Luận văn thạc sĩ xây dựng và phân loại một số lớp đồ thị có cấu trúc đặc biệt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ THỊ THU HƯỜNG XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LÊ THỊ THU HƯỜNG XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ ANH VINH Hà Nội – 2014 LèI CAM ƠN Nhân d%p này, em xin chân thành cam ơn thay Lê Anh Vinh, ngưịi trnc tiep hưóng dan t¾n tình chi bao em suot q trình thnc hi¾n lu¾n văn Đong thịi, em xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the thay giáo, giáo khoa Tốn - Cơ - Tin HQ c, trưòng Đai HQ c Khoa HQc Tn Nhiên - Đai HQc Quoc Gia Hà N®i, day bao em t¾n tình suot q trình HQ c t¾p tai khoa Hà N®i, ngày 30 tháng 10 năm 2014 HQc viên Lê Th% Thu Hưàng Mnc lnc Ma đau Chương Đo th% n-e.c 1.1 Khái ni¾m ve đo th% n-e.c 1.2 M®t so tính chat ban cna đo th% n-e.c 1.3 Các đo th% Paley bien the .13 Chương Xây dEng phân loai m®t so đo th% n-e.c 18 2.1 Đo th% n-e.c 18 2.2 Đo th% 2-e.c 23 2.3 Đo th% 3-e.c 25 2.4 Các đo th% n-e.c vói n ≥ 28 Chương Xây dEng đo th% ngau nhiên quy manh 31 3.1 Xây dnng 32 3.2 Xây dnng 34 Tài li¾u tham khao 42 Ma đau Lý thuyet đo th% m®t ngành khoa HQc nghiên cúu ve tính chat cna đo th%, chiem v% trí quan TRQNG ve ca lý thuyet lan úng dung M®t cách khơng thỳc, o th% l mđt cỏc oi tong oc GQI đinh đưoc noi vói bang canh Canh có the có hưóng ho¾c vơ hưóng Đo th% thũng oc ve dúi dang mđt cỏc iem điem noi vói bang đoan thang(các canh) Lu¾n văn đe c¾p tói vi¾c xây dnng phân loai m®t so lóp đo th% có cau trúc đ¾c bi¾t Cu the o đo th% có tính chat n-e.c Tính chat đưoc phát hi¾n nghiên cúu boi hai nhà khoa HQc Erd˝os Re’nyi [16] ngày nh¾n đưoc sn quan tâm ý cna nhà nghiên cúu o cỏc lnh vnc khỏc Nđi dung chớnh cna luắn văn t¾p trung làm rõ tính chat cna đo th% n-e.c, sau xây dnng phân loai đo th% n-e.c, cuoi nêu m®t so cách xây dnng cu the cho đo th% n-e.c Lu¾n bao gom ba chng Ô Chng : Giúi thi¾u ve đo th% n-e.c, tính chat cna đo th% ne.c m®t vài dang đo th% n-e.c biet Ô Chng : Xõy dnng cỏc o th% n-e.c tőng qt vói đieu ki¾n nhat đ%nh sau cu the cho lóp đo th% 2-e.c, 3-e.c v cỏc o th% n-e.c vúi n Ô Chương : Nêu hai cách xây dnng đo th% ngau nhiên quy manh, sau chúng minh đo th% sinh thoa mãn tính chat ke n-e.c M¾c dù rat co gang thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu nên lu¾n văn khơng tránh khoi nhung han che sai sót trình bày Em rat mong nh¾n đưoc sn góp ý nhung ý kien xây dnng cna thay cô ban ĐQc Em xin chân thành cam ơn! Chương Đo th% n-e.c 1.1 Khái ni¾m ve đo th% n-e.c Trưóc vào khái ni¾m đo th% n − e.c, se nhac lai m®t vài kien thúc ban cna đo th% Vói ký hi¾u đo th% G = (V, E), V (hay V (G)) t¾p đinh cna đo th% G E (hay E(G)) t¾p canh cna đo th% T¾p đinh phai khác rong, cịn t¾p canh có the t¾p rong So đinh cna đo th% đo th% GQI GQI cap cna đo th% ký hi¾u |V | So canh cna cõ cna đo th% ký hi¾u |E| Vói x, y ∈ V , ta có {x, y} ∈ E hay xy canh neu x đưoc noi vói y ta nói rang x ke vói y Đo th% GJ đo th% cna đo th% G neu: V (GJ ) ⊆ V (G) {x, y} ∈ E(GJ ) chi {x, y} ∈ E(G) M®t đo th% ngau nhiờn oc tao boi mđt n inh cho trưóc thêm dan canh m®t cách ngau nhiên Trong nghiên cúu ve đo th% ngau nhiên, Erd˝os Re’nyi [16] phát hi¾n tính chat ke nghiên cúu ve Tính chat ke tính chat tőng qt cna m®t đo th% đưoc phỏt bieu cho MQI S cỏc inh cna mđt loai đo th% co đ%nh đó, có m®t đinh oc noi vo mđt inh S no ú theo m®t cách nhat đ%nh Tính chat ke mà đưoc GQI n-e.c nh¾n đưoc rat nhieu sn quan tâm ý cna nhieu nhà nghiên cúu o lĩnh vnc khác lý thuyet đo th%, logic xác suat hình HQ c HQc, Đ%nh nghĩa 1.1.1 M®t đo th% n-e.c neu vái MQI c¾p t¾p U, W cua t¾p đsnh V cho U ∩ W = ∅ |U | + |W | = n (mđt hai U hoắc W cú the l rng), thỡ cú mđt snh v V − (U ∪ W ) cho v ke vái tat ca đsnh cua U không ke vái đsnh cua W Ví du 1: Đo th% 1-e.c l mđt o th% khụng cú inh cụ lắp (tỳc đinh khơng ke vói bat cú đinh nào) khơng có đinh phő qt (túc đinh đưoc noi vói tat ca đinh cịn lai) (xem Hình 1.1) Ví du 2: M®t đo th% 2-e.c neu vói moi c¾p đinh riêng bi¾t u w, có đinh khác vói u w noi vói chúng theo tat ca nhung cách có the (xem Hình 1.2) Đ%nh nghĩa tính chat ke n-e.c rõ ràng tù đ%nh nghĩa lai không de đe chi đo th% ton tai tính chat Tuy nhiên, theo chúng minh đau so nguyên m, [16], không gian xác suat G(m, )xỏc bao gom mđt th% Vúi vúi tiên hau het tat ca đo th% han eu lo n-e.c mđt đc lắp vúi suat %nh Co cho đ%nh nguyên > huu 1.đưoc Vái xác suat khim®t m→ đinh{0, m − ([3]) 1} haisođinh riêngn bi¾t noi vói ∞, cách lý ,1.1.1 G(m, 12) thóa mãn tính chat n-e.c Chúng minh Co %nh mđt S chỳa inh %nh hai A B rịit¾p cna Sn phan vói A tu ∪ B = S Cho z V , co ∈/ S, xác suat đe z chi ke vúi mđt hai A v B l (12)n Như v¾y xác suat đe z khơng thoa mãn tớnh chat chi ke vúi mđt hai A B 1 − ( ) n Do đó, xác suat đe đinh thu®c G − (A∪ B) khơng thoa mãn tính chat chi ke vói mđt hai A v B l (1 n ( ) m−n ) S 2n cách cHQN cna A B S nên xác suat Do có mΣ cách cHQN n đe G(m, 1) không n-e.c n )m−n − m→∞ ( ) −→ Σ.2 (1 − n m n Đ%nh lý 1.1.1 cho thay rang có nhieu ví du ve đo th% n-e.c Ta có the de dàng tőng quát hóa bang cách thay 21 bang m®t so thnc p ∈ (0, 1) co đ%nh Đieu cho thay đo th% n-e.c phő bien Nhưng thnc te cho đen nhung năm gan chi có nhat m®t HQ đo th% n-e.c đưoc biet đen, đo th% Paley Neu m®t đo th% n-e.c vói ∀n đo th% đưoc GQI e.c (chú ý rang bat kỳ đo th% e.c vô han) Bat cú hai đo th% e.c đem đưoc cau vói nhau, dang cau có tên đo th% ngau nhiên vơ han ho¾c đo th% Rado đưoc viet R Đo th% R tro thành tiêu điem cna nhieu hoat đ®ng nghiên cúu gan M®t ví du đáng ý ve R, neu m®t đo th% huu han G n-e.c có the đưoc xem phiên ban huu han cna R Do đó, tính chat n-e.c m®t đ® đo tat đ%nh cna tính ngau nhiên đo th% Hai khái ni¾m khác cna tính ngau nhiên đo th% đưoc a v nghiờn cỳu mđt cỏch ton diắn l tính ngau nhiên chuan [12] tính tna ngau nhiên [6] (nhưng se khơng thao lu¾n o đây) Nhieu đo th% so đo th% o lu¾n văn thoa mãn tính chat này, ví du đo th % Paley Tuy nhiên, tính chat ngau nhiên khơng nhat thiet bieu th% tính n-e.c Ví du đưoc cho [14] ngau nhiên chuan khơng phai 4-e.c 1.2 M®t so tính chat ban cua đo th% n-e.c Đau tiên ta nhac lai mđt so khỏi niắm o th% nh sau %nh nghĩa 1.2.1 Phan bù cua đo th% G ký hi¾u G¯ Đó m®t đo th % vái t¾p đsnh t¾p đsnh cua đo th% G đong thài neu đsnh ke G so p = q, n = 2, r = q+1 ,s= q+1 Trong ví du vói q = có + − + − + − − + Σ D3 = + + − − Nh¾n xét: Xuat phát tù vi¾c đánh dau lóp song song bưóc hai, tương đương vói vi¾c hốn v% ngau nhiên hàng cna ma tr¾n Dq vói ma tr¾n liên thu®c cna moi Si , i = 1, , q + Chính xác hơn, neu ma tr¾n liên thuđc cna mđt cau trỳc Si oc ký hiắu l Mi , hàng thú j cna Mi hàng thú πi (j) cna Dq vói hốn v% πi Tőng so cách cHQN πi (q!)q+1 Đoi vói vi¾c cHQN hàm σi,j , có q+1 2Σ hàm đưoc cHQN kha ( ) cho moi hàm (vì n = 2) Do có tat ca q+1 kha cna σ i, j Như v¾y ( ) tù Xây dnng sinh ngau nhiên (q!)q+1.2 q+1 đo th% 3.2 Xây dEng Gia su q so nguyên to thoa mãn q ≡ (mod 4) CHQN hoán v% πi , ≤ i ≤ q + đ®c l¾p xuat phát tù t¾p tat ca hốn v% tác đ®ng {1, 2, , q} Cho , , Sq+1cna trúc affine cho thú cáci t¾p Vq+1 1, ,thú cácS1ban {1,cau 2, , q+ 1} hàng cna điem Mi V hàng πi(j) cna Dq Đ¾t Si = (Vi, Li) I = {1, , p + 1} Vói MQI i, ký hi¾u lóp song song cna Si tương úng vói hàng thú j cna Mi Lij, j ∈ I − {i} Vói v ∈ Vi, kí hi¾u lij(v) đưịng lóp song song q+ Lij chúa v Moi đưịng m®t lóp song song gom song song gom đưịng điem moi lóp Vói tù moi cắp i, j, i = j, cHQN mđt song ánh tùy ý σi,j : Lij → Lji tùy ý kha cho j,σ−1 = σi,j i S Xõy dnng mđt o th% G G ((S ( đinh X = Vlài = ω 1∈ i),(l i,j)) trờn Cỏc V l hon ton đc lắp Hai đinh ∈ V ω ∈ Vđương i ƒ= i∈Ijvói i i j ,−1 ke G neu chi neu σ (v)) (ho¾c, tương −1 i,j ij σXây i,j (lij (v)) = 1lij(ω)) dnng cho đo th% SRG((q + 1)2, q(q+1), q2 , q2 ) 4 Bo đe 3.2.1 ([17]) Xây dnng cho nhat 2(q+1)(1−s(q)) đo th% khơng cau ( ) q+1 vói Chúng minh Nh¾n o Xây dnng có socau đo sinh rath% tùcu Xây 2lu¾n 2như Đexét ch¾n so đo ˜ , chúng 2q+1 th% đo thednng GL¾p ta xét (q!) cách c.HQN đinh sau:th%1Gtađang (I) CHQN q + đinh G tương úng vói V1 G˜ Đieu có the thnc hi¾n đưoc trong nhieu nhat (q +1)2(q+1) cách Các đinh G tương úng vói lópđưịng song thú πsong i (1) cna Vi xác đ%nh.G˜ đưoc Đ¾c bi¾t t¾p đinh tương úng vói moi Vi xác đ%nh (II) CHQN m®t cách tương úng đinh G vói đinh Vi, ≤ i ≤ q + Đieu có the thnc hi¾n đưoc ((q + 1)!)q cách (xác đ%nh tat ca πi tat ca σi,j) So lóp cau nhat q+1 2( ) (q!)q+1 q+1 = 2( )(1−s(q)) (q + 1)2(q+1)((q + 1)!)q Trong đó, s(q) = O(q−1 log q) (2 ) V¾y có nhat q+1 (1−s(q)) đo th% không cau đưoc xõy dnng tự Xõy dnng Co %nh mđt cắp t¾p đinh U, W rịi đo th% o Xây dnng cho |U | + |W | = n Kí hi¾u Ui = Vi ∩ U Wi = Vi ∩ W Đ%nh nghĩa Gi = Gi(U, W ) tat ca lóp song song cau trúc Dq (khơng giao hốn) vói tat ca Ui nam m®t khoi tat ca Wi nam m®t khoi khác Các lóp song song Gi tách riêng Ui Wi Đ%nh nghĩa Γ(U, W ) sau Γ(U, W ) = {i ∈ [1, q + 1] : Ui = Wi = ∅} Neu i ∈ Γ(U, W ), Gi = {1, 2, , q} Đ%nh nghĩa ni = |Ui| + |Wi| vói i ∈ [1, q + 1] Bo đe 3.2.2 ([17]) Vái mői i ∈ [1, q + 1], |Gi| ≥ 2−niq − niq − ni Chúng minh Ket qua cna bő đe hồn tồn vói i ∈ Γ(U, W ) Chú ý rang vói i ∈/ Γ(U, W ), ta có  |Gi| =  υ(Ui, Wi) + υ(Wi, Ui) neu 1∈/ Ui Wi; − { 1} , W ) neu ∈ 1i U ;  υ(U i i) υ(Wi − {1}, U neu ∈iWi, υ(U, W ) đưoc đ%nh nghĩa o Muc 3.1 Neu ∈/ Ui ∪ Wi , theo Đ%nh lý 3.1.2 có: |υ(U , W ) − 2−niq| ≤ i i (n − + 2−ni+1)q1/2 + Tù ta có i ni ni υ(U , iW ) i≥ 2−niq − 2(n i− − 2−ni+1)q1/2 −2 Do ni − − 2−ni+1 ≤ ni nên ta có ni υ(U , W ) ≥ 2−niq − n q 21 − i Tương tn i i υ(W , U ) ≥ 2−niq − i i n q21 − Do |Gi| ≥ 2−niq − niq − ni i ni Neu ∈ Ui tù Đ%nh lý 3.1.2 ta có G = υ(U i − {1}, W ) ≥ 2−(ni−1)q − i ((n −(ni−1) Hien nhiên i 2 −ni ni−1 ≥2 , − 1) − 2−(ni−1)+1)q − i ni − ≤ ni (ni − 1) − 2−(ni−1)+1 ≤ 2.ni, nên Gi = υ(Ui − {1}, Wi) ≥ 2−niq − niq − ni Trưịng hop ∈ Wi hồn tồn tương tn Xét I = {1, , p + 1} tù Xây dnng M®t cau trúc Vi vói i ∈ Γ(U, W ) đưoc đưoc GQI GQI tot cho U, W neu πk (i) ∈ Gk vói moi k ∈ I − Γ(U, W ) xau đoi vói U, W trưòng hop lai So đinh cau trúc Vi tot đoi vói U, W so đinh ke vói tat ca đinh U khơng ke vói đinh W Neu q > n222n−2 theo Đ%nh lý 3.1.2 vói moi cau trúc Vi tot ln ton tai nhat m®t điem cna Vi thoa mãn tính chat n-e.c cho U, W Do đó,tính neuchat q > n-e.c n222n−2Tùthìđóđođeth% xây minh dnng sinh Xây dnng thoa mãn chúng đo tù th% mô ta o Xây dnng đo th% n-e.c ta can chi ton tai nhat m®t cau trúc tot đoi vói Vói moi i ∈ Γ(U, W ) MQi GQI c¾p U, W Ii hàm chi tiêu ngau nhiên xác đ%nh sau: Ii = I[Vi tot vóiU, W ] Đ%nh nghĩa X = X(U, W ) X= Σ I i i∈Γ(U,W ) Chúng ta nói mđt cắp U, W l xau neu khụng ton tai đinh v ∈ V −(U ∪W ) cho v ke vói tat ca đinh cna U khơng ke vói đinh W Kí hi¾u Nq(U, W ) bien co c¾p U, W xau đoi vói đo th% ngau nhiên Xây dnng Do đó, P(Nq(U, W )) ≤ P(X = 0) Bo đe 3.2.3 ([17]) Gia su q ≥ 16.n2.22n Khi vái U, W thóa mãn |U| + |W| = n ta có EX ≥ (q − n)2−nexp(−4n2nq−1 ) Chúng minh Co đ%nh m®t đinh i ∈ Γ(U, W ) Khi đó, ket hop vói Bő đe 3.2.2 ta có EX ≥ (q − n)EIi q Y |Gj| = (q − n) q j= q ≥ (q − n) 2−nj q − nj Y( ) q j=1 = (q − n)2−n q 12 − nj Y q nj (1 − √ q j=1 q nj nj − nj q ) n j Y 2n j ≥ (q − n)2−n (1 − √ ), j= q 12 Vói < x < , log(1 − x) ≥ −2x − x ≥ e−2x, nên Yq 4nj n2 −n EX ≥ (q − n)2 exp(− √ j ) q j=1 q Y n 4nj ≥ (q − n)2−n exp(− √ ) = (q − 4n2nq j=1 n)2−n exp( √ ) − q Bây giò tìm hieu m®t ket qua riêng cna Lý thuyet xap xi Poison Gia su rang (Ii, i ∈ Γ) bien ngau nhiên chi so i Γ, Γ t¾p chi so tùy ý Lu¾t xác suat cna Ii vói đieu ki¾n {Ii = 1} đưoc ký hi¾u L(Ij; j ∈ Γ|Ii = 1) Chúng ta nói rang Ii liên h¾ âm neu vói moi i ∈ Γ bien ngau nhiên (Jj,i, j ∈ Γ) có the đ%nh nghĩa khơng gian xác suat giong (Ii, i ∈ Γ) theo m®t cách sau: (Jj,i, j ∈ Γ) = L(Ij; j ∈ Γ|Ii = 1) Jj,i ≤ Ij vói ∀j ∈ Γ Chúng ta có m®t ket qua mo r®ng Xap xi Poison [8] sau Σ Đ%nh lý 3.2.1 Vái tőng Y = i∈Γ Ii cua bien chs tiêu liên h¾ âm P(Y = 0) ≤ 2.e−EX Bő đe tiep theo c¾n dưói cna xác suat đe c¾p U, W xau Bo đe 3.2.4 ([20]) Xác xuat cua bien co Nq b% ch¾n bái P(Nq(U, W )) ≤ exp(−(q − n)2−n 4n2n exp −√ )) q ( Đ%nh lý dưói m®t ket qua cna Fon-der-Flaass ve đo th% quy manh sinh tù cau trúc affine −1 −1 q (q +1) q q (1−s(q)) (q+1 SRG((q + 1) , = O(q , −1 không làq)n váith% MQIĐ q ≥ %nh lý 3.2.2 ([20]) Gia su ,log q 2là q) so) nguyên to mãn ≡− e.c, (mod 4) Có m®t hàm s(q) cho tonthóa taicau đo 16.n2.22 4 n Chúng minh Cho Z so c¾p U, W xau gia su rang q ≥ 16n222n Ta (q+1) Σ n có q n 2 cách chQn c¾p U, W Su dung Bő đe 3.2.4 n ≤ log vói 2−n ≥ 4nq−12 ≥ 4q−1 , có 2n (Nq(U, W )) P EZ = (q + Σ 1) n ≤ exp(−(q − (q +n1)2 Σ n)2−n ≤ (q + 1)2 2n.2 exp(−(q − n n)2−n 4n2n exp( √ )) q − 4n2n exp( √ )) q − ≤ (q + 1) q+ 4e−1 exp(−(q − log2 √ ) q log2 1 q) ≤ c1 exp(−c2q ), vói hang c1,ton c2 > làtabien ngau nhiên tr% khơng âmsonên P(Z >0c¾p 0) ≤U, EZ Tù P(Z > vói 0) ≤ giá cđo exp(−c 2q ) xác suat đe tai WDo nàoZđó làcó xau đoi th%nguyên Xây dnng Như v¾y xác suat( đe khơng ton tai c¾p U, W xau nhat ) − c exp(−c q ) Do có q+1 (q!)q+1 đo th% sinh tù Xây dnng nên 2 so đo q+1 th% không ton tai c¾p xau U, W nhat (q+1 )(q!) {1trong − c Xây dnng exp(−c q )} Su dung chúng minh cna bő đe 3.2.1 2 ta có đieu phai chúng minh Ket lu¾n Trong lu¾n văn em trình bày ve đo th% n-e.c Khóa lu¾n tù khái ni¾m vói tính chat ban tói vi¾c x¾y dnng phân loai đo th% n-e.c vQNG, cuoi nêu hai cách xây dnng cu the đo th% ngau nhiên quy manh Song song vói ví du, ket qua kèm theo chúng minh Nđi dung chớnh cna luắn bao gom: ã Giói thi¾u ve đo th% n-e.c, tính chat mđt so o th% n e.c ó biet ã Trình bày cách xây dnng phân loai đo th% n-e.c • Đưa hai cách xây dnng đo th% ngau nhiên quy manh roi chúng minh đo th% sinh có tính chat n-e.c Tuy nhiên, thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn khơng nhieu kha cịn han che nên lu¾n văn mói chi đe c¾p tói xây dnng đo th % n-e.c ban Ve đo th% n-e.c rat nhieu van đe phúc tap hơn, nhat vi¾c tìm đo th% n-e.c vói n lón Trong thịi gian tói, em se tiep tuc tìm hieu sâu ve n®i dung Em rat mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna thay ban Em xin chân thành cam ơn! Tài li¾u tham khao [1]A Blass and B Rossman, "Explicit graphs with extension properties", Bul Eur Assoc Theor Comput Sci 86 (2005), 166175 [2]A Bonato, and K Cameron (2001), "On an adjecency property of almost all graphs", Contributions to Discrete Mathematics, (231), pp.103-119 [3]A.Bonato (2009), "The search for n-e.c graphs", Contributions to Discrete Mathematics, (4) [4]A Bonato, W H Holzmann, and H Kharaghani (2001), " Hadamard matrices ang strongly regular graphs with the 3-e.c adjacency prop- erty", Journal of Combin, (8), pp.1-9 [5]A.D Forbes, M.J Grannell and T.S Griggs (2005), "Steiner triple systems and existentially closed graphs", The electronic journal of combinatorics, (12) [6]A G Thomason (1987), "Pseudo-random graphs", North- Holland Mathematics Studies, (144), pp.307-331 [7]A Kisielewicz, Andrzej and W Peisert (2004), "Pseudo-random prop- erties of self-complementary symmetric graphs", Journal of Graph Theory , (47), pp.310-316 [8]Barbour, A D, Holst, L and Janson (1992), Poisson Approximation, Oxford University Press, Oxford [9]C A Baker, A Bonato, J M N Brown, and T Szonyi (2008), "Graphs with the n-e.c adjacency property constructed from affine planes", Discrete Mathematics, (208), 901-912 [10]F Hausdorff (1936), "Uber zwei Satze von G Fichtenholz und L Kantorovitch", Studia Math, (6), pp.18-19 [11]Fon-Der-Flaass (2002), " New prolific constructions of strongly regular grapgs", Advances in Geometry, (2), pp 301-306 [12]F R K Chung, R L Graham and R W Wilson (1989), "Quasirandom graphs", Combinatorica, (9), pp.345-362 [13]L A Vinh (2009), "A construction of 3-e.c graphs using quadrances", arXiv preprint arXiv:0903.2509 [14]L Caccetta, P Erd ˝os, and K Vijayan (1985), "A property of random graphs", Ars Combin, (19), pp.287-294 [15]Neil A McKay and David A Pike (2007), " Existentially Closed BIBD Block-Intersection Graphs", The electronic journal of combinatorics, (14) [16]P Erd ˝os and A Re’nyi (1963), "Asymetric graphs", Acta Mathematica Hungarica, (14), pp.295-315 [17]P J Cameron and D Stark(2002), "A prolific construction of strongly regular graphs with the n-e.c property", The electronic journal of combinatorics, (9) [18]P Gordinowicz and P.Pralat(2010), "The search for smallest 3-e.c graphs", Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing, (74) [19]R Lidl and H Niederreiter (1983), Finite Fields, Addison-Wesley, London [20]W Ananchuen (2001), "On the adjacency properties of generalized paley graphs", Australasian Journal of Combinatoricsn, (24), pp.129148 Wolfgang.M Schmidt (1976), Equations over Finite Fields: An Ele- [21] mentary Approach, Springer-Verlag, Berlin [22] Wallis, Walter D (1971), "Construction of strongly regular graphs using affine designs", Bulletin of the Australian Mathematical Society, (4), pp.41–49 ... NHIÊN - LÊ THỊ THU HƯỜNG XÂY DỰNG VÀ PHÂN LOẠI MỘT SỐ LỚP ĐỒ THỊ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60460106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI... minh đo th% có tính chat ke n-e.c Hai xây dnng đe c¾p lu¾n văn đeu xây dnng cau trúc affine Cho v λ hai so nguyên dương co đ%nh, co đ%nh k cho ≤ k < v S = {1, 2, , v} Mđt − (v, k, λ) cau trúc (GQI... theo Chương Xây dEng phân loai m®t so đo th % n-e.c Như mô ta o phan đau cna Chương 1, ta biet đo th% 1-e.c đo th% khơng có đinh l¾p khơng có đinh phő quát Trong chương se t¾p trung xây dnng đo