bai giang phuong phap so thuc hanh c5

Hãy giải bài toán trên bằng phương pháp số sử dụng phương pháp Euler và phương pháp Runge Kutta RK4.. Chử Văn Tiệp SPĐN.[r]

Chương 5: Giải số phương trình vi phân

Phương pháp Euler

Xét bài toán giá trị ban đầu

y0 = f (x , y ), y (x0) = y0.Tính y (x1)?

Khai triển Taylor y (x1) tại điểm x0 ta có

Phương pháp chuỗi Taylor

Với xi +1 = xi + h ta có khai triển Taylor:

pk(xi, yi) = f (xi, yi) + 1

2!hf (xi, yi) + · · · +

1(k − 1)!h

(k−1)f(k−1)(xi, yi)

Ví dụ

Sử dụng chuỗi Taylor đến cấp 5, tính giá trị xấp xỉ cho y (1) với y là

nghiệm của phương trình vi phân sau

Ví dụ

Xét bài toán

2y0+ y = e−x, y (0) = 1/2, 0 ≤ x ≤ 1

Phương pháp Euler cải tiến

Ví dụ

Áp dụng phương pháp RK cho phương trình

y0= x + y , y (0) = 1

Hãy tính y (1)

Nghiệm chính xác của phương trình trên là y (t) = t2+ 2t + 1 − 0.5et

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.5

1 1.5 2 2.5

Ví dụ

Bài toán

y0 = 5 sin(4t)

1 + 2t + y2, y (0) = 0không thể giải bằng phương pháp giải tích Hãy giải bài toán trên bằngphương pháp số sử dụng phương pháp Euler và phương pháp Runge Kutta(RK4)

Ví dụ

Xét phương trình vi phân cấp 3 sau:

3y000− y00− 5y0− 3y = e−x/2, y (0) = 0, y0(0) = −1, y00(0) = 1.Hãy đưa phương trình trên về hệ phương trình vi phân cấp 1



Phương pháp Euler giải hệ phương trình

u0= f(x , u), u(x0) = u0, a = x0 ≤ x ≤ xn = b

Chia khoảng [a, b] thành các khoảng nhỏ có độ dài h sao cho

x1= x0+ h, x2= x0+ 2h, , xn= x0+ nh

Phương pháp Euler giải hệ phương trình có dạng



Nhận xét y (0.2) chính là thành phần đầu tiên của nghiệm vector u(0.2)của hệ trên

u(0.2) = u1 = u0+ hf(x0, u0)trong đó





Vậy

y (0.1) = −0.0952

Phương pháp chuỗi Taylor

Phương pháp Runge-Kutta cho hệ phương trình vi phân



Đầu tiên ta cần tính:

u1= u0+1

6h(k1+ 2k2+ 2k3+ k4)trong đó

−1





= f

0.05, u0+hk1

−0.9916





= f

0.05, u0+hk2

−0.9931







y (0.1) = −0.0952