thỏa u1 = 1; u2 = 4; un + = 78 | N ă m h ọ c 2 - 2 ( ) 2(n + 2)  un +1 − n3 + 4n + 5n + un n+3 ,n ,n 1 GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh n Chứng minh rằng: [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ]  ( i + 11) u i =1 i  ; n = 1; 2; Lời giải: Từ giả thiết ta có: (n + 3)un+2 = 2(n + 2)2 un+1 − (n + 2)(n + 1)2 un (1) Đặt un = n !.vn ; v2 = 2; v1 = (1) suy (n + 3)vn+ = 2(n + 2)vn+1 − (n + 1)vn viết thành ( n + 3) v n+ − ( n + 2) vn+1 = ( n + 2) vn+1 − ( n + 1) ; n = 1; 2; 3; Vậy làm tương tự cho ta: ( n + 3) vn+2 − ( n + 2) vn+1 = 3v2 − 2v1 = 4; n = 1; 2; 3; tiếp tục suy ( n + 1) − 2v1 = ( n − 1)  = ( 2n − 1) 4n −  un = n ! n+1 n+1 n i+1 n 1 n  1    =  = − Lại có:     i=1 i ! ( i + ) i=1  ( i + 1) ! ( i + ) !  i =1 ( i + 11) ui i =1 ( i + 11)( 2i − ) i !   n Ta có: i+1   2i2 + 6i +  2i2 + 21i − 11  15  15i (đúng) ( i + 11)( 2i − 1) ( i + 2) Bài 3: Cho dãy số ( xn ) thỏa x0 = 2; x1 = 3; x2 = 7; x3 = 18; xn+ n xn2+ + 45 = Tính lim  xn i = xi xi + Lời giải: Nhận xét: dãy ( xn ) với cách xác định Lại ý tính thêm vài giá trị x3 = 18; x4 = 47 nên ta dự đoán xn+ = xn+1 − xn hay chứng minh xn = a n + bn với a, b nghiệm phương trình x2 − 3x + = Mệnh đề cho với n = 0;1; 2; giả sử mệnh đề với giá trị n = 0;1; 2; ; k + ta chứng minh mệnh đề n = k + Xét (a k+ + bk+2 ) a +b k k + 45 ( )( ) a k + bk a k+4 + bk+4 a2 k+4 + b2 k+4 + 47 = = = a k+4 + bk+4 k k k k a +b a +b Điều suy xk+ = a k+ + bk+ nên mệnh đề n = k + hay ta có xn = a n + bn Lại ý rằng: từ giả thiết ta có 1  xn+ xn+  = −   xn xn+ 45  xn+ xn  79 | N ă m h ọ c 2 - 2 [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh nên x x x  1  xn+ xn+ xn+ xn+1 xn+ = lim − + − + − n + + −   45  xn+ xn xn+1 xn−1 xn xn−1 x2 x0  i = xi xi +  xn+ xn+ x3 x2   7 = lim + − −  =   2a − −  45  xn+ xn+1 x1 x0  45  2 n lim  an −1 với n  Tính lim 2n an n → an Bài 4: Cho a0 = 0, a1 = , and an +1 = − Lời giải: Mathematical Reflection 2014 U297 Ta chứng minh quy nạp: an = 2sin   2n = 2sin = = a0 ; 2sin  = 2sin  = 1 = = a1 2 Giả sử mệnh đề n = k − 1; n = k ta chứng minh mệnh đề n = k + Chú ý: 2sin Ta có: ak +1 = −  2sin ak −1 2k −1 = − cos  = 4sin  = 2sin  = 2−  ak 2k 2k +1 2k +1 2sin k Hay mệnh đề n = k + suy điều cần chứng minh Cuối ta có   sin n   lim 2n an = lim 2n +1 sin n = lim  2  n → n → n →   2n  un2 + − Bài 5: Cho dãy số u1 = ;u = n+1 un    = 2   ; n = 1; 2; Chứng minh 1 + + +  2n+1 − 2; n = 1; 2; u1 u2 un Lời giải: HSG Hà Nội 2019 Đặt u1 = tan  3.2 ta chứng minh quy nạp un = tan  3.2n ; n = 1; 2;   Mặt khác, lại có đánh giá tan x  x; x   0;  nên  2 1 + + +  u1 u2 un tan  3.2 + tan  3.22 80 | N ă m h ọ c 2 - 2 + + tan  3.2n  3.2  + + 3.2n  = (2  n+1 ) −  2n+1 − GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [TÀI LIỆU ƠN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] Từ suy điều cần chứng minh Bài 6: Cho trước số x, y, z khác thỏa xy + yz + xz = đồng thời x + y + z  Xét dãy ( an ) ; ( bn ) ; ( cn )  an+1 = xan + ybn + zcn  thỏa bn+1 = zan + xbn + ycn Tính lim an  c = ya + zb + xa n n n  n+1 ( Lời giải: Ta xét an2+1 + bn2+1 + cn2+1 = x2 + y2 + z2 ( tắc để suy an2 + bn2 + cn2 = x2 + y2 + z2 ) (a n−1 )( a n ) + bn2 + cn2 áp dụng liên tiếp quy + b1 + c1 ) ( ) Lại có:  x2 + y2 + z2 = ( x + y + z )  nên suy lim an2 + bn2 + cn2 =  lim an = (Theo định lý kẹp) 1 1  Bài 7: Cho dãy số dương ( an ) thỏa lim  + + +  = + Đặt a a a n   xn = (a a1 a2 an + 1)( a3 + 1) ( an+1 + 1) , chứng minh dãy ( Sn ) xác định Sn = x1 + x2 + + xn hội tụ tính giới hạn Lời giải: Từ cách đặt cho ta xn +1 a = n +1  xn +1 = an +1 xn − an + xn +1 , n = 1, 2, xn an + + Lấy tổng hay vế từ đến n − , ta ( S n − x1 ) = a2 x1 − an +1 xn Mặt khác lại xét đánh giá:  an +1 xn = a1 a2 an an +1 a1 = ( a2 + 1)( a3 + 1) ( an+1 + 1) 1 +  1 +      a2  a3    1 +   an +1   a1 n +1 a k =2 Ta suy lim an +1 An = Vì vậy, ta lim Sn = a2 x1 + x1 = a1  lim S n = a1 n → 81 | N ă m h ọ c 2 - 2 n → n → k GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] Bài 8: Dãy số ( xn ) xác định x1 = a; xn+1    x + = 1+ − ; n = 1; 2; 3; n 2  n + ( n + 1)  n + ( )   Tìm a để dãy cho có giới hạn hữu hạn Lời giải: Công thức truy hồi viết lại (n + 1) xn +1 nxn = + (n + 2)(n + 3) (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3) Do nxn x = + + (n + 1)(n + 2) 2.3 2.3.4 = =   1 + 4 − +  2.3 3.4 + + n(n + 1)(n + 2)  1 −  n(n + 1) (n + 1)(n + 2)   1   + 4 − = + −  (n + 1)(n + 2)  (n + 1)(n + 2)  2 (n + 1)(n + 2)  +  −  3 Từ suy xn = n Nếu  +   2  lim xn = + +  lim xn = − +  6 3 Như để dãy số ( xn ) có giới hạn hữu hạn, buộc xn =  + = hay  = −4 Khi  = −4 −4 →0 n Vậy để dãy số cho có giới hạn hữu hạn  = −4 Bài 9: n n  1  Cho k số nguyên dương, đặt an =  k + k + +    , n      ( n Xét dãy ( sn ) thỏa mãn: sn =  i =1 , n  −1ai +1 82 | N ă m h ọ c 2 - 2 ) GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [TÀI LIỆU ƠN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] Chứng minh dãy ( sn ) hội tụ tìm lim sn Lời giải: Xét dãy ( bn ) xác định bởi: b0 = 2, b1 = 2k bn+1 = 2kbn + bn−1 , n  ) ( ( n ) n Khi bn = k + k + + k − k + , n  ( ) n 1 Vì bn  k + k + +    bn + bn  , n  2 n n n  1  nên an =  k + k + +    = bn , n      ( ) Khi với n  1, ta có: n sn =  i =1 n 1 n bi +1 − bi −1 n  1   1  = = = − −  =     −1ai +1 i =1 bi −1bi +1 2k i =1 bi −1bi bi +1 2k i =1  bi −1bi bibi +1  2k  b0b1 bnbn +1  Từ suy lim sn = 8k u1 =  Bài 10: Cho dãy số   Đặt = ( n + 1)( 3n + ) un un −1 Tìm u1 + 2u2 + + (n − 1)un −1 ,n 1 un = n(n − 1)  lim ( v1 + v2 + + ) Lời giải: Với n  , ta có u1 + 2u2 + + (n − 1)un−1 + nun = n(n2 − 1)un + nun = n3un u1 + 2u2 + + (n − 2)un−2 + (n − 1)un−1 = (n − 1)3 un−1 un (n − 1)3  n −   n  = = Suy n un = nun + (n − 1) un −1     (*) un −1 n3 − n  n   n +  3 Từ (*) cho n = 3, 4, 5, 2 un un un −1 u3  n −   n −      n n −  12 = =   =        u2 un −1 un −2 u2  n   n −      n + n  n (n + 1) 83 | N ă m h ọ c 2 - 2 [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh  3n + 1 Suy un = = =  − 2  n n + n (n + 1) n2 n + n + n+1 n+  ( ) ( ) ( ) ( ) (   và khi đó  )    1    lim ( v + v + + v ) = v1 + v2 + + = − n  ( n + 1) ( n + 2)   Bài 11: Cho dãy số ( an ) thỏa a1 = n2 ; an+1 = an2 + an − ( na − 2) ; n = 1; 2; ( n + 1)( n + 2) ( n + 1)( n + 2) n ( ) Chứng minh a1 + a2 + + an  Hn − ; n = 1; 2; Trong đó,  Hn = + + + n Lời giải: Đặt bn = nan thì dãy đã cho trở thành an2 + ( n − 1) an + 2 b1 = ; bn+1 = ; n = 1; 2; n+2 Khi đó, xét  bn+1 − = ( bn − 1) Từ đây:  bn+1 − = bn − cho ta bn+1 −  bn + n b1  nên quy nạp ta suy bn  1; n n+2 bn + n n +  b − ; n = 1; 2; 3; Áp dụng liên tiếp đánh giá n+2 n+2 n 2 bn − = ; n = 1; 2; 3; Và điều suy bn+1  − n+2 n+2 n+2 với giá trị n Suy an  a1 + a2 + a3 + + an  +    , n = 1; 2; 3; Và từ suy −  n  n ( n + 1)    1 2  + + −  −   Hn − n 3 n + 1 Bài 12: Cho dãy số an  xác định  a =  a2 =  2a  an +1 = n + 1 +  an −1 , n = 2,3, 4, n  n −1   84 | N ă m h ọ c 2 - 2 GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ]   1  Tính lim  + + +  3a1 a2  n + a ( ) n   Lời giải: Ta viết lại an +1 = 2an  a  a a    an an −1  a + 1 + + an −1 =  n + n −1  +  n −2 + n −3  + an − =  an −1 =  +  n  n −1   n n −1   n n −1   n − n −  Vậy suy ra:  2n a   2n a  a2n+1 =   i  + a1 =   i  + 1;  i=1 i   i=1 i   2n−1 a   n−1 a   n−1 a  a2n =   i  + a2 =   i  + a2 − 2a1 =   i  +  i=2 i   i=1 i   i=1 i  1  n a  a  2a n+2 Vậy: an+1 =   i  + suy an+1 =  ( an − 1) + n  + = an + n = an Áp n i n n i =     dụng liên tiếp công thức ta suy an+1 = 1 n + 1)( n + )  an = n ( n + 1) ( 2 Vậy  a an  a 1 1   lim  + + + = lim + +   n + 2  1.2.3 n n + n + ( )( )     11 = = lim  −  ( n + 1)( n + 2)    Bài 13: Cho dãy ( an ) xác định a1 = 1; a2 = 2; an+1 = + a1a2 an−1 + ( a1a2 an−1 ) , n  Tìm số thực M nhỏ cho m i =1 i a  M , m  * Lời giải: Ta viết lại giả thiết an+1 = + a1 a2 an−1 + ( a1 a2 an−1 ) = + (1 + a1a2 an−1 ) a1a2 an−1 Ta tính thêm: a3 = 3; a4 = … Khi đó, ta chứng minh quy nạp a1 a2 an−1 + = an ; n  n = 2; mệnh đề Giả sử mệnh đề đến n ta chứng minh mệnh với n + 85 | N ă m h ọ c 2 - 2 GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [TÀI LIỆU ƠN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] Ta có: an+1 = + (1 + a1 a2 an−1 ) a1 a2 an−1 = + an a1 a2 an−1 = + a1 a2 an hay mệnh đề với n + suy mệnh đề với n suy an  1; n = 2; 3; Từ suy ra: an+1 = an2 − an + 1; n = 2; 3; 4; (1) có biến đổi an+1 − = an ( an − 1)  suy m i =1 i a =1+ 1 = − ; n = 2; 3; 4; an an − an+1 − 1 1 − = 2−  M; m  a2 − am+1 − am+1 − * (2) Mặt khác, ta có dãy ( an ) tăng nên giả sử dãy bị chặn tồn lim an = L  an   Nhưng  mặt khác lấy lim hai vế (1) lại có L = suy vô lý hay lim an = + Khi đó, từ (2) lấy lim hai vế cho ta  M Và M = bất đẳng thức đúng nên M = 2 là giá trị nhỏ cần tìm ( ) Bài 14: Cho dãy ( an ) thỏa an+1 + an an2−1 = an2 + an − , n = 2; 3; 4; Đặt  un un−1 u2  un = ( an + an−1 )( an−1 + an−2 ) ( a2 + a1 ) , tính lim   a a + a a + + a a  n n−1   n+1 n Lời giải: ( ) ( ) Từ giả thiết ta suy ra: an+1 + − an2 = an an + − an2−1 = an an−1 an−1 + − an2−2 = = (vì a2 + − a12 = ) . Và điều suy ra: an+1 = an2 − 2; n = 1; 2; 3; 4; Khi đó, ta chứng minh quy nạp được an  , điều suy ( an ) là dãy tăng và suy ra  lim an = + Lại biến đổi: an+1 − an = ( an − a n−1 )( an + an−1 ) ; n = 2; 3; nhân vế theo vế ta suy un =  un un−1 u2  1 1  an+1 − an ) và do đó:  lim  + + + = lim − = (     a a a3 a2   a2 an+1  49  n+1 n an an−1 ( ) Bài 15: Cho dãy số ( un ) thỏa u1 = 1; u2 = 42; un+2 = 3un + un2+1 + un2 , n = 1; 2; Tính lim u1 + u3 + u5 + + u2 n+1 u2 + u4 + + u2 n Lời giải: 86 | N ă m h ọ c 2 - 2 GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] Từ giả thiết ta có: un2+ − 6un+ un + un2 = 8un2+1 và tương tự cũng có  un2+1 − 6un+1 un−1 + un2−2 = 8un2−1 2 Trừ vế theo vế ta có ( un+2 − 3un ) = ( 3un+1 − un−1 ) , n = 2; 3; Từ giả thiết ta có: un+ − 3un   3un+1 − un−1  nên suy un+ = 3un+1 + 3un − un−1 , n = 2; 3; Phương trình đặc trưng là  x3 − 3x2 − 3x + = có nghiệm −1; x1 = + 3; x2 = − suy ( ) công thức tổng quát dãy là: un = a −1 n 2( n+1) x1 u1 + u3 + u5 + + u2n+1 = −7 ( n + 1) + b.x1 u2 + u4 + u6 + + u2 n = 7n + b.x12 lim Chú ý: lim x12n − x12 − ( +b 2+ −1 x −1 + c.x22 u1 + u3 + u5 + + u2 n+1 = lim u2 + u4 + + u2 n ) ( n + c 2− 2( n+1) x2 + c.x2 x22n − x22 − ) n suy −1 x −1 2 Từ đây suy ra  −7 ( n + 1) + b.x1 7n + b.x 2( n+1) x1 −1 x −1 2n x −1 x −1 + c.x2 + c.x 2 2n 2 x 2( n+1) x2 −1 x −1 2 −1 = x1 x −1 n+1 n = lim n+ = n+ x1 x1 Bài 16: Cho dãy ( xn ) thỏa x1 = 2; x2 = 4; xn+1 = xn−1 xn2 xn + xn2−1 − xn−1 ; n = 2; 3; Tính       lim  ( xn − 1)  − − −       xn−1   xn−2   x1     Lời giải: Ta biến đổi giả thiết: xn+1 = xn−1 xn2 xn + xn2−1 − xn−1 ( n−1  xn+1 xn + x 87 | N ă m h ọ c 2 - 2 ) = x (x n−1 n+1 n +x ) xn + xn2−1 xn+1 + xn2  = xn−1 xn xn+1 xn GVBS: Nguyễn Hồng Vinh [TÀI LIỆU ƠN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] Khi đó, từ đẳng thức cuối suy ra: xn + xn2−1 xn+1 + xn2 xn2 x + x12 = = = =  xn+1 = = xn + + từ quy nạp ta xn−1 xn xn+1 xn x2 x1 xn − xn − có xn  1; n suy ( xn ) dãy tăng, suy lim xn = + Lại có:  xn x 1   1 =1− , n = 1; 2;  =  −   −  xn+1 xn xn+1  xn   x1  Hay ta có:   x1 xn     lim  ( xn − 1)  − − − = lim =2            x x x x n − n −   n +       Bài 17: Dãy ( xn ) thỏa xn =  n = 0; xn+1 = x2n+3  + ( −1) x2n  n  Tính n       2   −1 n   −1 n−1   −1  ( ) ( ) ( )       lim +1 + + 1    x2   x2   x2   n n−1        Lời giải: Thay n = n = ta có x1 = x12 x2 = x22 , x1 = x2 = Từ điều kiện suy x2n+1 = xn2+1 + xn2 and x2n = xn2+1 − xn2−1 Trừ theo vế ta có: x2n+1 − x2n = xn2 + xn2−1 = x2n−1 Ta chứng minh quy nạp: x2 n = x2 n−1 + x2 n−2 , n  (1) Thật vậy, x2 = x1 + x0 giả sử (1) đến n Thì (*) x2 n + − x2 n = xn2+ − xn2 − xn2+1 + xn2−1 = ( xn +1 + xn ) − xn2 − xn2+1 + ( xn +1 − xn ) = xn2+1 + xn2 = x2 n +1 2 Vậy từ điều ta suy ra: x0 = 0; x1 = 1; xn+ = xn+1 + xn công thức tổng quát n 1 +  1 −  xn = a   + b           n 88 | N ă m h ọ c 2 - 2 GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh Biến đổi: [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] n +1 xn+ − xn x − xn−1 = = n+1  xn+ xn − xn2+1 = ( −1) xn+1 xn−1 − xn2 = = ( −1) xn+1 xn điều suy ( xn+ xn xn2+1 ( −1) = ) n +1 xn+1 + ta có   −1 n   −1 n−1   −1  ( ) ( ) ( ) x x x x xx 1+       lim +1 + +   = lim n+1 n−1 n n−2 = 2   x2    x   x   xn xn−1 x2 n n−1      Bài 18: Cho dãy ( an ) n  thỏa a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3 = an+ = 2an+3 + an+ − 2an+1 − an , n  Chứng minh an chia hết cho n với n  * Lời giải: Cách 1: Phương trình đặc trưng: x4 − 2x3 − x2 + 2x + = có nghiệm a = 1+ 1− ;b = 2 (mỗi nghiệm bội 2) n n 1 +  1 −  Suy công thức tổng quát: an = ( A1n + B1 )   + ( A2n + B2 )   Lập hệ giải         n n  1 −    +  công thức tổng quát suy an = n   −               Cách 2: Ta tính vài số a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 6, a4 = 12, a5 = 25; a6 = 48 xét a a a a1 a a = 1; = 1; = 2; = 3; = 5; = Từ đây, ta chứng minh quy nạp an = Fn , n = 1; 2; n Giả sử mệnh đề cho đến n + ; ta chứng minh mệnh đề với n + 89 | N ă m h ọ c 2 - 2 GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] an+ = 2(n + 3) Fn+ + (n + 2) Fn+ − 2(n + 1) Fn+1 − nFn = 2(n + 3) Fn+ + (n + 2) Fn+ − 2(n + 1) Fn+1 − n ( Fn+ − Fn+1 ) = 2(n + 3) Fn+ + F2 n+ − (n + 2) Fn+1 = 2(n + 3) Fn+ + F2 n+ − (n + 2) ( Fn+ − Fn+ ) = (n + 4) ( Fn+ + Fn+ ) = (n + 4) Fn+ n n  1 −    +  Nếu làm cách cần chứng minh   −         2       Nếu làm cách hiển nhiên Bài 19: Dãy số ( an ) xác định a1 = 1, an =  2an−1 + an −2 +   1 Tính lim  + + +  a a a a a a n n+1   Lời giải: 90 | N ă m h ọ c 2 - 2 + a1  ; n  GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] 91 | N ă m h ọ c 2 - 2 ... Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] 46 | N ă m h ọ c 2 - 2 GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] ÔN TẬP DÃY SỐ DỰ TUYỂN LẦN – Ngày 26/7/2021 Bài 1: Cho dãy số (... Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ ÔN DỰ TUYỂN 2020 – 2021 LẦN Nội dung: Các toán giới hạn đánh giá dãy số Bài 1: Cho trước số nguyên dương m > dãy số ( a n ) có... Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] CHỦ ĐỀ DÃY SỐ 2021 – 2022 ÔN TẬP DÃY SỐ LẦN Bài 1: Dãy ( an ) định nghĩa sau: Nếu p1 , p2 ,, pk ước nguyên tố khác số nguyên dương n an