Luận văn thạc sĩ sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - NGUYEN THU HÀ SU TON TAI NGHIfiM CUA BÀI TOÁN QUAN Hfi BIEN PHÂN Chuyên ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60 46 01 02 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS TS TA DUY PHƯeNG Hà N®i – Năm 2015 Mnc lnc Ma đau Kien thÉc sa 1.1 Kien thúc tơpơ giai tích hàm 1.1.1 Không gian véctơ 1.1.2 Không gian tôpô 1.1.3 Không gian véctơ tôpô 1.1.4 Không gian metric 10 1.1.5 Không gian véctơ đ%nh chuan 11 1.2 Ánh xa đa tr% 12 1.2.1 Đ%nh nghĩa ánh xa đa tr% 12 1.2.2 Tính liên tuc cna ánh xa đa tr% 15 1.2.3 M®t so đ%nh lý ve sn tương giao ve điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% 16 Bài toán quan h¾ bien phân 17 2.1 Phát bieu tốn m®t so ví du 17 2.2 Sn ton tai nghi¾m cna tốn quan h¾ bien phân 21 2.2.1 Đ%nh lý ban 21 2.2.2 Tiêu chuan dna sn tương giao cna t¾p compact 22 2.2.3 Tiêu chuan dna đ%nh lý điem bat đ®ng 28 SE ton tai nghi¾m cua tốn quan h¾ bien phân khơng có tính loi 32 3.1 Ngun lý giai đưoc huu han 32 3.2 Ánh xa tương giao đóng .33 3.2.1 Bài toán minimax 34 3.2.2 Bài toán điem yên ngna 34 3.2.3 Bài toán điem bat đ®ng 35 3.2.4 Bài toán cân bang Nash 35 3.2.5 Bài toán cân bang chien lưoc tr®i 36 Bài 4.1 4.2 4.3 tốn quan h¾ bien phân khơng có tính chat KKM 38 Quan h¾ KKM tőng qt .38 Bài toán quan h¾ bien phân khơng có tính chat KKM 41 Úng dung vào m®t so tốn 45 4.3.1 Bài toán bao hàm thúc bien phân .45 4.3.2 Bat thúc Ky Fan minimax tőng quát vói hàm C tna lõm 48 4.3.3 Bat thúc véctơ minimax Ky Fan véctơ tőng quát vói C - P - tna lõm 49 4.3.4 Trò chơi đa muc tiêu tőng qt trị chơi n - ngưịi khơng hop tác tőng quát 51 4.4 Ket lu¾n 52 KET LU¾N 53 Tài li¾u tham khao 54 Ma đau Đe đưa m®t chúng minh đơn gian chúng minh ban đau rat phúc tap cna đ%nh lý điem bat đ®ng Brower (1912), ba nhà tốn HQc Balan Knaster, Kuratowski, Mazurkiewicz chúng minh m®t ket qua quan TRQNG ve giao khác rong cna huu han t¾p đóng khơng gian huu han chieu (1929), ket qua sau GQI bő đe KKM Năm 1961, Ky Fan mo r®ng bő đe khơng gian vơ han chieu, ket qua đưoc GQI Nguyên lý ánh xa KKM Vào năm 2008, GS Đinh The Luc ó su dung quan hắ KKM vo mđt bi toỏn mói, tốn "Quan h¾ bien phân", nham nghiên cúu m®t tốn tőng qt theo nghĩa m®t so lóp tốn quen thu®c tốn toi ưu tuyen tính, tốn toi ưu phi tuyen, tốn cân bang, toán tna cân bang, toán bao hàm thúc bien phân, toán bao hàm thúc tna bien phân, tốn bat thúc bien phân có the bien đői đưoc ve toán Bài toán quan h¾ bien phân đưoc phát bieu sau: Cho A, B, Y t¾p khác rong, S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B, T : A × B ⇒ Y ánh xa đa tr% vói giá tr% khác rong R(a, b, y) quan h¾ giua phan tu a ∈ A, b ∈ B, y ∈ Y Hãy tìm m®t điem a ∈ A cho (1) a¯ điem bat đ®ng cna ánh xa S1 , túc a¯ ∈ S1 (a¯); (2) Quan h¾ R(a¯, b, y) vói mQI b ∈ S2 (a¯) y ∈ T (a¯, b) Muc đích cna lu¾n văn trình bày sn ton tai nghi¾m cna tốn quan h¾ bien phân trưịng hop tốn có ho¾c khơng có tính chat KKM tính loi dna theo báo [3] , [4] , [5] Ngoài phan mo đau, ket lu¾n tài li¾u tham khao, lu¾n văn gom bon chương: Chương Kien thÉc sa Chương giói thi¾u so lý thuyet cho ba chương sau, nhac lai m®t so kien thúc ve giai tích hàm, trỡnh by mđt so khỏi niắm v tớnh liờn tuc cna ánh xa đa tr% Chương Bài toán quan h¾ bien phân Muc đích cna chương trình bày ve sn ton tai nghi¾m cna tốn quan h¾ bien phân dna tính chat tương giao KKM đ%nh lí ve điem bat đ®ng Chương SE ton tai nghi¾m cua tốn quan h¾ bien phân khơng có tính loi Muc đích cna chương trình bày sn ton tai nghi¾m cna tốn quan h¾ bien phân khơng có tính loi Chương SE ton tai nghi¾m cua tốn quan h¾ bien phân khơng có tính chat KKM Muc đích cna chương trình bày sn ton tai nghi¾m cna tốn quan h¾ bien phân khơng có tính chat KKM Lu¾n văn co gang trình by mđt cỏch cú hắ thong (vúi cỏc chỳng minh chi tiet hơn) ve sn ton tai nghi¾m cna tốn quan h¾ bien phân đưoc đe c¾p báo [3] , [4] , [5] Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành tai Trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên - Đai HQ c Quoc gia Hà N®i Nhân d%p tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói PGS TS Ta Duy Phưong - Vi¾n Tốn HQc, Vi¾n Khoa HQc Cơng ngh¾ Vi¾t Nam, ngưịi thay t¾n tình hưóng dan tơi hồn thành cơng vi¾c nghiên cúu này Tơi xin gui tói q thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Trưòng Đai HQc Khoa HQ c Tn nhiên, Đai HQ c Quoc gia Hà N®i, thay tham gia giang day khóa cao HQc 2012 - 2014, lòi cam ơn sâu sac nhat Xin đưoc cam ơn gia đình, đong nghi¾p, ban bè ó đng viờn rat nhieu giỳp tụi hon thnh luắn văn Hà N®i, tháng năm 2015 Tác gia lu¾n văn Nguyen Thu Hà Chương Kien thÉc sa Trong chương này, ta se trình bày m®t so kien thúc ve giai tích hàm khái ni¾m không gian metric, không gian tôpô, không gian véctơ tôpô, khái ni¾m ánh xa đa tr%, tính liên tuc cna ánh xa đa tr%, (theo [1] [2]) can thiet cho viắc trỡnh by cỏc nđi dung o chng sau 1.1 1.1.1 Kien thÉc tơpơ giai tích hàm Không gian véctơ Đ%nh nghĩa 1.1.1 (Xem [1], trang 181) Ký hi¾u R t¾p so thnc Các phan tu cna R đưoc GQI so (hay đai lưang vô hưáng) M®t khơng gian véctơ V trưịng R mđt hop V khụng rong m trờn ú xỏc đ%nh hai phép c®ng véctơ phép nhân vói m®t so đưoc đ%nh nghĩa cho tiên đe sau đưoc thoa mãn: Phép c®ng véctơ có tính chat ket hop: Vói MQI u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w; Phép c®ng véctơ có tính chat giao hốn: Vói MQI v, w ∈ V : v + w = w + v; Phép c®ng véctơ có phan tu trung hịa: Vói MQI v ∈ V, có m®t phan tu ∈ V, GQI véctơ khơng: v + = v; Phép c®ng véctơ có phan tu đoi: Vói MQI v ∈ V, ton tai w ∈ V : v + w = 0; Phép nhân vơ hưóng phân phoi vói phép c®ng véctơ: Vói MQI α ∈ R, v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw; Phép nhân véctơ phân phoi vói phép c®ng so: Vói MQI α, β ∈ R, v ∈ V : (α + β)v = αv + βv; Phép nhân so phân phoi vói phép nhân véctơ: Vói MQI α, β ∈ R; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v; Phan tu đơn v% cna R có tính chat: Vói MQI v ∈ V : 1.v = v.1 = v Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Xem [1], trang 256) Cho X khơng gian véctơ T¾p C ⊆ X đưoc GQI t¾p loi neu vói MQI x, y ∈ C vói MQI λ ∈ [0, 1] (1 − λ)x + λy ∈ C (nói cách khác, C chúa MQI đoan thang noi hai điem bat kì thu®c nó) Đ%nh nghĩa 1.1.3 (Xem [1], trang 262) Cho X không gian véctơ, x1, x2, , xk ∈ Σ k X so λ1, λ2, , λk thoa mãn λj ≥ 0, j = 1, , j= λj = Khi đó, k x = Σk λj xj , đưoc gQI tő hap loi cna véctơ x1 , x2 , , xk ∈ X Đ%nh nghĩa 1.1.4 (Xem [1], trang 262) Gia su S ⊂ X Bao loi cna S, kí hi¾u convS t¾p hop tő hop loi cna điem cna S Đ%nh nghĩa 1.1.5 Cho X không gian véctơ Mđt C X oc GQi l nún neu vói MQI λ ≥ 0, MQI x ∈ C λx ∈ C M®t nón đưoc GQI nón loi neu đong thịi t¾p loi Như vắy, mđt C l nún loi v chi có tính chat sau: (i) λC ∈ C vói MQI λ ≥ 0, (ii) C + C ⊆ C 1.1.2 Không gian tôpô Đ%nh nghĩa 1.1.6 (Xem [1], trang 372)(Khơng gian tơpơ) Cho t¾p X ƒ= ∅ Mđt HQ cỏc cna X oc GQI m®t tơpơ X neu thoa mãn tính chat sau: (i) ∅, X ∈ τ ; (ii) Giao cna m®t so huu han phan tu thu®c τ thu®c τ ; (iii) Hop cna m®t so tùy ý phan tu thu®c τ thu®c τ Mđt X cựng vúi mđt tụpụ trờn X , đưoc GQI không gian tôpô (X, τ ) Đ%nh nghĩa 1.1.7 (Xem [1], trang 373) Cho hai tơpơ τ1 τ2 Ta nói τ1 yeu τ2 (hay τ2 manh τ1 ) neu τ1 ⊂ τ2 , nghĩa MQi t¾p mo tơpơ τ1 đeu t¾p mo τ2 Đ%nh nghĩa 1.1.8 (Xem [1], trang 376) Cho (X, τ ) khụng gian tụpụ ã Tắp G X oc gQI l mỏ X neu G ã T¾p F ⊂ X đưoc gQI t¾p đóng X neu X\F ∈ τ Đ%nh nghĩa 1.1.9 (Xem [1], trang 375) Lõn cắn cna mđt iem x khụng gian tơpơ X bat cú t¾p bao hàm mđt mo chỳa x Núi cỏch khỏc V l lõn cắn cna x neu cú mđt mo G cho x ∈ G ⊂ V Đ%nh nghĩa 1.1.10 Mđt HQ V = V : V l lõn cắn cna điem x ∈ X đưoc GQi sá lân c¾n cua điem x neu Σ vói MQI lân c¾n U cna điem x, ton tai lân c¾n V ∈ V cho x ∈ V ⊂ U Đ%nh nghĩa 1.1.11 (Xem [1], trang 376) Cho không gian tôpô (X, ), A l mđt bat kỡ cna X Đoi vói moi phan tu bat kì x ∈ X ta GQI: (i) x điem cna A neu ton tai ớt nhat mđt lõn cắn cna x nam A (ii) x điem biên cna A neu MQI lân c¾n cna x đeu chúa nhat m®t điem cna A m®t điem khơng thu®c A Đ%nh nghĩa 1.1.12 (Xem [1], trang 377) Gia su A t¾p bat kì cna khơng gian tôpô (X, τ ) Ta GQI phan cna A hop cna tat ca t¾p mo nam A Phan cna A t¾p mo lón nhat nam A Nó đưoc ký hi¾u boi A ho¾c intA o Đ%nh nghĩa 1.1.13 (Xem [1], trang 377) Gia su A t¾p bat kì cna khơng gian tơpơ (X, τ ) Ta GQI bao đóng cna A giao cna tat ca t¾p đóng chúa A Bao đóng cna A t¾p đóng nho nhat chúa A Nó đưoc ký hi¾u boi A¯ ho¾c clA Đ%nh nghĩa 1.1.14 (Xem [1], trang 383) Cho X m®t khơng gian tơpơ M ⊂ X M t¾p compact neu chi neu MQI phn mo cna M đeu chúa m®t phn huu han Đ%nh nghĩa 1.1.15 (Xem [1], trang 377) Cho X , Y hai khơng gian tơpơ M®t ánh xa f tù X vào Y đưoc GQI liên tnc tai điem x0 neu vói MQI lân c¾n V cna f (x0 ) ton tai mđt lõn cắn U cna x0 cho f (U ) ⊆ V Ánh xa f đưoc gQI liên tnc X neu liên tuc tai MQI điem x ∈ X Đ%nh nghĩa 1.1.16 (Xem [1], trang 382) Không gian tôpô (X, τ ) đưoc GQI không gian Hausdorff (hay T2 − không gian) neu MQI c¾p điem x khác y X đeu ton tai mđt lõn cắn U cna x v V cna y cho U ∩ V = ∅ Đ%nh nghĩa 1.1.17 T¾p I khác rong đưoc gQI đ%nh hưáng neu trờn nú xỏc %nh mđt quan hắ ” thoa mãn tính chat sau: (i)) Vói MQI α, β, γ ∈ I cho: α ≥ β, β ≥ γ α ≥ γ; (ii) Neu α ∈ I α ≥ α; (iii) Vói MQI α, β ∈ I ton tai γ ∈ I cho: γ ≥ α, gamma ≥ β Khi ta nói t¾p I đưoc đ%nh hưáng bái quan h¾ ” ≥ ” kí hi¾u (I, ≥) ho¾c viet tat I Đ%nh nghĩa 1.1.18 Cho I t¾p đ%nh hưóng boi quan h¾ ” ≥ ” Khi ánh xa x xác đ%nh I nh¾n giá tr% t¾p X đưoc GQI lưái (hay dãy suy r®ng ) X Ta viet xi = x(i) kí hi¾u lưói (xα )α∈I Neu mien giá tr% cna lưói khơng gian tơpơ X (xα )α∈I đưoc GQI lưái không gian tôpô Đ%nh ngha 1.1.19 Cho I l mđt %nh húng boi quan hắ v X l mđt khụng gian tơpơ Khi lưói (xα )α∈I đưoc GQI h®i tn khơng gian tơpơ đen điem x đoi vói tơpơ τ neu vói MQI lân c¾n U cna x ton tai α0 ∈ I cho vói MQI α ∈ I mà α≥ α0 xα U Kí hi¾u: xα = x hay xα → x lim 1.1.3 ∈ α→∞ Không gian véctơ tôpô Đ%nh nghĩa 1.1.20 (Xem [1], trang 387) Ta nói m®t tơpơ τ khơng gian véctơ X tương hap vói cau trúc đai so, neu phép toán đai so X liên tuc tơpơ đó, túc là: x + y m®t hàm liên tuc cna hai bien x, y Cu the, vói MQI lân c¾n V cna điem x + y eu cú mđt lõn cắn Ux cna x v mđt lõn cắn Uy cna y cho neu xJ ∈ Ux, yJ ∈ Uy xJ + yJ ∈ V αx m®t hàm liên tuc cna hai bien α, x Cu the, vói MQI lân c¾n V cna αx đeu có m®t so ε > mđt lõn cắn U cna x cho J (α − ε, α + ε) αJxJ ∈ V Bây giị, gia su ngưoc lai, vói moi a ∈ A ton tai b ∈ A cho R (a, b) khơng S Khi A = U (b), nghĩa {U (b)}b∈A phn mo cna A b∈A Vì A khác rong, compact U (b) t¾p mo, nên ton tai (b1, , bn) ⊂ A cho n S A = i= U (bi) GQI {βi : i = 1, 2, , n} phân hoach đơn v% đoi vói HQ phn mo {U (bi ) : i = 1, 2, , n} cna A, túc {βi : i = 1, 2, , n} hàm liên tuc thoa mãn đieu ki¾n sau đây: ≤ βi (a) ≤ 1, Σn i= βi (a) = 1; ∀a ∈ A, i = 1, 2, , n, neu a ∈/ U (bi ) vói i βi (a) = 0, v¾y R (a, bi ) Theo đieu ki¾n (ii), vói moi {a1, , an} ⊂ A có ton tai ϕn : ∆n → A cho vói moi λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n ton tai i ∈ J (λ) cho R (ϕn (λ) , ai) e J (λ) = {i ∈ {1, , n} : λi > 0} Tiep theo, ánh xa ψ : A → A đưoc đ%nh nghĩa boi ψ (a) = ϕn (β1 (a) , , βn (a)) , ∀a ∈ A Vì A có tính chat điem bat đ®ng, ton tai a ∈ A cho a = ψ (a) = ϕn (β1 (a) , , βn (a)) Khi ton tai i0 ∈ {i ∈ {1, , n} : βi (a) > 0} cho R (a, bi0 ) đúng, túc R (ψ (a) , bi0 ) Khi a ∈/ U (bi0 ) túc βi0 (a) = Đieu mâu thuan vói i0 ∈ J (β1 (a) , , βn (a)) , nghĩa βi0 (a) > V¾y đieu gia su sai Do ton tai a∗ ∈ A cho R (a∗ , b) vói MQI b ∈ A Ta có đ%nh lý ton tai nghi¾m cna tốn quan h¾ bien phân tőng qt khơng có tính chat KKM dưói Đ%nh lý 4.2.2 Cho A, B hai t¾p khác rőng, compact cua khơng gian véctơ tơpơ Hausdorff A có tính chat điem bat đ®ng S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ A, T : A × A ⇒ A ánh xa đa tr% vái giá tr% khác rőng R (a, b, y) quan h¾ giua phan tu a ∈ A, b ∈ B y ∈ Y Gia su rang: (i) E := {a ∈ A : a ∈ S1 (a)} t¾p đóng; (ii) Vái mői a ∈ A S2 (a) ⊂ S1 (a) S2−1 (b) t¾p má A vái mői b ∈ A; (iii)Vái mői điem b ∈ A, T (·, b) nua liên tnc dưái; (iv) Vái mői điem b ∈ A, R (·, b, ·) đóng; (v) Vái mői t¾p huu han {a1, , an} cua A ton tai ánh xa liên tnc ϕn : ∆n → A cho vái mői λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n ton tai i ∈ J (λ) cho R (ϕn (λ) , ai, y) vái MQI y ∈ T (ϕn (λ) , ai); Neu ∈ S2 (ϕn (λ)) vái mői i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)), J (λ) = {i ∈ {1, , n} : λi > 0} Khi ton tai a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) R (a∗ , b, y) vái MQI b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) Chúng minh Đ%nh nghĩa quan h¾ bien phân ρ (a, b) giua phan tu a, b ∈ A boi: ρ (a, b) neu chi neu ho¾c b ∈/ S2 (a) ho¾c a ∈ S1 (a) R (a, b, y) ∀y ∈ T (a, b) (I) Vói moi điem b ∈ A moi lưói {aα} h®i tu đen a mà ρ (aα, b) vói MQI α Ta có hai trưịng hop: (1) Neu b ∈/ S2 (aα ) aα ∈/ S2−1 (b) Tù gia thiet S2−1 (b) mo A vói MQI b ∈ A suy a ∈/ S2−1 (b), túc b ∈/ S2 (a) V¾y ρ (a, b) (2) Neu aα ∈ S1 (aα) R (aα, b, y) ∀y ∈ T (aα, b) a ∈ S1 (a) theo đieu ki¾n (i) Neu ton tai y ∈ T (a, b) cho R (a, b, y) không Tù gia thuyet T (·, b) nua liên tuc dưói nên ton tai yα ∈ T (aα, b) vói yα → y Vì R (·, b, ·) đóng nên t¾p {(a, y) ∈ A × B : R (a, b, y) khơng } t¾p mo Do ton tai α0 cho R (aα, b, yα) không vói moi α > α0 Đieu mâu thuan vói R (aα, b, y) vói y ∈ T (aα, b) V¾y a ∈ S1 (a) R (a, b, y) vói y ∈ T (aα, b) V¾y ρ (a, b) đúng, nghĩa ρ (·, b) đóng vói moi điem co đ%nh b ∈ A (II)Theo đieu ki¾n (v) vói bat kỳ t¾p huu han {a1, , an} cna A, ton tai ánh xa liên tuc ϕn : ∆n → A cho vói moi λ ∈ ∆n, ∃i ∈ J (λ) cho R (ϕn (λ) , ai, y) vói y ∈ T (ϕn (λ) , ai) V¾y ta có hai trưịng hop (1) Neu có i0 ∈ J (λ) cho ai0 ∈/ S2 (ϕn (λ)) ,v¾y ta có ϕn (λ) ∈ A\S2−10 (ai ) Do ρ (ϕn (λ) , ai0 ) (2) Neu ∈ S2 (ϕn (λ)) vói moi i ∈ J (λ), theo đieu ki¾n (v) ta có ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) Theo đieu ki¾n (ii) ta có S2 (φn (λ)) ⊂ S1 (φn (λ)) V¾y ϕn (λ) ∈ S1 (ϕn (λ)) vói moi λ ∈ ∆n ton tai i ∈ J (λ) cho R (ϕn (λ) , ai, y) vói moi y ∈ T (ϕn (λ) , ai) Suy ρ (ϕn (λ) , ai0 ) Như v¾y moi t¾p huu han {a1, , an} cna A, ton tai ánh xa đa tr% ϕn : ∆n → A cho vói moi λ = {λ1, , λn} ∈ ∆n ton tai i ∈ J (λ) cho ρ (ϕn (λ) , ai) (III) Do đó, theo Đ%nh lý 4.1.1, ton tai a∗ ∈ A cho ρ (a∗ , b) đúng, túc a∗ ∈ S1 (a∗ ) R (a∗ , b, y) vói b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) H¾ qua 4.2.1 trưịng hop đ¾c bi¾t cna Đ%nh lý 4.2.2 H¾ qua 4.2.1 Cho A t¾p khác rőng, compact cua khơng gian véctơ tơpơ Hausdorff A có tính chat điem bat đ®ng Gia su rang: (i) E t¾p đóng; (ii) Vái mői a ∈ A S2 (a) ⊂ S1 (a) S2−1 (b) má A vái MQI b ∈ A; (iii)Vái mői điem b ∈ A, R (·, b) đóng; (iv)Mői t¾p huu han {a1, , an} cua A ton tai ánh xa liên tnc ϕn : ∆n → A cho mői λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n ton tai i ∈ J (λ) cho R (ϕn (λ) , ai) đúng; Neu ∈ S2 (ϕn (λ)) vái i ∈ J (λ) ϕn (x) ∈ S2 (ϕn (λ)), J (λ) = {i ∈ {1, , n} : λi > 0} Khi ton tai a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) R (a∗ , b) vái MQI b ∈ S2 (a∗ ) Tiep theo ta nêu đ%nh lý KKM tőng quát Đ%nh nghĩa 4.2.3 Cho A t¾p khác rong, compact cna khơng gian véctơ tôpô Hausdorff Ánh xa đa tr% F : A ⇒ A đưoc GQI ánh xa KKM tőng quát neu moi t¾p huu han {a1 , , an } ⊂ A ton tai ánh xa liên tuc ϕn : ∆n → A cho vói moi λ = (λ1 , , λn ) ∈ ∆n ton tai i ∈ J (λ) cho ϕn (λ) ∈ F (ai ) Chú ý 4.2.1 Neu ϕn (λ) = λ1a1 + + λnan ánh xa KKM ánh xa KKM xét o Chương Đ%nh lý 4.2.3 Cho A t¾p khác rőng, compact cua không gian véctơ tôpô Hausdorff , ánh xa đa tr% F : A ⇒ A ánh xa KKM tőng quát có giá tr% đóng T F (a) ƒ= ∅ A có tính chat điem bat đ®ng Khi a∈A Chúng minh Áp dung Đ%nh lý 4.2.1, R (a, b) neu chi neu a ∈ F (b) Tiep theo đ%nh lý tőng quát ve sn tương giao Ky Fan Đ%nh lý 4.2.4 Cho A t¾p khác rőng compact cua khơng gian véctơ tơpơ Hausdorff , A có tính chat điem bat đng B A ì A thúa cỏc ieu ki¾n sau: (i) Vái mői b ∈ A, {a ∈ A : (a, b) ∈ B} t¾p má A; (ii) Vái mői t¾p huu han {a1, , an} cua A ton tai ánh xa liên tnc ϕn : ∆n → A cho vái mői λ = (λ1 , , λn ) ∈ ∆n ton tai i ∈ J (λ) đe (ϕn (λ) , ) ∈/ B Khi ∃a∗ ∈ A cho (a∗ , b) ∈/ B vái MQI b ∈ A Chúng minh Đ%nh nghĩa quan h¾ bien phân R (a, b) boi: R (a, b) neu chi neu (a, b) ∈/ B Ta có tù đieu ki¾n (i), vói moi b ∈ A, t¾p {a ∈ A : (a, b) ∈ B} t¾p mo A nên vói moi b ∈ A, t¾p {a ∈ A : (a, b) ∈/ B} t¾p đóng A Gia su lưói {aα} ∈ A, {aα} h®i tu đen a Ta có R (aα , b) (aα , b) ∈/ B mà t¾p {a ∈ A : (a, b) ∈/ B} t¾p đóng A nên (a, b) ∈/ B suy R (a, b) V¾y R (·, b) đóng vói MQI b ∈ A Theo đieu ki¾n (ii), vói moi t¾p huu han {a1, , a2} cna A ton tai ánh xa đa tr% ϕn : ∆n → A cho vói moi λ ∈ ∆n ton tai i ∈ J (λ) đe R (ϕn (λ) , ai) ∗ ∗ Do theo Đ%nh lý 4.2.1 R (a , b) vói MQI b ∈ A, nghĩa ∃a ∈ A cho (a∗ , b) ∈/ B vói MQI b ∈ A 4.3 Úng dnng vào m®t so tốn 4.3.1 Bài tốn bao hàm thÉc bien phân Cho A, B, Y t¾p cna khơng gian véctơ tơpơ Hausdorff F : A × A × Y ⇒ Z , G : A × A × Y ⇒ Z , S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ A, T : A × B ⇒ Y ánh xa đa tr% Bài toán bao hàm thúc bien phân (I) Tìm a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) ∈ F (a∗ , b, y) vói MQI b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) Bài toán bao hàm thúc bien phân (II) Tìm a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) F (a∗ , b, y) ⊂ G (a∗ , b, y) vói MQI b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) Bài tốn bao hàm thúc bien phân (III) Tìm a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) F (a∗ , b, y)∩G (a∗ , b, y) ƒ= ∅ vói MQI b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) Đ%nh lý 4.3.1 Cho A, B hai t¾p khác rőng, compact cua khơng gian véctơ tơpơ Hausdorff, A có tính chat iem bat đng Gia su cỏc ieu kiắn (i) (iii) cua Đ%nh lý 4.2.2 và: (1) Vái mői điem b ∈ A, {(a, y) ∈ A × B : ∈ F (a, b, y)} đóng; (2) Vái mői t¾p huu han {a1, , a2} cua A, ton tai ánh xa liên tnc ϕn : ∆n → A cho vái λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n ton tai i ∈ J (λ) cho ∈ F (ϕn (λ) , , y) vái MQI y ∈ T (ϕn (λ) , ) ; Neu ∈ S2 (ϕn (λ)) vái mői i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) Khi tốn bao hàm thúc bien phân (I) có ớt nhat mđt nghiắm tỳc l ton tai a X cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) ∈ F (a∗ , b, y) vái MQI b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) Chúng minh Áp dung Đ%nh lý 4.2.2, quan h¾ R (a, b, y) neu ∈ F (a, b, y) H¾ qua 4.3.1 Gia su đieu ki¾n (1) cua Đ%nh lý 4.3.1 đưac thay the bái đieu ki¾n sau: (a) (a, y) → F (a, b, y) đóng Khi ton tai a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) ∈ F (a∗ , b, y) vái MQI b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) Chúng minh Vói moi điem b ∈ A, neu moi lưói {(aα, yα)} {(a, y) ∈ A × Y : ∈ F (a, b, y)} h®i tu đen (a, y) ∈ F (aα, b, yα) Tù gia thuyet (a, y) → F (a, b, y) đóng nên ∈ F (a, b, y) V¾y {(a, y) ∈ A × Y : ∈ F (a, b, y)} đóng Đ%nh lý 4.3.2 Cho A, B hai t¾p khác rőng, compact cua khơng gian véctơ tơpơ Hausdorff A có tính chat điem bat đ®ng Gia su đieu ki¾n (i) - (iii) cua Đ%nh lý 4.2.2 và: (1) Vái mői điem b ∈ A, {(a, y) ∈ A × Y : F (a, b, y) ⊂ G (a, b, y)} đóng; (2) Vái mői t¾p huu han {a1, , a2} cua A ton tai ánh xa liên tnc ϕn : ∆n → X cho vái mői λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n ton tai i ∈ J (λ) đe F (ϕn (λ) , ai, y) ⊂ G (ϕn (λ) , ai, y) vái mői y ∈ T (ϕn (λ) , ai); Neu ∈ S2 (ϕn (λ)) vái mői i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) Khi tốn bao hàm thúc bien phân (II) cú ớt nhat mđt nghiắm, tỳc l ton tai a ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) F (a∗ , b, y) ⊂ G (a∗ , b, y) vái MQI b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) Chúng minh Áp dung Đ%nh lý 4.2.2, quan h¾ R (a, b, y) neu F (a, b, y) ⊂ G (a, b, y) H¾ qua 4.3.2 Gia su đieu ki¾n (1) cua Đ%nh lý 4.3.2 đưac thay the bái đieu ki¾n sau: (a) Ánh xa (a, y) → F (a, b, y) nua liên tnc dưái, (a, y) → G(a, b, y) ánh xa đóng Khi ton tai a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) F (a∗ , b, y) ⊂ G(a∗ , b, y) vái MQI b ∈ S2 (a∗ ) y ∈ T (a∗ , b) Chúng minh Vói moi điem b ∈ A, neu moi lưói {(aα, yα)} {(a, y) ∈ A × Y : F (a, b, y) ∩ G (a, b, y)} h®i tu đen (a, y) F (aα, b, yα) ⊂ G(aα, b, yα.) Vói moi u ∈ F (a, b, y), (a, b) → F (a, b, y) nua liên tuc dưói nên ton tai uα ∈ F (aα, b, yα) ⊂ G(aα, b, yα) cho uα → u Vì (a, b) → G (a, b, y) đóng nên u ∈ G (a, b, y) Do F (a, b, y) ⊂ G (a, b, y) V¾y {(a, y) ∈ A × Y : F (a, b, y) ⊂ G (a, b, y)} t¾p đóng Đ%nh lý 4.3.3 Cho A, B hai t¾p khác rőng, compact cua khơng gian véctơ tơpơ Hausdorff A có tính chat điem bat đng Gia su cỏc ieu kiắn (i) - (iii) cua Đ%nh lý 4.2.2 và: (1) Vái mői điem b ∈ A, {(a, y) ∈ A × Y : F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) ƒ= ∅} t¾p đóng; (2) Vái mői t¾p huu han {a1, , a2} cua A ton tai ánh xa liên tnc ϕn : ∆n → A cho vái mői λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n ton tai i ∈ J (λ) đe F (ϕn (λ) , ai, y)∩ G (ϕn (λ) , ai, y) ƒ= ∅ vái mői y ∈ T (ϕn (λ) , ai); Neu ∈ S2 (ϕn (λ)) vái mői i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) Khi tốn bao hàm thúc bien phân (III) có nhat mđt nghiắm, tỳc l ton tai a A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) F (ϕn (λ) , , y) ∩ G (ϕn (λ) , , y) ƒ= ∅ vái MQI y ∈ S2 (a∗ ) z ∈ T (a∗ , b) Chúng minh Áp dung Đ%nh lý 4.2.2, quan h¾ R (a, b, y) neu F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) ƒ= ∅ H¾ qua 4.3.3 Gia su đieu ki¾n (1) cua Đ%nh lý 4.3.3 đưac thay the bái đieu ki¾n sau: (a) (a, y) → F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) ánh xa đóng Khi ton tai a∗ ∈ A cho a∗ ∈ S1 (a∗ ) F (a∗ , b, y) ∩ G (a∗ , b, y) ∅ =ƒ vái MQI b ∈ S2 (a ) y ∈ T (a , b) ∗ ∗ Chúng minh Vói moi điem b ∈ A, neu vói moi lưói {(aα, yα)} {(a, y) ∈ A × B : F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) ƒ= ∅} h®i tu đen (a, y) đó, (a, y) → F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) t¾p đóng nên ton tai uα ∈ F (aα, b, yα) ∩ G(aα, b, yα) cho uα → u ∈ F (a, b, y) ∩ G(a, b, y) Nh vắy {(a, y) A ì Y : F (a, b, y) ∩ G (a, b, y) ƒ= ∅} t¾p đóng 4.3.2 Bat thÉc Ky Fan minimax tong quát vái hàm C - tEa lõm Đ%nh nghĩa 4.3.1 (Xem [5]) Cho X không gian tôpô A, Y ⊂ X Hàm f : X ×Y → R đưoc GQI C - tna lõm A neu moi t¾p huu han {a1 , , an } cna A ton tai ánh xa liên tuc ϕn : ∆n → Y cho f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) f (ϕn (λ) , xi) ≥ ∈J (λ) vói moi λ = (λ1, , λn) ∈ ∆n i Dưói đ%nh lý ton tai nghi¾m cna bat thúc Ky Fan tőng quát Đ%nh lý 4.3.4 Cho A t¾p khác rőng, compact cua không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính chat điem bat đ®ng S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ A ánh xa đa tr% vái giá tr% khác rőng, hàm f : Aì A R l hm nhắn giỏ tr% thnc Gia su rang đieu ki¾n (i) - (iii) cua H¾ qua 4.2.1 (1) Vái mői điem b ∈ A, a → f (a, b) hàm nua liên tnc dưái; (2) Vái mői a ∈ A, f (a, a) ≤ 0; (3) Vái mői t¾p huu han {a1, , an} cua A ton tai ánh xa liên tnc ϕn : ∆n → A cho vái λ ∈ ∆n ta có f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) f (ϕn (λ) , ai) ; ≥ ∈J (λ) i Neu ∈ S2 (ϕn (λ)) vái MQI i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) Khi ton tai a∗ ∈ S1 (a∗ ) cho f (a∗ , b) ≤ vái MQI b ∈ S2 (a∗ ) Chúng minh Đ%nh nghĩa quan h¾ bien phân R (a, b) boi R (a, b) neu chi neu f (a, b) ≤ Theo gia thiet, vói moi điem b ∈ A, a → f (a, b) nua liên tuc dưói, nên R (·, b) đóng vói moi điem co đ%nh b ∈ A Theo đieu ki¾n (3), vói moi t¾p huu han {a1, , an} cna A, ton tai ánh xa liên tuc ϕn : ∆n → Y cho vói moi λ ∈ ∆n ton tai i ∈ J (λ) cho f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ≥ f (ϕn (λ) , ai) i ∈J (λ) Vói moi a ∈ A, f (a, a) ≤ nên ton tai i ∈ J (λ) cho f (ϕn (λ) , ai) ≤ 0, túc R (ϕn (λ) , ai) MQI đieu ki¾n cna H¾ qua 4.2.1 thoa mãn Do ton tai a∗ ∈ S1 (a∗ ) cho R (a∗ , b) vói MQI b ∈ S2 (a∗ ) , hay ton tai a∗ ∈ S1 (a∗ ) cho f (a∗ , b) ≤ vói MQI y ∈ S2 (x∗ ) H¾ qua 4.3.4 Cho A t¾p khác rőng, compact cua khơng gian véctơ tơpơ Hausdorff A có tính chat điem bat đng Hm f : A ì A R thóa mãn đieu ki¾n sau đây: (i) Vái mői điem b ∈ A, a → f (a, b) hàm nua liên tnc dưái; (ii) Vái mői điem a ∈ A, b → f (a, b) C - tna lõm A; (iii)Vái mői điem a ∈ A, f (a, a) ≤ 0; Khi ton tai a∗ ∈ A cho f (a∗ , b) ≤ vái MQI b ∈ A 4.3.3 Bat thÉc véctơ minimax Ky Fan véctơ tong quát vái C - P - tEa lõm Dưói tőng quát bat thúc minimax Ky Fan véctơ vói C- tna lõm, tù ta thu đưoc bat thúc minimax Ky Fan véctơ vói C P- tna lõm Đ%nh nghĩa 4.3.2 Cho X không gian tôpô, Z không gian véctơ tơpơ Hausdorff vói nón P loi, NHQN, đóng, khác rong, intP ƒ= ∅ A, Y ⊂ X Hàm f : X × Y → Z đưoc GQI C − P tna lõm A neu vói moi t¾p huu han {x1 , , xn } cna A, ton tai ánh xa liên tuc ϕn : ∆n → Y, cho vói moi λ = (λ1 , , λn ) ∈ ∆n , ton tai i ∈ J (λ) đe f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ∈ f (ϕn (λ) , xi) + P Đ%nh nghĩa 4.3.3 Hàm giá tr% véctơ f : X → Z đưoc GQI P liên tuc tai x0 ∈ X neu vói moi lân c¾n mo V cna goc Y ton tai lân c¾n mo U cna x0 X cho vói moi x ∈ U f (a) ∈ f (x0) + V + P Hàm f đưoc GQI P - liên tuc X neu f P - liên tuc tai MQI điem cna X Đ%nh lý 4.3.5 Cho A t¾p khác rőng, compact cua không gian véctơ tôpô Hausdorff A có tính chat điem bat đ®ng Cho f : A × A ⇒ Y ánh xa đa tr% Gia su đieu ki¾n (i) - (iii) cua H¾ qua 4.2.1 (1) Vái mői điem b ∈ A, ánh xa a → f (a, b) P - liên tnc; (2) Vái mői a ∈ A, f (a, a) ∈/ intP ; (3) Vái mői t¾p huu han {a1, , an} cua A, ton tai ánh xa liên tnc ϕn : ∆n → A cho vái mői λ ∈ ∆n ton tai i ∈ J (λ) cho f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ∈ f (ϕn (λ) , ai) + P Neu ∈ S2 (ϕn (λ)) vái mői i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ S2 (ϕn (λ)) Khi ton tai a∗ ∈ S1 (a∗ ) cho f (a∗ , b) ∈/ intP vái MQI y ∈ S2 (a∗ ) Chúng minh Đ%nh nghĩa quan h¾ bien phân R (a, b) boi: R (a, b) neu chi neu f (a, b) ∈/ intP Vói moi điem b ∈ A, moi lưói {aα} cna A mà R (aα, b) aα → a Gia su R (a, b) khơng đúng, f (a, b) ∈ intP V¾y ton tai lân c¾n mo V cna điem goc Y cho f (a, b) + V ∈ intP Vói moi điem b ∈ A, ánh xa a → f (a, b) P - liên tuc, nên ton tai lân c¾n mo U cna a A cho vói moi aJ ∈ U ta có f (aJ , b) ∈ f (a, b) + V + P ⊂ intP + P ⊂ intP Tù suy ton tai α0 cho f (aα, b) ∈ intP vói α > α0 Đieu mau thuan vói gia thuyet R (aα , b) V¾y R (·, b) đóng MQI b ∈ A Hơn nua, theo đieu ki¾n (3), vói moi t¾p huu han {a1, , an} cna A ton tai ánh xa liên tuc ϕn : ∆n → A cho vói moi λ = {λ1, , λn} ∈ ∆n, ton tai i0 (λ) ∈ J (λ) cho f (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ∈ f ϕn (λ) , a + P i0(λ) Neu ton tai λ0 ∈ ∆n cho R (ϕn (λ0Σ) , yi ) khơng vói MQI i ∈ J (λ0 ) f (ϕn (λ0) , ai) ∈ intP Vói MQI i ∈ J (λ0 ) tù ta có: f (ϕn (λ0) , ϕn (λ0)) ∈ f ϕn (λ0) , ai0(λ0) + P ⊂ intP + P ⊂ intP Đieu mâu thuan gia thiet fΣ(a, a) ∈/ intP vói MQI a ∈ A Khi đó, vói MQI λ ∈ ∆n , ton tai i (λ) ∈ J (λ) cho R ϕn (λ) , ai(λ) ∗ Tù theo H¾ qua 4.2.1, ton tai a∗ ∈ S1 (a∗ ) cho Σ R (a , b) vói MQI y ∈ S2 (a∗ ) túc ton tai a∗ ∈ S1 (a∗ ) cho f (a∗ , b) ∈/ intP vói MQI b ∈ S2 (a∗ ) H¾ qua 4.3.5 Cho A t¾p khác rőng, compact cua khơng gian véctơ tơpơ Hausdorff A có tính chat điem bat đ®ng Ánh xa đa tr% f : A ⇒ A → Y thóa mãn đieu ki¾n sau: (1) Mői điem a ∈ A, a → f (a, b) P - liên tnc; (2) Mői điem a ∈ A, b → f (a, b) C − P - tna lõm; (3) Mői điem a ∈ A, f (a, a) ∈/ intP Khi ton tai a∗ ∈ A cho f (a∗ , b) ∈/ intP vái MQI b ∈ A 4.3.4 Trò chơi đa mnc tiêu tong qt trị chơi n - ngưài khơng hap tác tong quát Xét trò chơi đa muc tiêu n ngưòi tőng quát Γ I, Ai, F i , Gi Gia su rang: (i) I = {1, , n} t¾p hop ngưịi chơi;Σ (ii) Vói moi i ∈ I , Xi ƒ= ∅ t¾p chien lưoc đưoc thiet l¾p boi ngưịi chơi thú i; Σ Q (iii) Vói moi i ∈ I , F i = f 1i , ,kf i : A = i∈I Ai → Rk véctơ hàm chi phí boi ngưịi chơi thú Q i; (iv) Vói moi i ∈ I , Gi : A−i = J∈I\{i}Aj → 2Ai ánh xa chap nh¾n đưoc cna ngưịi chơi thú i Q Ký hi¾u A−i = i∈I\{i} Aj → 2Ai , a−i = (a1, , ai−1, ai+1, , an) ∈ A−i, a = (ai, a−i) ∈ A Σ Phan tu a∗ = a∗ , a∗ ∈ A đưoc GQI điem cân bang yeu Pareto - Nash cna Σ i − i Γ I, Ai, F , Gi neu1vói moi i ∈ I ta có: Σ Σ Σ Σ a∗ ∈i Gi a∗ −; F i ui , a∗ − − F i a∗ ,i a∗− ∈/ intR+k , ∀ui ∈ Gi −a∗ i i i i i Neu k = 1, Γ I, Ai, F , Gi trị chơi tőng qt có n ngưịi khơng hop tác m®t muc tiêu Σ Đ%nh nghĩa ánh xa U : A × A → Rk G : A → 2A boi: n Σ Σ Σ U (a, b) = F (ai, y−i) − Fi i G (a) Q = Gi i∈(a−i) i= (ai , a−i ) , I Ta có the chúng minh rang a điem cân bang yeu Pareto - Nash cna Σ Γ I, Ai , F i , Gi neu chi neu a ∈ G (a) U (a, b) ∈/+intRk vói moi b ∈ G (a) Khi ta có ket qua sau Đ%nh lý 4.3.6 Gia su rang: (i) Vái mői i ∈ I , Ai t¾p khác rőng, compact A có tính chat điem bat đ®ng; (ii) Vái mői i ∈ I , {a ∈ A : ∈ Gi (a−i )} t¾p đóng, G−i (bi ) t¾p má vái mői bi ∈ Ai; (iii)Vái mői điem b ∈ A, a → U (a, b) Rk liên +tnc; (iv) Vái mői t¾p huu han {a1, , an} cua A, ton tai ánh xa liên tnc ϕn : ∆n → A cho, vái MQI λ ∈ ∆n ton tai i ∈ J (λ) cho Σ U (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ∈ U ϕn (λ) , ++Rk Neu ∈ G (ϕn (λ)) vái MQI i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ G (ϕn (λ)) Khi ton tai nhat m®t điem cân bang yeu Pareto - Nash a∗ ∈ A cua i Γ I, Ai, F , Gi Σ Chúng minh Áp dung H¾ qua 4.3.4 Neu k = 1, ta có Đ%nh lý 4.3.7 Gia su rang: (i) Vái mői i ∈ I , Ai t¾p khác rőng, compact A có tính chat điem bat đ®ng; (ii) Vái mői i ∈ I , {a ∈ A : ∈ Gi (a−i )} đóng, G−i (bi ) má vái mői bi ∈ Ai ; (iii) Vái mői điem b ∈ A, a → U (a, b) nua liên tnc dưái; (iv) Vái mői t¾p huu han {a1, , a2} cua A, ton tai ánh xa đa tr% ϕn : ∆n → A cho, vái mői λ ∈ ∆n ton tai i ∈ J (λ) cho Σ U (ϕn (λ) , ϕn (λ)) ≥ U ϕn (λ) , i ∈J (λ) Neu ∈ G (ϕn (λ)) vái mői i ∈ J (λ) ϕn (λ) ∈ G (ϕn (λ)) Khi ton tai nhat m®t điem cân bang Nash a∗ ∈ A cua Γ I, Ai , F i , Gi Σ Chúng minh Áp dung H¾ qua 4.3.4 4.4 Ket lu¾n Chương trình bày phương pháp mói đe nghiên cúu tốn quan h¾ bien phân khơng có tính chat KKM Tù ta có đ%nh lý ton tai nghi¾m cna tốn bao hàm thúc bien phân, bat thúc minimax Ky Fan véctơ tőng qt , trị chơi n ngưịi khơng hop tác tőng quát trò chơi đa muc tiêu tőng quát KET LU¾N Dna báo [3]-[5] nhung kien thúc ve giai tích hàm ánh xa đa tr%, lu¾n văn trình bày sn ton tai nghi¾m cna tốn quan h¾ bien phân trưịng hop tốn có ho¾c khơng có tính chat KKM tính loi Chúng tơi co gang chúng minh chi tiet đ%nh lý ket qua báo nêu Bài tốn quan h¾ bien phân nhieu ket qua phong phú nhieu câu hoi mo chưa đưoc trình bày lu¾n văn Vì v¾y, theo chúng tơi, tốn quan h¾ bien phân m®t đe tài cịn nhieu đieu thú v% có the khai thác Tài li¾u tham khao [A] Tài li¾u Tieng Vi¾t [1] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giai tích hàm, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i [2] Nguyen Đơng n (2007), Giáo trình giai tích đa tr%, NXB Khoa HQc Tn nhiên Cơng ngh¾ [B] Tài li¾u Tieng Anh [3] D T Luc (2008), An Abstract Problem in Variational Analysis, J Optim Theory Appl 138, 65 - 76 [4] D T Luc, Ebrahim Sarabi, Antoine Soubeyran (2010), Existence of solutions in variational relation problems without convexity, J Math Anal Appl 138, 544 - 555 [5] Y.J Pu, Z Yang (2012), Variational relation problem without the KKM property with applications, J Math Anal Appl 393, 256 - 264 ... cân bang, toán tna cân bang, toán bao hàm thúc bien phân, toán bao hàm thúc tna bien phân, tốn bat thúc bien phân có the bien đői đưoc ve toán Bài toán quan h¾ bien phân đưoc phát bieu sau: Cho... ∈A Chương Bài tốn quan h¾ bien phân Trong chương ta trình bày tốn quan h¾ bien phân đưa m®t so tốn có the xem tốn quan h¾ bien phân trình bày sn ton tai nghiêm cna tốn quan h¾ bien phân dna tính... 3.2.3 Bài tốn điem bat đ®ng 35 3.2.4 Bài toán cân bang Nash 35 3.2.5 Bài tốn cân bang chien lưoc tr®i 36 Bài 4.1 4.2 4.3 tốn quan h¾ bien phân khơng có tính chat KKM 38 Quan