Luận văn thạc sĩ về sự tồn tại sóng chạy trong mô hình rời rạc của các quần thể sinh học

Đại học quốc gia Hà nội Trờng Đại Học khoa học tự nhiên Nguyễn Hữu Trí Về tồn sóng chạy mô hình rời rạc quần thể sinh học Luận văn thạc sĩ toán học Hà Nội - 2012 Đại học quốc gia Hà nội Trờng Đại Học khoa học tự nhiên Nguyễn Hữu Trí Về tồn sóng chạy mô hình rời rạc quần thể sinh học Chuyên ngành: Toán giải tích Mà số: 60 46 01 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: TS Đặng Anh Tn Hµ néi - 2012 Mơc lơc Mơc lơc i Lời cảm ơn ii Mở đầu Tổng Quan 1.1 Một số mô hình di truyền học tăng trởng dân số 1.2 Xây dựng định nghĩa 1.3 Hai mệnh đề 11 1.4 Xây dựng tốc độ sóng 13 Sù tån t¹i nghiƯm sãng ch¹y 36 2.1 Tèc ®é lan truyÒn 39 2.2 Sự hội tụ đến giá trị cân 45 2.3 Sù tån t¹i nghiƯm sãng ch¹y 57 KÕt luËn 61 Tài liệu tham khảo 62 i Më đầu Quần thể sinh học hệ động lực thực tế có tác động yếu tố kh¸ch quan Khi xem xÐt mét hƯ sinh th¸i chóng ta gắn với mô hình toán học cho hệ thống tiến triển theo thời gian, ngời ta thờng giả thiết hệ thống hoạt động liên tục, rời rạc Từ đó, phép tính giải tích liên tục rời rạc đợc nghiên cứu để mô tả hệ thống tơng ứng với giả thiết thời gian lý tởng đợc đặt Trong luận văn trình bày nghiên cứu tồn nghiệm sóng chạy mô hình rời rạc di truyền học tăng trởng dân số Đây mô hình đợc Weinberger nghiên cứu cho kết MATH SIAM ANAL Vol No 3, May 1982 H." Long-time behavior of a class of biological models" Với đề tài: Về tồn sóng chạy mô hình rời rạc quần thể sinh học Luận văn gồm chơng Chơng Tổng quan Nội dung chơng đợc viết thành mục Mục 1.1 Một số mô hình di truyền học tăng trởng dân số Mục 1.2 Xây dựng định nghĩa Mục 1.3 Hai mệnh đề Mục 1.4 Xây dựng tốc độ sóng Chơng Sự tồn nghiệm sóng chạy Nội dung Chơng đợc viết thành mơc Mơc 2.1 Tèc ®é lan trun Mơc 2.2 Sù hội tụ đến giá trị cân Mục 2.2 Sự tồn nghiệm sóng chạy Kết luận Trong phần đánh giá đóng góp luận văn đề cấp tới hớng nghiên cứu thời gian tìm hiểu ứng dụng lý thuyết Wenberger cho lớp mô hình toán tử Q[u] không compact Hà Nội, ngày 25 tháng 07 năm 2012 Tác Nguyễn Trí giả Hữu Chơng Tổng Quan Trong chơng trình bày số thuật ngữ định nghĩa liên quan đến mô hình sinh thái hệ rời rạc số quần thể sinh học 1.1 Một số mô hình di truyền học tăng trởng dân số Chúng ta xem xét mô hình đợc gọi bớc đệm di truyền học quần thể Chúng ta phân loại cá thể quần thể loài lỡng bội định Nếu xét gen gồm hai alen A a Thì qn thĨ sÏ cã ba kiĨu gen: AA, Aa, aa, kiểu gen đồng hợp tử là: AA, aa kiểu gen dị hợp tử là: Aa Môi trờng sống tự nhiên nhân tạo đợc phân chia thành vùng phân biệt gọi " Hốc " Các cá thể loài sống vùng riêng biệt đợc gọi quần thể Có cách ly sinh sản mức độ định với quần thể lân cận loài Và di c, nhập c cá thể làm thay đổi tần số alen, thành phần kiểu gen quần thể Các cá thể quần thể giao phối ngẫu nhiên với để sinh hƯ sau Tû lƯ sè lỵng alen A víi tỉng số alen gen quần thể đợc gọi tần số alen alen A, gọi tần số alen A ë thÕ hƯ thø n qn thĨ là: un(i) tần số alen alen a là: un(i) Theo định luật Hardy- Weinberg thành phần kiểu gen tơng ứng: AA; Aa; aa quần thể tơng ứng (un(i))2 : 2un(1 un) : ((1 un(i))2 điều kiện tác động chọn lọc tự nhiên, không xảy ®ét biÕn mµ chØ phơ thc vµo kiĨu gen cđa gen đợc xem xét Sự phân đôi giai đoạn di c ba kiểu gen có c¸c tû lƯ (1 + si) : : (1 + ti) sau tỷ lệ sống sót thời ®iĨm di c lµ (1 + si)(un(i))2 : 2un(1 − un) : (1 + ti)((1 − un(i))2 Chóng ta gi¶ định tổng số cá thể cá thể liên quan đến phân loài thứ i sống sót sau di c pi không phụ thuộc vào kiểu gen chúng Giả sử lij phần cá thể kiểu gen cá thể liên quan đến phân loài thứ i di c trở thành phần cá thể liên quan đến phân loài thứ j Khi phần gen cá thể liên quan đến phân loài thứ j sau di c cho bëi c«ng thøc: un+1(j) = Σ mjigi(un(i)) (1.1.1) i ®ã: gi(u) = 2(1 + s )u2 + 2u(1 u) −i (1.1.2) i i (1 + s )u2 + 2u(1 − u) + (1 + σ )(1 − [ u)2] phần gen deme thứ i trớc thời ®iĨm di c vµ ljipi Σ mji = (1.1.3) k ljipi phần cá thể deme thứ j di c đến hốc thích hợp vào đời thứ i Khi hàm {un(i) : i = 1; 2; } tháa m·n hƯ un+1 = Q[un], (1) víi Q[u](j) = (1.1.4) mjigi(un(i)) i Công việc xét với môi trờng sống đồng Bằng cách này, ta xem xét tất "Hốc" giống nhận đợc kết cách tịnh tiến đến thời điểm thích hợp, với hệ số dịch chuyển lij phù hợp phụ thuộc vào hệ thứ i thÝch hỵp cho thÕ hƯ thø j Mét trêng hỵp đặc biệt, sinh vật sống mặt phẳng R2 Biểu diễn đồ chia thành « vu«ng 1 1 {(x; y)|(k − )h < x < (k + )h, (l − )h < y < (l + )h, k, l = 0; 1; 2 2 } với độ dài h, "Hốc" Tọa độ tâm hình vuông lµ béi cđa h vµ xem nh mét vector H xác định sở từ hai vector có thành phần bội h Trên thực tế H thực chất đồng s t, p dạng trởng thành giống tất "Hốc", hệ số dịch chuyển lij phụ thuộc vào khác biệt vector xi xj trung tâm "Hốc" Hiện ta giả định s, t, p không phụ thuộc vào u, chúng số Sao cho Σ lij = Σ l(xi − xj) = Σ l(xi) = Σ li0 = k k i i Tõ (1.3) ta cã mij = lij ≡ m(xi − xj) Mét tÝnh chÊt quan träng cña en đợc phát biểu bổ đề dới đây, sử dụng Qrk0 thay cho toán tử Qk0 Bổ đề 2.6 Nếu A thỏa mÃn bất đẳng thức (2.2.17), dÃy en(x) thỏa mÃn bất đẳng thức sau: en+n1n0 Qkn01 −n0 [en], víi n = 0, 1, 2, (2.2.20) Chứng minh Cho en thu đợc từ e0 c¸ch thay thÕ A bëi A + (1 +21ε)n Ýt lơn A điều kiện ®đ ®Ĩ chøng minh (2.2.20) víi n = V× D(x) ≤ |x| , nh×n tõ (2.4.18) ta thÊy nÕu ρ |x| ≤ ρA − ρ−1 − n1[k0ρ−1 + + ε] − (n1 − n0)k0, th× e0(x) = αk0 n1 víi |x − x0| ≤ (n1 − n0)k0 V× từ định nghĩa (2.2.5) Qk ta tìm x0 cho Q (n1−n0) [e0](x0) = α (k0) ≤ α(k0) ≤ en −n (x0) 2n1−n0 k0 n1 Chóng ta xét x mà suy (2.2.20) với điểm n = là0đúng |x0| > A n1[k0ρ−1 + + ε] − (n1 − n0)k0, (2.2.21) cho x điểm cho |x − x0| ≤ (n1 − n0)k0 Tõ (2.2.16) vµ (2.2.17) ta cã m|x||τ (x) − )|2 ≤ ε τ (x0 Cuèi cïng, víi (2.2.15) cho thÊy D(x) (x0) ≤ x.τ S(τ (x0) + ε víi |x − | ≤ − (n1 n0 x0 n1 ) Do a(k0 hàm không tăng theo s, x0 )k0 tháa m·n (2.2.21), vµ ex.τ (x) (x ≤ 0a)(k0)((1 + ε)S(τ (x)), τ (x); S(τ (x))) − A + 1ε]), [ S(τ (x0) n1 víi |x − x0| ≤ (n1 − n0)k0 Tõ (2.4.23) cho thÊy )), n0 e0(x) ≤ a(k0)((1 + ε)S(τ )), τ ); x · τ (x0 (x0 (x0 ) − (A − (x0 ε)S(τ víi |x − x0| ≤ (n1 − n0)k0 Cho x.τ (x0) = S(τ (x0))D(x0), tõ tÝnh chÊt bảo toàn thứ tự Qk0 từ (2.2.13) suy −n0 Qn [e0](x0) ≤ a(k0)((1 + ε)S(τ (x0)), τ (x0); x0 · τ (x0) n1 k0 − (A − ≤a (k0) ε)S(τ (x0)) − (n1 − n0)(1 + ε)S(τ (x0)) ((1 n1 + ε)S(τ (x0)), τ (x0); S(τ (x0)[D(τ (x0)) − (A − (n1 − n0)(1 + ε)] = en1−n0 (x0) Ta ®· thiÕt lập bất đẳng thức (2.2.20) cho điểm x0, nÕu thay A bëi A + (1 + 1ε)n, cho n, từ suy bổ đề đợc chứng minh Giảsử sửdụng rằng,nh với đồng hình cầu đủ lớn dÃy en mộtu0dÃy kếtnhất ởdơng bổ đề sau Bổ (0; 1) có bán kính r số tự nhiên l đề cho2.7 nếuCho u0(x) hình cầu {x||x| r} un+1 = Q[un], th× u1(x) ≤ e0(x) víi lσ ≤ l < l + n1 n0 Chứng minh Ta định nghĩa dÃy àn theo quy tắc àn+1 = Q[àn], à0 = Thì dÃy àn dÃy tăng tới Chọn số dơng l cho àl n1 > α(k0) ≤ e0(x) (2.2.22) (r) tham biÕn hµm υ theo ta định quy nghĩa tắc Ta sử dụng hàm phicđa tun ϑ(s) víi tÝnh chÊt (2.2.4) mét hä |x| (r) (r) (r) = Q[υ ], υ = σϑ( ) n υ n+1 n r l Tõ (1.2.1.v) cho thấy (r)(x) tăng đến àl r +, từ định lý Dini's hội tụ tập bị chặn Vì bất đẳng thức (2.2.22) ta có giá trị r r cho l (r)(x) ≤ e0, víi lσ ≤ l < lσ + n1 n0 tập bị chặn e0 > Cho số không âm, bất l ) (r đẳng thức với x ) ) Cho υ(rσ = víi |x| ≤ r (r , từ mệnh đề 2.1 r»ng nÕu u0 ≤ σ 0 víi |x| ≤ rσ, th× i ) víi lσ ≤ l < lσ + n1 − ui ≤ υ(rσ ≤ e0, n0 Bổ đề 2.8 Cho (0; 0) cã ®iĨm x RN , u0(x) ≤ σ víi |xx| r với tất giá trị n ®đ lín ta cã un (x) ≤ α(k0) D(x) ≤ (1 + n ε)n (2.2.23) Chøng minh Khi Q[u] ≤ Qk0 [u] víi mäi u, tõ bỉ đề 2.12, (2.2.20), mệnh đề 2.1 thay toán tử −n0 Qn1 Tõ (2.2.19) k víi ≤ q < n1 − n0 vµ j ≤ ta cã ulσ+q+j(n1−n0)(x) ≤ ej(n1−n0)(x n − x) un(x) ≤ α(k0) (2.2.24) D(x − x) ≤ (A − ρ−1 − n1[k0ρ−1 + + ε] + (n − lσ − n21)(1 + 1ε) Mét lu ý r»ng D(x − x) = max (x − x) · ξ S(ξ) ≤max x · ξ ξ S(ξ) |ξ|=1 = D(x) + D(−x) (2.2.25) S(ξ) Cã nghÜa r»ng D lµ hµm céng tÝnh díi Tuy nhiên D(x) (1 + 1)n với n đủ lớn, điều kiện D(x x) (2.2.24) thỏa mÃn, hay bổ đề đợc chứng minh Bổ đề 2.9 Giả sử u0(x) (0; 1) hình cầu |x x| r um(x) Thì cho số dơng cã mét sè nδ cho nÕu m ≤ nδ D(x) m Chứng Vì dÃysốdơng n định nghÜa theo quy t¾c αn+1 = Q[α], α0 = α héi tơ tíiminh π , cã mét n cho αn > π − σ 2 n Cho dÃy w(r) đợc định nghĩa theo quy tắc n+ (r) w n = Q[w(r)], w(r)(x) = αϑ(|x|/r) Trong hàm trơn không âm thỏa m·n (2.2.4), th×n w(r)(0) héi tơ tíi αn2 r + Tuy nhiên có giá trị r cho n2 (r) w (0) > π1 − δ Từ mệnh đề 2.1 tính chất củacầu Q ta giả sử un(x) hình |x x1| ≤ r th× un+n2 (x1) > π1 − δ Vì tính chất cộng tính dới (2.2.25), bị chặn D(x) |x| (2.2.26) , bất đẳng thức D(x1) n + n2 vµ |x − x1| ≤ r suy D(x − x) ≤ D(x1) + D(x − x1) + D(−x) ≤ n + n1 + ρ−1(r + |x|) Khi n là số tự nhiên đủ lớn, n n n2 bất đẳng thức thỏa m·n n1 ) ®iỊu kiƯn (2.2.24) Tríc ®ã un(x) ≤ α(k0 ≤ α víi |x − x1| ≤ r, bất đảng thức (2.2.26) thỏa mÃn Tơng tựbổ khiđề n + n2 n D(x1) n + n2, ta cã un+n2 (x1) ≤ π1 − δ Nh đợc chứng minh với m = n + n2 Phơng trình (2.2.4) trờng hợp hội tụ của (6.4), từ (2.2) mệnh đề 2.1 suy định lý 2.2 đợc chứng minh 2.3 Sự tồn nghiệm sóng chạy nhận giá Một trịhàmtrên [0; 1] phơng trình Định nghĩa 2.1 số đợcđoạn gọi nghiệm sóng chạy với tốc độ c un+1 = Q[un], n = 1, 2, (1) đợc định nghĩa hàm liên tục không tăng W (s) cho lim W (s) = π1, lim s→− ∞ W (s) = 0, s→+∞ vµ d·y un (x) = W (x à nc) thỏa mÃn phơng trình (1) Định lý 2.3 Giả sử có toán tử Q cho Q[α] > α, α ∈ (0; π1), Q[0] = 0, Q[1] = 1, < , Q toán tư compact tháa m·n: Mäi d·y hµm B víi ≤ π1 cã mét d·y vnk cho dÃy Q[vnk ] hội tụ tập bị chặn H Khi đó, c c () tồn hàm không tăng W (s) đợc định nghĩa cho dÃymọi un(x) = W (x à nc) thỏa mÃn phơng trình un+1 = Q[un], cho s có dạng x à nc, x H n số nguyên dơng, W () = W (+) = Chøng minh Chän mét hµm ϕ cã tÝnh chất nh (1.4.1), với số dơng k ta định nghÜa d·y an(c, ξ, k; s) bíi c«ng thøc an+1(c, ξ, k; s) = max{k−1ϕ(s), Q[an(c, ξ, k; x · ξ + s + c)](0)}, (2.3.1) a0(c, ξ, k; s) = k1(s) Dễ dàng kiểm tra đợc an(c, , k; s) dÃy không tăng theo c, k s, dÃy không giảm theo n Cho n an(c, , k; s) hội tụ đến hàm a(c, , k; s) không tăng theo c, k s Từ bổ đề 1.2 suy lim s ∞ lim a(c, ξ, k; s) = π1, a(c, ξ, k; s) = 0, víi c ≤ c∗(ξ) (2.3.2) s→+ ∞ Sư dơng tÝnh chÊt (1.2.5) thÊy r»ng mäi d·y Q[vn] với trích đợc dÃy Q[vnk ] hội tụ tập bị chặn H Khi cho số thực t cã d·y ni cho d·y Q[ani (c, ξ, k; x · ξ + t + c)](y) héi tơ ®Ịu với tập bị chặn H Cho dÃy an không tăng theo n, Q bảo toµn thø tù, suy d·y Q[an(c, ξ, k; x à + t + c)](y) hội tụ tập bị chặn H Từ tính chất Q, (2.3.1) thấy với t dÃy an(c, ξ, k; y · ξ + t) héi tô ®Õn a(c, ξ, k; y · ξ + t) ®Òu với y tập bị chặn H Từ chứng minh phân trớc a(c, , k; y à + t) hàm liên tục theo y trªn H Tõ tÝnh chÊt (1.2.1v) cđa Q vµ tõ (2.3.1) ta cã a(c, ξ, k; s) = max{k−1ϕ(s), Q[a(c, ξ, k; x · ξ + s + c)](0)} (2.3.3) Chän y0 ∈ H cho y0 · > cho số tự nhiên l c c() ta xác định dÃy Kk(l) = [a(c, ξ, k; ly0 · ξ) + a(c, ξ, k; (l + 1)y0 · ξ)] (2.3.4) Th× Kk(l) dÃy không tăng theo l, Kk() = 1, Kk(+) = a hàm giảm từ đến 0, s tăng từ đến +∞ Kk(l) − Kk(l − 1) = [a(c, ξ, k; (l + 1)y0 · ξ) − a(c, ξ, k; (l π − 1)y0 · ξ)] ≤ Chän mét sè tù nhiªn lk cho 4 (2.3.5) π1 ≤ Kk(lk) ≤ Ta xÐt d·y a(c, ξ, k; x · ξ + lky0 · ξ), k = 1, 2, Tõ (2.3.3) vµ tÝnh chÊt (1.2.5) ta cã mét d·y c¸c sè tù nhiªn ki cho a(c, ξ, ki; x · + kiy0 à ) hội tụ với tập bị chặn H tới hàm W (x à ) xác định H Với dÃy trích đợc dÃy kiJ cho a(c, ξ, kiJ ; x · ξ + lki y0 à + c) hội tụ tập bị chặn H tới hàm W (x · ξ + c) J Chän mét d·y ki(m) kh¸c, cho i a(c, ξ, k(m); x · ξ+l k i (m) y0 · ξ + mc) héi tô tập bị chặn H tới hàm W (x · ξ + mc) víi mäi sè d¬ng m H , lÊy giíi h¹n (2.3.3) víi k = ki vµ s = y · ξ + l k iy0 · ξ − (n + 1)c, Chän mét d·y ki héi tơ ®Ịu cho mäi m Vì hội tụ tập bị chặn ta tìm đợc W (y à (n + 1)c) = Q[W (x · ξ − nc)](y) un = W (x · ξ − nc) VËy (2.3.6) lµ nghiƯm sãng chạy phơng trình un+1 = Q[un] Từ định nghĩa (2.3.4) ta thÊy r»ng d·y Kki(lki ) héi tơ ®Õn [W (0) + W (y0 · ξ)] ≤ W (y0 · ξ) Tõ (2.3.5) ®ã W (y0 à ) Từ kết định lý (2.2) suy π W (−∞) = π1 vµ W (s) không hàm Vì a hàm không tăng theo s, suy W (s) hàm không tăng theo s W (s) có giới hạn s → ∞ Tõ (2.3.6) cho n → −∞ th× W (∞) = Q[W (∞)] BiÕt r»ng W (∞) điểm bất động Q có giá trị nhỏ lớn Suy ra: W (−∞) = π1, W (+∞) = KÕt luËn Với đề tài "Sự tồn sóng chạy mô hình rời rạc quần thể sinh học" luận văn đà làm rõ số nội dung b¸o " Long-time behavior of a class of biological models" H Weinberger, SIAM J Math Anal , 13 (1982), 353 396 Trong thêi gian tíi chóng t«i mong mn tiÕp tục làm rõ nội dung báo cđa H F Wenberger Mét híng cã thĨ nghiªn cøu sau tìm hiểu ứng dụng lý thuyết Wenberger cho lớp mô hình toán tử Q[u] không compact Đây lớp mô hình có nhiều ứng dụng Tài liệu tham khảo [1]B Li , M A Lewis, H F Weinberger (2005), "Spreading speeds as slowest wave speeds for cooperative systems" Math Biosci., 196, no 1, 82-98 [2]X Liang and X.-Q Zhao (2007), "Asymptotic speeds of spread and traveling waves for monotone semifows with applications" Communications on Pure and Applied Mathematics, 60,1-40 [3]F Lutscher, Nguyen Van Minh, Spreading Speeds and Traveling Waves in Discrete Models of Biological Populations with Sessile Stages Submitted [4]R Lui (1983), "Existence and stability of traveling wave solutions of a non- linear integral operator" J Math Biol 16, 199 220 [5]R Lui (1989), "Biological growth and spread modeled by systems of recur- sions I Mathematical theory" Math Biosci 93, 269 295 [6]D.Volkov, R Lui (2007), "Spreading speed and travelling wave solutions of a partially sedentary population" IMA Journal of Applied Mathematics, 72, 801 816 [7]H Weinberger (1982), "Long-time behavior of a class of biological models" SIAM J Math Anal., 13, 353 396 [8]H Weinberger (1978), "Asymptotic behavior of a model in population genet- ics" Partial Differential Equations and Applications (J Chadam ed.) Lecture Notes in Mathematics, vol 648, pp 47 98 Springer, New York [9]H.F Weinberger M A Lewis, B Li (2007), "Anomalous spreading speeds of cooperative recursion systems" J Math Biol., 55, no 2, 207-222 ...Đại học quốc gia Hà nội Trờng Đại Học khoa học tự nhiên Nguyễn Hữu Trí Về tồn sóng chạy mô hình rời rạc quần thể sinh học Chuyên ngành: Toán giải tích Mà số: 60 46 01 Luận văn thạc sĩ toán học. .. models" Với đề tài: Về tồn sóng chạy mô hình rời rạc quần thể sinh học Luận văn gồm chơng Chơng Tổng quan Nội dung chơng đợc viết thành mục Mục 1.1 Một số mô hình di truyền học tăng trởng dân... Quan Trong chơng trình bày số thuật ngữ định nghĩa liên quan đến mô hình sinh thái hệ rời rạc số quần thể sinh học 1.1 Một số mô hình di truyền học tăng trởng dân số Chúng ta xem xét mô hình