Luận văn thạc sĩ phân tích phổ toán tử laplace đẳng biến trên nửa mặt phẳng poincaré

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN TR±NH NGOC TIEN PHÂN TÍCH PHO TỐN TU LAPLACE ĐANG BIEN TRÊN NUA M¾T PHANG POINCARÉ Chuyên nghành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60460102 LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC GS TSKH ĐŐ NGOC DIfiP HÀ N®I - NĂM 2015 Mnc lnc Ma đau Kien thÉc chuan b% 1.1 Hình HQc tốn tu vi phân .5 1.2 Mđt nghiắm cna phng trình lϕ = s(1 − s)ϕ 1.3 Giai cna tốn tu Laplace nua m¾t phang Poincaré vói σ > 11 1.4 Sn đoi xúng cna tốn tu Laplace nua m¾t phang Poincaré 15 Mơ hình Whittaker cho rài rac 19 2.1 Hàm Green phương trình Whittaker 19 2.2 Phân tích cna giai nua m¾t phang Poincaré vói σ 23 >3 2.3 Phương trình −ψJJ(y) = s(1−s) ψ(y) [a, ∞) 28 y2 2.4 Hàm riêng cna Laplacian không gian Hilbert E = L2(Γ\H) 31 Chuői Eisenstein liên tnc 37 3.1 Phương trình giai khoang < σ < .37 3.2 Toán tu Eisenstein hàm Eisenstein .40 Ket lu¾n 42 Tài li¾u tham khao 43 Ma đau Trong lu¾n văn này, vi¾c phân tích phő tốn tu Laplace bien nua m¾t phang Poincaré đưoc su dung theo phương pháp phân tích tù lý thuyet nhieu lý thuyet tán xa,lý thuyet phân tích phő có the đưoc chúng minh neu biet hàm Eisenstein tương úng có loai vói thác trien giai tích,và sn liên quan vói SL(2, Z).Thác trien giai tích cna HQ tốn tu đưoc thnc hi¾n đong thịi vói sn thác trien cna nhân cna chúng Nguon goc cna phương trình hàm thác trien giai tích nam phương trình giai R(s) − R(sJ ) = [s(1 − s) − sJ (1 − sJ )]R(s)R(sJ ), vói R(s) giai cna tốn tu Laplace Thay nghiên cúu R(s) ta có cơng thúc R(s) = Q(s) + (I + ωQ(s)) C(s) (I + ωQ(s)) , cơng thúc có the tìm giai cho tốn tu C(s) Hilbert E tu =mơLLaplace (Γ\H) ta muon mô ta phân bang cách L Chúng đưoc r®ng tn phő liên hop AAGQI khơng gian ta khơng gian mo riêng thành tìm ratốn nhântutích η(z, s) cna đưoc hàm Toán Eisentein.Hàm Eisentein thoa mãn m®t phương trình hàm nhat đ%nh đưoc gan vói lý thuyet phő Cau trúc lu¾n văn gom chương: Chương trình bày tóm tat kien thúc chuan b% ve tốn tu Laplace di¾n Riemann; Chương trình bày mơ hình Whittaker cho phő rịi rac; Chương trình bày chuoi Eisenstein phő liên tuc M¾c dù rat co gang kien thúc han che nên làm lu¾n văn khơng tránh khoi nhung sai sót Tác gia mong nh¾n đưoc sn góp ý ý kien phan bi¾n cna q thay ban ĐQc Tơi xin chân thành cam ơn! Hà N®i, tháng năm 2015 HQc viên Tr%nh NGQc Tien Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành ngồi sn no lnc cna ban thân cịn có sn hưóng dan t¾n tình cna GS TSKH Đo NGQc Di¾p Thay dành nhieu thịi gian q báu cna đe kiên trì hưóng dan giai đáp thac mac cna tơi suot ca q trình làm lu¾n văn Tơi muon bày to lịng biet ơn chân thành sâu sac nhat tói ngưịi thay cna Tơi muon gui tói tồn the thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i, thay đam nh¾n giang day khóa Cao HQc 2012 - 2014, đ¾c bi¾t thay tham gia tham gia giang day nhóm giai tích 2012 - 2014 lịi cam ơn chân thành đoi vói cơng lao day suot thịi gian cna khóa HQc Tơi xin cám ơn gia đình, ban bè, đong nghi¾p, anh ch% em nhóm Cao HQc Tốn 2012-2014, đ¾c bi¾t anh ch% em nhóm Giai tích quan tõm, giỳp ừ, tao ieu kiắn cng nh đng viờn tinh than đe tơi có the hồn thành khóa HQc Chương Kien thÉc chuan b% 1.1 Hình HQC tốn tE vi phân Hình HQC Kí hi¾u G = SL(2, R) nhóm ma tr¾n vng cap có đ%nh thúc bang trưịng so thnc R a b G = SL(2, R) = Σ | a, b, c, d ∈ R, ad − bc = 1Σ c Kí hi¾u H nua cna m¾t phang phúc (cịn đưoc GQI nua m¾t phang Poincaré) H = {x + iy, x, y ∈ R, y > 0} Nhóm G tác đ®ng lên H boi phép bien đői phân tuyen tính: z → gz = Xét hàm az + b a , vói g = c cz + d b Σ∈ G, z ∈ H J z |, u(z, z J ) |z − 4yy J = vói z = x + iy, z J = xJ + iy J Rõ ràng u(z, z J ) bat bien G túc u(z, z J ) = u(gz, gz J ), vói ∀g ∈ G Trên nua m¾t phang H, metric Poincaré đưoc đ%nh nghĩa z ydzd dx2 + dy2 ds2 = De dàng ta có = y2 dz d(gz) = (cz + Im(gz) = , d) Imz |cz + d| Đ%nh nghĩa 1.1 Neu z(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [a, b] đưàng cong H chieu dài cua ∫b dt xJ (t)2 + y J (t)2 s = a y(t) Đ%nh nghĩa 1.2 Hàm khoang cách ς(z, z J ) bang chieu dài cua đưàng cong trac đ%a noi hai điem z z J Đe x(t) + iy(t) đưòng cong noi i iy0 chieu dài cna ∫ J y(b) y (t) dt y(t) ς(i, iy0) = y(a) Khoang cách giua i it (t > 1) ς(i, ∫t it) = dy y * D = {z : |z| < 1} đĩa đơn v% vói 4(dx2 + dy2) ds = = ln t (1 − x2 − y2) = 2 4(d (1 , )2 x + − d y r ) vói r2 = x2 + y2 Khi khoang cách cho boi ∫ r dρ 1+r ς(r) = − ρ2 = ln 1−r * Di¾n tích cna đĩa bán kính r đưoc cho boi ∫ ∫ r 2π 4ρdρdθ − 4πr2 A(r) = (1 ρ − r = ) 0 Toán tE vi phân Đ%nh nghĩa 1.3 Cho g đai so Lie cua G vái g t¾p ma tr¾n có vet bang Cho X ∈ g, toán tu vi phân LX C∞(H) cho bái d | f L V (etXz) ói X f dt ( z ) = t X1 = Σ , X2 = 0 Σ , X3 = ∫ Σ (f, g) = , h i ¾ u −1 0 10 k í H dxdy L1 = , L ∂x ∂ = ( − 2xy , y ∂y x ∂ ) − ∂ x ∂ ∂ L3 = 2x + 2y , 2∂y ∂x ∂ ∂ L = −y ( + ) = −L3 − (L2L3 + 2 ∂x ∂y L3L2) Đ%nh nghĩa 1.4 Tốn tu L = −y H f (z).g(z)dµ(z ), vỏi l đ o G-bat bien trờn H dà( z) = y2 L1 = LX1 , L2 = LX2 , L3 = LX3 Theo TQA đ® z = (x, y) đó,de dàng ta chúng minh đưoc ∂ Σ đưac GQI Đ%nh nghĩa 1.5 Cho f, g ∈ Cc∞(H) ta đ%nh nghĩa tích vơ hưáng tốn tu Laplace ∂ ∂x22 + ∂y∂ 22 V¾y nên aJ nJ (y) + s(1 s) − an(y) = − ∫2 ∂2 −1 y2 e−2πinxdx ψ Σ ∂x ∫ Σ = 2 ∂ψ −2πinx −1 ∂x e − = 2πin Σ ψe Σ−2πin 2πin ∂ψ −2πinx dx ∂xe − 12 −1 ∫ dx − (2πin) − Cho nên ψe−2πin x x (y) = 4π2n2a (y) s (1 − s a)JJna(y) + Do đó,ton tai bn, cn cho y2 n n an(y) = bnWs(4π |n| y) + cnVs(4π |n| y) Trong Ws, Vs nghi¾m cna phương trình Whitteker (1).Vói Ws(y), Vs(y) đưoc xác đ%nh theo cơng thúc o ví dn 2.2 so nhân.V¾y neulàψnghi¾m ∈ L2 ho¾c ∈B đó,ton tai y tăng saotheo cho cap µ n = Khi y ≥ yđó cós(y) Trong giamψtheo cap socnhân,V 1,taW s(y) nghi¾m −y |Ws(y)| ∼ e ton C1 chuoi > cho hđi tu o Mắttai khỏc Fourier suy MQi điem,do h¾ so cna b% ch¾n.Túc |an(y1)| = |bnWs(4π |n| y1)| ≤ C1, Tù đó,ta có | b n| e2π|n|y1 |ψ(x + iy) − a0(y)|n= 0= Σ Σ |an(y)|nƒ= e2π|n|y1 e−2π|n|y e−2πy Suy ψ(x + iy) = a0(y) + O(e−2πy) Tiep theo, a0(y) nghi¾m cna (y) phương trình JJ a (y) = − s( 1− s) a y2 Do đó,ton tai b0, c0 cho a0(y) = b0ys + c0y1−s (đpcm) Chương Chuői Eisenstein liên tnc 3.1 Phương trình giai khoang < σ < Cho k > 3, R = R(k), T = T (k), V = V (k), ω = ω(s) = s(1 − s) − k(1 − k) Ta có phân tích R = T + V Phương trình giai ban R(s) − R = ω(s)RR(s) Đ%nh nghĩa 3.1 Cho ánh xa s ›→ K(s) HQ hàm giai tích cua tốn tu compact tù khoang < σ < 2,vào không gian cua tốn tu compact B−1 Điem s thóa mãn s =2 ho¾c I − ωK(s) khơng kha ngh%ch, s đưac GQI điemlàkì d% Bo đe 3.1 Cho ≤ s < 2, s ƒ=gia su s khơng kì d%.Khi ton tai nhieu nhat toán tu X E = L2(Γ\H) cho X − R = ω(s)RX (∗) ChÚng minh Gia su X, X J nghi¾m cna phương trình (∗) X − X J = ω(s)R(X − X J ) Neu X − X J ƒ= vói cna phương trình MQI véctơ ψ = (X − X J )h ƒ= 0, vói h ∈ E nghi¾m ψ = ω(s)Rψ Đieu có nghĩa I − ω(s)R không kha ngh%ch, hay s điem kì d% (mâu thuan vói gia thiet) Bo đe 3.2 Cho s khơng kì d% < σ < 2,toán tu I − ωK(s) : B−1 → B−1, kha ngh%ch,và ton tai tốn tu b% ch¾n C(s) : B−1 → B−1, cho (I − ωK(s)) C(s) = V, C(s) compact Đ%nh lí 3.1 Cho s khơng kì d% khoang 12 < σ < C(s) = [I − ω(s)K(s)]−1V Khi đó,trên khơng gian E ta có R(s) = Q(s) + (I + ωQ(s)) C(s) (I + ωQ(s)) ChÚng minh Ta có I ωT = (I + ωQ(s))−1, − T + ωQ(s)T = Q(s) Khi R(s) − R = ωRR(s) (1) ⇔ R(s) − R = ωTR(s) + ωV X ⇔ (I − ωT )R(s) = R + ωV R(s) ⇔ R(s) = (I + ωQ(s)) R + ω (I + ωQ(s)) V R(s) ⇔ R(s) = Q(s) + (I + ωQ(s))V + ω(I + ωQ(s))V R(s) M¾t khác C(s) = [I − ω(s)K(s)]−1V ⇔ [I − ω(s)K(s)] C(s) = V ⇔ C(s) = V + ωK(s)C(s) ⇔ C(s) = V + ωV (I + ωQ(s))C(s) ⇔ C(s)(I + ωQ(s)) = V (I + ωQ(s)) + ωV (I + ωQ(s))C(s)(I + ωQ(s)) ⇔ C(s)(I + ωQ(s)) = V + ωV [Q(s) + (I + ωQ(s))C(s)(I + ωQ(s))] ⇔ Q(s) + (I + ωQ(s))C(s)(I + ωQ(s)) = Q(s) + (I + ωQ(s))V + + ωV [Q(s) + (I + ωQ(s))C(s)(I + ωQ(s))] X = Q(s) + (I + ωQ(s))C(s)(I + ωQ(s)) Đ¾t Khi đó,ta có X = Q(s) + (I + ωQ(s))V + ω(I + ωQ(s))V X ⇔ X − R = ωRX Tù (1) (2) ta có (2) X = R(s) V¾y R(s) = Q(s) + (I + ωQ(s)) C(s) (I + ωQ(s)) Đ%nh lí 3.2 i) Cho < σ < s, − s khơng kì d% B−1 ta có C(s) − C(1 − s) = ω2(s)C(s) [Q(s) − Q(1 − s)] C(1 − s) E ta có ii) Cho σ, σJ >1 C − C J = (ω − ω J )C(I + ωQ)(I + ω J QJ )C J , vái C = C(s), C J = C(sJ ), ω = ω(s), ω J = ω(sJ ) ChÚng minh Vói C = (I − ωK)−1V B−1 ta có Σ J C − C = (I − ωK)−1 − (I − ω J K J )−1 V Σ = (I − ωK)−1 (ωK − ω J K J )(I − ω J K J )−1 V, vói K = V (I + ωQ), K J = V (I + ω J QJ ) Ta có C − C J = (I − ωK)−1 [ωV (I + ωQ) − ω J V (I + ω J QJ )] (I − ω J K J )−1 V Suy C − C = (I − ωK) J −1 Σ J2 (ω − ω )V + (ω Q − ω Q )V J J Σ (I − ω J K J ) Nên −1 V C − C J = C(ω − ω J + ω 2Q − ω J2QJ )C J (3) Đ¾t sJ = − s ta có ω(s) = ω(1 − s) C(s) − C(1 − s) = Σ = C(s) ω(s) − ω(1 − s) + ω2(s)Q(s) − ω2(1 − s)Q(1 − s) C(1 − Σ s) Cho nên C(s) − C(1 − s) = ω2(s)C(s) [Q(s) − Q(1 − s)] C(1 − s) M¾t khác áp dung công thúc Q − QJ = (ω − ω J )QQJ Khi đó,cơng thúc (3) tương đương vói C − C J = (ω − ω J )C(I + ωQ)(I + ω J QJ )C J 3.2 Toán tE Eisenstein hàm Eisenstein Cho θ(z, s) hàm F đưoc xác đ%nh sau: • θ(z, s) = F0; • θ(z, s) có thành phan θ1(z, s) = θ(y, s) = ys + c(s)y1−s F1, vói µ = max(σ, − σ) c(s) = a2s1 sk s 1+k Bà, W(s) = ω [I + ωQ(s)] C(s), vói ω = ω(s) = s(1 − s) − k(1 − k), s khơng kì d% khoang < σ < Đ%nh nghĩa 3.2 Ta đ%nh nghĩa: 1) I + W (s) toán tu Eisenstein ; 2) η(z, s) = (I + W(s))θ(z, s) = θ(z, s) + W(s)θ(z, s) hàm Eisenstein Kí hi¾u η = η(z, s); θs = θ(z, s); R = R(k); T = T (k); W = W(s) Bo đe 3.3 Cho k > < σ < ta có ω(s)T (k)θs = θs Khi ta có moi quan h¾ tốn tu ES1 ω(s)R(k)ηs = ηs; Nói cách khác, hàm Eisenstein giá tr% riêng cna giai cna Laplacian ChÚng minh Ta can chúng minh ωR(I + W) = ωT + W Tù đ%nh nghĩa,ta có W = ω(I + ωQ)C; R = T + V, C = V + ωV (I + Ta có ωQ)C ωR(I + W) = ω(T + V ) [I + ω(I + ωQ)C] = ω [T + ω(I + ωQ)TC + V (I + ω(I + ωQ)C] = ω [T + ω(I + ωQ)TC + C] = ω [T + ω(T + ωQT )C + C] = ω(T + ωQC + C) = ω [T + (I + ωQ)C] = ωT + W V¾y theo bő đe trên,ta có ωR(I + W)θs = (I + W)θs ES2 Lη(z, s) = s(1 − s)η(z, s); ES3 Cho < σ < s, − s khơng kì d%, ta có r(z, z J ; s)−r(z, z J ; 1−s) = η(z, s)η(z J , s) − 2s − Ket lu¾n Lu¾n văn dành cho vi¾c phân tích phő cna tốn tu Laplace nua m¾t phang Poincaré.Đe tài nam chương trình Langlands có úng dung lý thuyet so hi¾n đai,lý thuyet bieu dien,giai tích đieu hũa Nđi dung chớnh cna luắn l: ã Trỡnh bày chuoi rịi rac đưa đen mơ hình Whittaker ( Đ%nh lý 2.2 cna Maass,Đ %nh lý 2.1 ); • Trình bày giai R(s) khơng gian E (Đ%nh lý 3.1) phương trình hàm cho tốn tu C(s) ( Đ%nh lý 3.2 ); • Trình bày hàm Eisenstein hàm riêng cna toán tu Laplace(Bài 3.2) liên h¾ vói phő liên tuc.Các chúng minh đưoc dan giai chi tiet nhieu so vói tài li¾u Tuy nhiên dù rat co gang không tránh khoi nhung sai sót, rat mong đưoc sn góp ý cna thay ban ĐQc Tài li¾u tham khao [1]S Lang, SL(2, R), Springer – Verlag, New York – Berlin – Heidelberg – Tokyo,1974 [2]T.Kubota, Elementary Theory of Eisenstein Series, Kodansha LTD Tokyo John Wiley & Sons, New York - London - Sydney - Toronto, 1973 ... < σ < .37 3.2 Toán tu Eisenstein hàm Eisenstein .40 Ket lu¾n 42 Tài li¾u tham khao 43 Ma đau Trong lu¾n văn này, vi¾c phân tích phő tốn tu Laplace bien nua m¾t phang Poincaré đưoc su... −f )ds, = ∂n ∂n ∂Fa (theo đ%nh lý Stokes) Tích phân ∂Fa có nhung c¾p đ%nh hưóng ngưoc nhau, nên tích phân moi c¾p bang khơng.Chi cịn lai vi¾c xét tích phân biên y = a Do Σ ∫ Σ ∂f ∂g g dx Ia =... c(B − ∫ tích hang so c > cho phân tù A |Ia| ≥ c 2> 0, đen B hai ve ta có ∫∫ ∫ Σ Σ Σ − a Σ | +∂f ∂d I d ∂y gx a a 2d | ∂yy, y A A = a tích phân b % ch¾n M¾t khác a →∞ Ia − V¾y tích phân khơng