Luận văn thạc sĩ nghiên cứu tính chất của hợp chất la2 3ca1 3mn1 xCOxO3

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN BÙI VĂN HUAN BÀI TOÁN CHIA HET TRONG SO HOC LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2014 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN BÙI VĂN HUAN BÀI TOÁN CHIA HET TRONG SO HOC Chuyên ngành: Phương pháp tốn sơ cap Mã so: 60.46.01.13 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC HƯéNG DAN KHOA HOC: TS PHAM VĂN QUOC Lài cam ơn Đe hồn thành đưoc chương trình đào tao cao HQc hồn thành lu¾n văn này, tác gia lu¾n văn nh¾n đưoc rat nhieu sn giúp đõ, quan tâm, tao đieu ki¾n cna gia đình, cna Thay Cô giáo, cna quan ban bè đong nghi¾p Lịi đau tiên, em xin gui lịi cam ơn chân thành nhat tói Thay, Cơ giáo tham gia giang day cho chúng em trình HQc cao HQc Đ¾c bi¾t, em xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói TS Pham Văn Quoc t¾n tình hưóng dan chi bao em q trình hồn thành lu¾n văn Em xin chân thành cam ơn Ban Chn nhi¾m khoa Tốn – Cơ – Tin hQc, phòng Sau đai HQc phòng, ban trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia H Nđi ó tao ieu kiắn thuắn loi đe em hồn thành khóa HQc thn tuc bao v¾ lu¾n văn tot nghi¾p Tác gia lu¾n văn xin cam ơn các cap quan lý tao đieu ki¾n cho tơi đưoc tham gia khóa HQc cao HQc đe nâng cao trình đ® chun mơn cna Xin cam ơn ban đong nghi¾p, ban bè, gia đình đ®ng viên, giúp đõ tơi q trình HQc thnc hi¾n lu¾n văn Mnc lnc Lài Ma đau Chương Các kien thÉc sa 1.1 Phép chia t¾p hop so nguyên 1.1.1 Phép chia het 1.1.2 Phép chia có dư 1.1.3 So nguyên to, hop so .8 1.1.4 Ưóc chung lón nhat, b®i chung nho nhat 1.1.5 M®t so tính chat khác ve chia het 1.1.6 M®t vài hàm so HQc thông dung 1.2 Đong dư 11 1.2.1 Khái ni¾m đong dư 11 1.2.2 M®t so tính chat cna đong dư thúc 12 1.2.3 H¾ th¾ng dư lóp thắng d 12 1.2.4 Mđt so đ%nh lý női tieng lý thuyet đong dư 13 Chương M®t so phương pháp giai toán chia het .15 2.1 Phương pháp áp dung tính chat cna phép chia het 15 2.1.1 Áp dung tính chat ban cna phép chia het 15 2.1.2 Phương pháp xét so dư 21 2.1.3 Áp dung hang thúc 26 2.2 Phương pháp áp dung đong dư 28 2.2.1 Áp dung tính chat cna đong dư thúc 28 2.2.2 Áp dung đ%nh lý ve đong dư 33 2.3 M®t so phương pháp khác 40 2.3.1 Phương pháp quy nap toán HQc .40 2.3.2 Phương pháp chúng minh phan chúng 44 2.3.3 Su dung nguyên lý Dirichlet 46 Chương M®t so tốn áp dnng 48 3.1 M®t so áp dung giai phng trỡnh nghiắm nguyờn 48 3.2 Mđt so tốn ve tính chia het so hang cna dãy so ngun 3.3 M®t so tốn ve tìm so ngun thoa mãn đieu ki¾n cho trưóc liên quan đen chia het 57 3.4 Mđt so bi khác 62 Ket lu¾n 66 Tài li¾u tham khao 68 53 Lài ma đau So HQc m®t phân mơn quan TRQNG lĩnh vnc cő xưa nhat cna Tốn HQ c So HQc sóm đưoc giang day chương trình phő thơng tù HQc sinh bat đau HQc Tốn HQc, vói vi¾c làm quen vói so khái ni¾m đơn gian tính chia het, ưóc so chung lón nhat, b®i so chung nho nhat, Cho đen cơng trình nghiên cúu cna nhà khoa HQc, So HQc lĩnh vnc có nhieu nhung tốn, gia thuyet đưoc nghiên cúu chưa đưoc giai đáp Trên đưòng tìm kiem lịi giai cho nhung tốn, gia thuyet đó, nhieu tư tưong lón, lý thuyet lón cna Tốn HQc đưoc sinh Trong chương trình phő thơng hi¾n nay, So HQc chưa đưoc giành nhieu thịi gian đe HQc chuyên sâu lĩnh vnc xuat hi¾n nhieu đe thi HQc sinh gioi cap v tro thnh mđt bđ phắn quan TRQNG chng trình giang day Tốn o lóp cHQN lóp chun Tốn, cơng cu tot đe rèn luy¾n trí thơng minh tư Tốn HQc Tác gia lna cHQN đe tài “Bài toán chia het so HQc” vói muc đích tham khao đe tiep c¾n hồn thi¾n thêm nhung van đe ban cna So HQc, làm so HQc t¾p nghiên cúu lĩnh vnc khác cna lý thuyet so sơ cap Lu¾n văn gom chương: Chương – Các kien thúc so Trong chương này, tác gia trình bày túm tat lai mđt so khỏi niắm, tớnh chat ve phộp chia cỏc so nguyờn v mđt so van đe liên quan Trong đó, lý thuyet đong dư m®t cơng cu ban manh me đe giai toán chia het Chương – M®t so phương pháp giai tốn chia het Trong chương này, tác gia trình bày m®t so phương pháp phő bien thưịng đưoc su dung tốn liên quan đen chia het như: phương pháp su dung tính chat cna phép chia het, phương pháp su dung lý thuyet đong dư đ%nh lý női tieng, phương pháp quy nap toán HQc, phương pháp chúng minh bang phan chúng, phương pháp áp dung nguyên lý Dirichlet, Chương – M®t so tốn áp dung Trong chương này, tác gia trình bày m®t so tốn cna So HQc liên quan đen phép chia het như: áp dung giai phương trình nghi¾m ngun, tính chat chia het cna so hang cna dãy so ngun, tốn tìm so ngun thoa mãn tính chat cho trưóc, Vói tat ca sn co gang, vói thịi gian, lnc có han, lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót Tác gia rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna Thay giáo, Cô giáo ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Chương Các kien thÉc sa Trong so HQc, tính chat chia het giu m®t v% trí quan trQNG Nó sá đe đưa giai quyet toán ve so nguyên to, hap so, ưác chung lán nhat, b®i chung nhó nhat, lý thuyet đong dư, Trong chương này, h¾ thong lai m®t so kien thúc ban thưàng xuyên đưac áp dnng toán ve chia het so HQc 1.1 Phép chia t¾p hap so ngun Trong t¾p hop so ngun, phép tốn cđng, trự, nhõn luụn thnc hiắn oc Tuy vắy, phộp chia m®t so nguyên a cho m®t so nguyên b ƒ= khơng phai lúc thnc hi¾n đưoc Khi phép chia so nguyên a cho so nguyên b ƒ= đưoc thương m®t so nguyên x thoa mãn phương trình bx = a ta nói rang a chia het cho b 1.1.1 Phép chia het Đ%nh nghĩa 1.1 Cho a, b so nguyên, b khác Ta nói rang a chia het cho b (hay b chia het a) neu ton tai so nguyên c cho a = bc Khi đó, ta cịn nói a b®i so cua b hay b ưác so cua a Ký hi¾u là: a b hay b | a Trên t¾p hop so nguyên, ta có tính chat sau: Tính chat 1.2 Vái MQI so nguyên a ƒ= 0, ta có: a | Vái MQI so nguyên a, ta có: | a (Tính chat phan xa) a | a (Tính chat bac cau) Neu a|b b|c a|c Neu a|b a|c a | (mb + nc) Neu a|b a|(b ± c) a|c Neu a|c b|c (ab)|(cd) Neu a|b vái MQI so tn nhiên n, ta có: (an ) | (bn ) Neu a|b |a| ≤ |b| Vì v¾y: Neu a|b a, b ngun dương a ≤ b Neu a|b b|a |a| = |b| Neu a|b (±a) | (±b) MQI so nguyên a đeu có ±1 ±a (neu a ƒ= 0) ưác so cua a, GQI ưác tam thưàng cua a Các ưác so lai GQI ưác thnc sn cua a 1.1.2 Phép chia có dư Đ%nh lý 1.3 Cho a, b so nguyên, b khác Khi ton tai nhat c¾p so nguyên (q, r), cho a = bq + r, ≤ r < |b| Đ%nh nghĩa 1.4 Cho a, b so nguyên, b khác Khi đó, ta nói rang a chia cho b có thương q so dư r neu a = bq + r, ≤ r < |b| Khi r = ta đưac a chia het cho b Khi r ƒ= ta nói rang a không chia het cho b 1.1.3 So nguyên to, hap so Đ%nh nghĩa 1.5 So nguyên to so nguyên dương lán chs có hai ưác so ngun dương So nguyên dương khác không so nguyên to đưac GQI hap so Đ%nh lý 1.6 (Euclide) T¾p hap so ngun to vơ han Đ%nh lý 1.7 (Đ%nh lý ban cua so HQC) MQI so tn nhiên lán đeu phân tích đưac thành tích thùa so nguyên to phân tích nhat neu khơng ke đen thú tn thùa so nguyên to 1.1.4 Ưác chung lán nhat, b®i chung nho nhat Đ%nh nghĩa 1.8 Ưác chung lán nhat cua hai so nguyên a, b không đong thài bang so nguyên lán nhat chia het ca a b, ký hi¾u (a, b) Khi (a, b) = 1, ta nói rang hai so a b nguyên to Tính chat 1.9 (ma, mb) = m (a, b), vái MQI m nguyên dương a b (a, b) Neu d > ưác chung cua a, b , = d Σd a b Neu (a, b) = d , Σ = d d Neu m|a, m|b m| (a, b) (a, b) = (a, −b) = (b, a) = (b, a + kb), vái MQI so nguyên k Neu (a, m) = (b, m) = (ab, m) = Neu m| (ab)và (m, a) = m|b Neu a.m, (m, n) = mn) a.n a ( Đ%nh lý 1.10 Cho a b so nguyên, d = (a, b) Khi ton tai so nguyên m, n cho d = ma + nb Bài 15 Cho dãy so nguyên (an) xác đ%nh bái: a0 = 1, a1 = −1, an = 6an−1 + 5an−2 (n ≥ 2) Chúng minh rang (a2012 − 2010) 2011 (HSG Quoc gia 2011) Lài giai Xét dãy (bn) xác đ%nh boi: b0 = 1, b1 = −1, bn = 6bn−1 + 2016bn−2 (n ≥ 2) n n 49.(−42) + 41.48 ≥ Ta tìm đưoc so hang tőng quát cna dãy = , (n 0) 90 bn Vì 2011 so nguyên to nên theo đ%nh lý Fermat, ta có: (−42)2010 ≡ 482010 ≡ (mod2011) Do 90b2012 ≡ 49.(−42)2 + 41.482 = 90b2 (mod2011) Suy b2012 ≡ b2 (mod2011) Lai có b2 ≡ 2010 (mod2011) Ngồi an ≡ bn (mod2011) V¾y a2012 ≡ 2010 (mod2011) Q Bài 16 Cho hai dãy so (un) xác đ%nh sau: u1 = 1, u2 = 2, u3 = 24, 6un− un−3 − 8un−1nu2 , n ≥ un = −2 un−2un−3 Chúng minh rang: un n, vái MQI so nguyên dương n Lài giai Đ¾t un , n ≥ Ta có = un− v2 = 2, v3 = 12, = 6v n− − n−2 v Tìm đưoc so hang tőng quát = 4n − 2n Σ Ta có: un = vn.vn−1 v2.u1 = 4n−1 − 2Σn−1 4n−2 − 2n−2 (4 − 2) +) Vói MQI so nguyên to p, theo đ%nh lý Fermat, ta có: Σ 4p−1 ≡ 2p−1 ≡ (modp) hay 4p−1 − 2p−1 p Tù đó, neu s b®i cna p − (4s − 2s) p +) Gia su n = p1 r1 p2 r2 pk rk , vói p1 < p2 < · · · < pk so nguyên to Ta có n = d1 p1 = d2 p2 = · · · = dr pr1 1 Suy n − d1 < n − d2 < · · · < n − d r1 j n − dj = dj p − 1Σ (p1 − 1), vói MQI j = 1, 2, , r1 Suy 4n−dj − 2n−dj p1 , vói MQI j = 1, 2, , r1 V¾y u Σ pr1 Tương tn vói thùa so khác suy đieu phai chúng minh n Q 3.3 M®t so tốn ve tìm so ngun thoa mãn ieu kiắn cho trỏc liờn quan en chia het ã Mđt so bi toỏn vắn dung cỏc tớnh chat cna phép chia het đong dư: Σ Σ Bài 17 Tìm tat ca so nguyên x cho x3 − 8x2 + 2x x2 + (Vô đ%ch Bungari năm 1977) Σ Σ Lài giai x3 − 8x2 + 2x x2 + Σ Σ Σ Σ ⇒ x x2 + − x2 + + x + x2 + Σ ⇒ (x + 8) x2 + Cách 1: Ta có: +) x = −8 thoa mãn +) x ƒ= −8 |x + 8| ≥ x2 + ⇒ −2 ≤ x ≤ Thu trnc tiep ta đưoc x = x = thoa mãn V¾y x = −8, x = x = Σ Cách 2: Ta có: (x + 8) x2 + Σ Σ ⇒ x2 + 8x x2 + Σ ⇒ (8x − 1) x2 + Σ ⇒ (x + 8) − (8x x2 + − 1) Σ ⇒ 65 x + Tù suy x = −8, x = x = Q Bài 18 Gia su p so nguyên to dang 4k + Chúng minh rang ton tai so nguyên x, y cho x2 + + p y2 p−1 = i (modp) , i = 1, 2, , ; Lài giai Đ¾t ri p−1 si ≡ −1 − i2 (modp) , i = 1, 2, , Ta có: ri ụi mđt phõn biắt, si ụi mđt phõn biắt, ri , si ∈ T = {1, 2, ,, B = , p − , 1} Đ¾t A = ,r1 , r2 ,, , r p−1 s1 , s2 , , s p−1 2 p−1 Khi |A| = |B| = , |A ∪ B| ≤ p − + p +) Neu |A ∪ B| < p − A ∩ B ƒ= ∅ 2 nên ta có ri = sj ⇒ i ≡ −1 − j (modp) ⇔ i + j2 +) Neu |A ∪ B| = p − A ∩ B = ∅ nên so ri, sj đơi m®t khác Do đó: r1 + · · · + r p−1 + s1 + · · · + s p−1 ≡ + + · · · (p − 1) ≡ 2 (modp) Đieu mâu thuan vói cách xác đ%nh cna so ri, sj : vì: ri + si ≡ −1 (modp) ≡− ⇒ r1 + · · · + r2 p−1 + s1 + · · · + s p−1 V¾y tốn đưoc chúng minh p−1 (modp) Q Bài 19 Ton tai hay không so nguyên x thóa mãn x2401 + x2 + 2013 Lài giai Gia su có so nguyên x thoa mãn: x2401 + + 2013 x2 Vì 2013 11 nên suy 240 + + 11 x x2 Σ Ta có x2401 + x2 + = x x2400 − Σ + x +x+1 Theo tính chat chia het cna hang thúc, ta có: Σ Σ24 Σ x x2400 − = x x10 − 1Σ x x10 − Σ 10 Theo đ%nh lý Fermat nho, ta có: x x − 11 Suy x2 + x + 11 Nhưng cho x chay khap h¾ th¾ng dư đay đn modulo 11, khơng có x đe x2 + + 11 x V¾y khơng có so nguyên x thoa mãn yêu cau toán Bài 20 Chúng minh rang vái p so nguyên to lé cho trưác, ln có vơ so so tn nhiên n thóa mãn + p (n.2n 1) Lài giai Lay n = (p − 1)2k+1, k = 0, 1, 2, Vì p so nguyên to le nên theo đ%nh lý Fermat nho, ta có: 2p−1 ≡ (modp) Khi đó: n.2 + ≡ (p − n 1) p−1Σ(p−1)2 + ≡ k (−1) 2k+1 Tù suy đieu phai chúng minh 2k+ 1 + ≡ (modp) Q Bài 21 Tìm tat ca so tn nhiên n cho n.2n + Lài giai Xét n = 6k + r, ≤ r < Ta có: n.2n + = (6k + r) 2r.26k + ≡ r.2r + (mod3) Chi có r = r = thoa mãn r.2r + V¾y so n can tìm có dang 6k + 6k + 2, k ∈ N Q Bài 22 Tìm so nguyên dương n cho (n − 1)! n (Vơ đ%ch Hungari năm 1951) Lài giai Nh¾n xét: +) Neu n so ngun to khơng thoa mãn tốn +) n = khơng thoa mãn toán +) n = thoa mãn toán n +) Neu n hop so khác 4, có the viet n = p.q, ≤ p, q ≤ Σ Σ Trưòng hop p ƒ= q: Trong (n − 1)! có ca thùa so p, q nên (n − 1)! n Trưòng hop p = q p, q > 2: Trong (n − 1)! có ca thùa so p 2p, suy (n − 1)! chia het cho p.2p hay (n − 1)! chia het cho p2 = n Tóm lai, n = ho¾c n hop so khác Q • Trong sn phân tích so n! thùa so nguyên to: n! = p1 α1 p2 α2 pk αk , n n n so mũ αi cna thùa so p inào bang: α = Σ + Σ Σ + · · · + Σ Σ, i Σ p pi i m p mi m so tn nhiên lón nhat cho pi < n Áp dung công thúc giúp giai đưoc m®t so tốn ve chia het cna so giai thùa Bài 23 So C500 100 có chia het cho hay khơng? Lài giai Ta có C500 1000! 100 (500!) +) So mũ cna thùa so phân tích 1000! bang: Σ = Σ Σ Σ Σ Σ 1000 1000 1000 + = 164 + +) So mũ cna thùa so phân tích 500! bang: Σ Σ Σ Σ Σ Σ 500 500 500 + = 82 7+ Vì v¾y so mũ cna thùa so phân tích (500!)2 bang: 82.2 = 164 V¾y phân tích 100 khơng có thùa so C500 500 nên 1000 không chia het cho C Bài 24 Tìm so tn nhiên n lán nhat cho 29n chia het 2003! Lài giai So mũ cna 29 phân tích 2003! bang: 2003 2003 α=Σ Σ+Σ Σ = 69 + = 71 29 V¾y 2003! = 2971.A, (A, 29) = Do v¾y so can tìm n = 71 Q Q Bài 25 Tìm so tn nhiên k lán nhat thóa mãn đieu ki¾n: (1994!)1995 chia het cho 1995k (Thi HSG Quoc gia - 1995) Lài giai Ta có 1995 = 3.5.7.19 Ta tìm so mũ lón nhat cna moi thùa so 3, 5, 7, 19 phân tích (1994!)1995 +) So mũ cna phân tích 1994! bang: Σ Σ Σ Σ Σ Σ 1994 1994 1994 α= +···+ = 992 3+ +) So mũ cna phân tích 1994! bang: Σ Σ Σ Σ Σ Σ 1994 1994 1994 α= + · · · + = 495 5+ 5 +) So mũ cna phân tích 1994! bang: Σ Σ Σ Σ Σ Σ 1994 1994 1994 α= + + = 329 7 +) So mũ cna 19 phân tích 1994! bang: Σ Σ Σ Σ 1994 1994 α =19 = 109 + 19 V¾y 1994! = 3992.5495.7329.19109.M , M ngun to vói 3, 5, 7, 19 3992.5495.7329.19109.M V¾y (1994!)1995 = 1995 Tù suy k = Σ109.1995 so can tìm Bài 26 Chúng minh rang vái mői so nguyên dương n, đeu CHQN đưac so nguyên dương x cho 19x 97 2n − Lài giai +) Vói n = n = 2, cHQN x = thoa mãn +) Vói n ≥ * Trưóc het, ta chúng minh nh¾n xét sau: Neu 192n−2 − = 2nn t t so lé Th¾t v¾y, vói n = nh¾n xét Gia su nh¾n xét vói n = k ≥ Vói n = k + 1, ta có: Σ 192k−2 + = 2n+1 192k−1 − = n Σ 2nt (sn 19 k−2 − = 2s vói sntn so le tn) n * Tro lai toán cho Ta chúng minh bang phương pháp quy nap toán HQc +) Vói n = 3, tốn +) Gia su ton tai so nguyên dương xn cho 19xn − 97 = 2n a Neu a chan 19xn − 97 = 2n+1 a1 Neu a le đ¾t xn+1 = xn + 2n−2 Ta có: 19xn+1 −97 = 192n−2 (19xn − 97)+97 192n−2 − 1Σ = 2n 192n−2nΣ a + 97t V¾y tốn đưoc chúng minh n+1 Q 3.4 Mđt so bi khác Bài 27 (IMO – 1967) Cho so nguyên dương k, m, n cho m + k + so nguyên to lán n + Gia su Cs = s (s + 1) Chúng minh rang: (Cm+1 − Ck) (Cm+2 − Ck) (Cm+n − Ck) C1.C2 Cn Lài giai Ta có: Cp − Cq = (p − q) (p + q + 1) Nên (Cm+1 − Ck) (Cm+2 − Ck) (Cm+n − C k) = [(m − k + 1) (m − k + 2) (m − k + n)] [(m + k + 2) (m + k + 3) (m + k + n + 1)] Ta có: C1.C2 Cn = n! (n + 1)! +) Ta có: (m − k + 1) (m − k + 2) (m − n! k + n) +) M¾t khác, ta có : (m + k + 1) (m + k + 2) (m + k + 3) (m + k + n n+1 Cm+k+n+ + 1) = (n + 1)! so nguyên Trong m + k + so nguyên to lón n + nên không chia het cho thùa so (n + 1)! Vì v¾y (m + k + 2) (m + k + 3) + (n + 1)! (m + k + n 1) Tù suy đieu phai chúng minh Q Bài 28 (IMO – 1974) Chúng minh rang: vái MQI so tn nhiên n, ta có n Σ 2k+ k đeu khơng chia het cho k= C 2n+ √ Σ2n+1 √ Σ2n+1 √ Lài giai Ta có + = n+ − − 8Bn √ Σ A 8Bn = A n Trong Bn = n C k=0 +1 Do An2 − 8Bnn2 = (−7)2n+1 ≡ 32n+1 ≡ 3.(−1)n (mod5) Neu Bn chia het cho An2 ≡ 3.(−1)n (mod5) Đieu vơ lý 2k+1 k Tù ta có đieu phai chúng minh Q Bài 29 (Dn tuyen IMO – 2005) Gia su a, b hai so nguyên dương cho an + n ưác cua bn + n vái MQI so nguyên dương n Chúng minh rang a = b Lài giai Gia su a ƒ= b Tù gia thiet suy b > a CHQN p so nguyên to lón b lay n = (a + 1) (p − 1) + Theo cách cHQN ta có n ≡ (mod (p − 1)) n ≡ −a (modp) Khi theo đ%nh lý Fermat nho, ta có: Σa+1 rn ≡ r rp−1 ≡ r (modp) , ∀r ∈ Z Ta lai có an + n ≡ a − a ≡ (modp) ⇒ p | (an + n) Nhưng an + n | bn + n nên p | bn + n bn + n ≡ b − a ≡ (modp) ⇒ p | (b − a) Đieu mâu thuan p > b V¾y a = b Q Bài 30 (Bulgaria – 1995) Tìm tat ca so nguyên to p, q cho (5p − 2p) (5q 2q pq − ) Lài giai Gia su p ≤ q Do (5p − 2p) (5q − 2q) so le nên ≤ p ≤ q Nh¾n xét rang neu so nguyên to k ưóc cna 5k − 2k theo đ%nh lý Fermat nho ta có ≡ − ≡ 5k − 2k ≡ (modk) ⇒ k = Gia su p > 3, theo nh¾n xét p khơng ưóc 5p − 2p nên p ưóc cna 5q − 2q hay 5q ≡ 2q (modp) Lai theo đ%nh lý Fermat nho, ta có: 5p−1 ≡ 2p−1 (modp) Do 5(p−1,q) ≡ 2(p−1,q) (modp) Nhưng p ≤ q nên (p − 1, q) = Do ≡ (modp) ⇒ p = Mâu thuan V¾y p = Neu q > q ưóc cna 5p − 2p = 53 − 23 = 9.13 ⇒ q = 13 V¾y tat ca c¾p (p, q) can tìm (3, 3), (3, 13), (13, 3) Q Bài 31 (Trung Quoc – 2009) Tìm tat ca c¾p so nguyên to (p, q) cho: pq | 5p + 5q Lài giai +) C¾p (5, 5) thoa mãn +) Neu p = 5, q ƒ= 5: ta có 5q | 55 + 5q ⇒ q | 625 + 5q−1 Theo đ%nh lý Fermat nho, ta có q ưóc 626 Trong trưịng hop ta có nghi¾m (5, 313) (5, 2) +) Neu q = 5, p ƒ= 5: tương tn ta có hai nghi¾m (313, 5) (2, 5) +) Neu p = 2, q ƒ= 5: Ta có 2q | 25 + 5q ⇒ 25 + 5q ≡ (mod2q) ⇒ 30 ≡ (mod2q) ⇒ q = Như v¾y, trưịng hop hai so p, q có m®t so bang 2, so cịn lai khác 5, ta có nghi¾m (2, 3) (3, 2) +) Trưòng hop p, q khác 5: Ta có 5p + 5q ≡ (modpq) ⇒ + 5q ≡ (modp) ⇒ 5q−1 ≡ −1 (modp) ⇒ 52(q−1) ≡ (modp) Tương tn ta có 5p−1 ≡ −1 (modq) CHQN k so mũ lón nhat cna cho 2k | ordp Mà ordp5 | p − ordp5 | (q − 1) , ordp5 khơng ưóc cna q − Chúng to so mũ lón nhat cna mà ưóc cna p − lón so mũ lón nhat cna mà ưóc cna q − Do tính đoi xúng nên ta có mũ lón nhat cna mà ưóc cna q − lón so mũ lón nhat cna mà ưóc cna p − Mâu thuan chúng to trưịng hop tốn khơng có nghi¾m V¾y tat ca nghi¾m cna tốn (2, 3), (2, 5), (5, 5), (5, 313), (3, 2), (5, 2), (313, 5) Q Bài 32 (Dn tuyen IMO – 2003) Cho p m®t so nguyên to Chúng minh rang ton tai m®t so nguyên to q cho vái MQI so nguyên n, so np − p khơng chia het cho q Lài giai Ta có pp − 2Σ =2 + p + + · · · + p− ≡ p + p p p−1 mod p Suy có nhat m®t ưóc ngun to cna p pp − khơng đong dư vói modulo p− GQI so nguyên to q, ta se chi so q can tìm Th¾t v¾y, gia su ton tai so nguyên n cho np ≡ p (modq) Khi đó, theo cách cHQN so q ta có np2 ≡ pp ≡ (modq) M¾t khác q so nguyên to, theo đ%nh lý Fermat nho ta có nq−1 ≡ (modq) Hơn nua, ta có p2 khơng ưóc cna q−1 nên p2, q − = ⇒ np ≡ (modq) Suy p ≡ (modq) Σ Khi ta có + p + p2 + · · · + pp−1 ≡ p (modq) Cùng vói đ%nh nghĩa cna q ta có p ≡ (modq) Đây đieu mâu thuan Q Bài 33 (Iran – 2007) Cho n so nguyên dương n = 22007k + vái k so nguyên lé Chúng minh rang 2n−1 + không chia het cho n Lài giai Chúng minh bang phan chúng + chia het cho n Ta có n− + + 1 Σ 007 = k2 GQI p m®t ưóc ngun to tùy ý cna n đ¾t t = 2k , d = ordp (t) Ta có t22007 ≡ −1 (modp) ⇒ t22008 ≡ (modp) Suy d ưóc cna 22008 khơng ưóc cna 22007, túc d = 22008 Mà d ưóc cna p − suy p ≡ mod22008 Do n ≡ mod22008 Σ ⇒ 22007k mod22008 Σ ≡ ⇒ | k Đieu mâuΣthuan vói gia thiet Gia su n− V¾y tốn đưoc chúng minh Q Ket lu¾n So HQc vói l%ch su hình thành phát trien tù rat sóm cna Tốn HQc, lĩnh vnc có nhieu tốn hay đ¾c sac, nhieu tốn khó Lu¾n văn chi trình bày m®t so van đe ban cna So HQc liên quan đen phép chia het Lu¾n văn gom cỏc nđi dung: Chng 1: Luắn ó nhac lai đưoc m®t so kien thúc ban thưịng su dung So HQc nói chung tốn liên quan đen chia het nói riêng; trình bày đ%nh nghĩa m®t so tính chat đong dư, m®t so đ%nh lý tiêu bieu lý thuyet đong dư, m®t cơng cu huu ích giai trình bày lịi giai tốn So HQc Chương 2: Lu¾n văn trình bày đưoc m®t so phương pháp thưịng dùng giai tốn chia het, đưoc phân loai theo nhóm phương pháp: phương pháp áp dung tính chat cna phép chia het, phương pháp áp dung đong dư, m®t so phương pháp khác quy nap toán HQc, chúng minh phan chúng, áp dung nguyên lý Dirichlet, Chng 3: Luắn trỡnh by mđt so bi toỏn so HQc g¾p đe thi HQc sinh gioi cap, thi cHQN HQc sinh gioi quoc gia, nưóc Olympic Tốn Quoc te chia thành muc: áp dung tính chia het giai phng trỡnh nghiắm nguyờn, mđt so bi toỏn ve tớnh chia het cna so hang cna dãy so nguyên, tìm so ngun thoa mãn đieu ki¾n cho trưóc liên quan đen chia het, m®t so tốn cHQN LQc khác Tác gia hy vQNG lu¾n văn úng gúp thờm mđt ti liắu nho ve So HQc e giỳp HQc sinh tiep cắn vúi bđ mụn tot hơn, nhat em HQc sinh trung HQc so em HQc sinh mói vào lóp chun cHQN trung HQc phő thơng, ngồi thay cụ giỏo cú thờm mđt ti liắu phuc vu cụng tác tham khao, giang day cho Đe có m®t tài li¾u So HQc đay đn hồn chinh, can bő sung thêm nhieu kien thúc khác nua Tuy nhiên khn khő thịi gian thịi lưong cho phép cna lu¾n văn, tác gia chi mói trình bày đưoc khái ni¾m van đe ban nhat liên quan tốn chia het M¾c dù tác gia co gang cHQN LQ c phân loai t¾p, chi mang tính chat tương đoi, khơng tránh khoi nhung thieu sót, sai lam Rat mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp sua đői cna Thay Cơ giáo ban Tài li¾u tham khao [1] Dỗn Minh Cưịng, (2008), So HQc, NXB ĐHSP [2] Phan Huy Khai, (2009), Các toán ban cua so HQc, NXB Giáo Duc [3] Hà Huy Khoái, (2004), So HQc, NXB Giáo duc [4] Nguyen Vũ Lương, (2009), Các giang ve so HQc, NXB ĐHQGHN [5] Nguyen Vn Mắu, (2008), Mđt so van e so HQc CHQN LQc, NXB Giáo duc [6] Nguyen Văn Nho, (2005), Chuyên đe so HQc, NXB ĐHQG TP HCM [7] Pham Minh Phương, (2008), Các chuyên đe so HQc, NXB Giáo duc [8] Pham Văn Quoc, (2012), M®t so tốn so HQc liên quan đen lũy thùa [9] Đ¾ng Hùng Thang, (2010), Bài giang so HQc, NXB Giáo duc [10] www.diendantoanhoc.net [11] www.mathlinks.ro [12] Titu Andreescu, Dorin Andrica, (2006), Number Theory, USA [13] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Zuming Feng, (2006), 104 Number Theory Problems, USA [14] W Sierpinski, (1988), Elementary Theory of Numbers, POLAND ... KHOA HOC TU NHIÊN BÙI VĂN HUAN BÀI TOÁN CHIA HET TRONG SO HOC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cap Mã so: 60.46.01.13 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC HƯéNG DAN KHOA HOC: TS PHAM VĂN QUOC Lài cam ơn... | a Trên t¾p hop so ngun, ta có tính chat sau: Tính chat 1.2 Vái MQI so nguyên a ƒ= 0, ta có: a | Vái MQI so nguyên a, ta có: | a (Tính chat phan xa) a | a (Tính chat bac cau) Neu a|b b|c a|c... dnng tính chat cua phép chia het 2.1.1 Áp dnng tính chat c ban cua phộp chia het ã Mđt so bi tốn đơn gian có the giai bang cách áp dung tính chat cna phép chia het Chang han, ví du sau áp dung tính