BG TCC chuong 1 2 3 1

Lớp HP.TOÁN CAO CẤP CLC Sáng thứ Kỳ cuối 2021 Lớp trưởng: Trương Tấn Lợi ĐT: 0773126439 Lớp Phó: Nhan Mỹ Hằng ĐT: 0932297253 Giảng viên: Trần Kim Thanh ĐT: 0912487284 Tài liệu học tập: Bài giảng Tốn cao cấp Group Fb: TCC.S2.KÌ 3.21 Chương MA TRẬN – ĐỊNH THỨC 1.1 MA TRẬN 1.1.1 Các k.n: - Một ma trận cấp 𝑚 × 𝑛 bảng gồm m.n số viết thành m hàng, n cột ngoặc: ( ), ngoặc: [ ] sau: 𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 ⋮ ⋮ … ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛 - Để đ.giản, kí hiệu m.trận chữ: A, B, C, Kí hiệu: A = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 : A m.t cấp 𝑚 × 𝑛 , có p.tử hàng i, cột j 𝑎𝑖𝑗 - Hai m.trận A, B nhau, có cấp p.tử v.trí tương ứng nhau: A: = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 = 𝐵: = 𝑏𝑖𝑗 𝑚×𝑛 ⇔ 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 , ∀𝑖, 𝑗 1.1.2 Các dạng m.trận: - Với A = 𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 , m.trận: −A = −𝑎𝑖𝑗 𝑚×𝑛 - M.trận khơng, cấp 𝑚 × 𝑛: 𝒪𝑚×𝑛 m.trận gồm m.n p.tử - M.trận cột: có cột; m.trận hàng: có hàng - M.trận bậc thang m.trận thỏa đ/k: a Hàng khơng (gồm tồn số 0), có, phải nằm hàng khác khơng b Với hàng khác khơng kề nhau: p.tử khác hàng phải nằm bên trái cột chứa p.tử khác hàng A= 0 0 A= 0 C= 0 D= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Vd 1: 𝐴 = ;𝐵 = 0 0 0 0 0 0 - Chuyển vị m.trận A = 𝑎𝑖𝑗 m.trận 𝐴𝑇 = 𝑏𝑖𝑗 , 𝑚×𝑛 𝑛×𝑚 đó: 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , ∀𝑖 = 1, 𝑚, 𝑗 = 1, 𝑛 - M.trận vuông cấp n: m.trận cấp n× 𝑛 (𝑠ố ℎà𝑛𝑔 = 𝑠ố 𝑐ộ𝑡 = 𝑛) - Với m.trận vuông A = 𝑎𝑖𝑗 : p.tử 𝑎11 , 𝑎22 , , 𝑎𝑛𝑛 gọi p.tử 𝑛×𝑛 đường chéo (đường chéo chính) - M.trận tam giác (dưới): m.trận vng có p.tử nằm phía (trên) đường chéo - M.trận tam giác gọi m.trận tam giác - M.trận vừa tam giác trên, vừa tam giác gọi m.trận đường chéo - M.trận đơn vị cấp n ( 𝐼𝑛 ℎ𝑜ặ𝑐 𝐸𝑛 ): m.trận đường chéo cấp n có p.tử đường chéo 1.1.2 Các phép toán m.trận a Phép cộng: Với: A = 𝑎𝑖𝑗 ; 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 : 𝑚×𝑛 𝑚×𝑛 𝐴 + 𝐵 = 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 (1) 𝑚×𝑛 𝑚×𝑛 Lưu ý: 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−𝐵) b Phép nhân với số: : Với: A = 𝑎𝑖𝑗 , 𝛌 ∈ ℝ: 𝑚×𝑛 𝛌 𝑨 = 𝛌 𝑎𝑖𝑗 c Phép nhân hai m.trận: Với: A = 𝑎𝑖𝑗 𝐀 𝐁 = 𝒄𝒊𝒋 𝒑 𝒎×𝒏 (2) 𝑚×𝑛 𝑚×𝑝 ; 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑝×𝑛 ; 𝒕𝒓𝒐𝒏𝒈 đó: 𝒄𝒊𝒋 = σ𝒌=𝟏 𝒂𝒊𝒌 𝒃𝒌𝒋 ; ∀𝒊, 𝒋 ( (A) (B) ⋮ hàng i → ⋮ ⋮ (cột j) Nhận xét: Để tinh p.tử hàng i, cột j A.B 𝒄𝒊𝒋 , ta lấy hàng i A nhân tương ứng với cột j B cộng lại −1 −2 VD: Cho A = −3 ; B = Khi đó: −1 −1 2 −2 −2 * A B = −3 = −13 −1 16 −4 12 −1 −2 −6 * B A = −3 = −1 −6 23 * Không tồn A B T M.trận vuông A gọi khả nghịch, tồn m.trận vuông B cấp, cho: A.B = B.A = I (m.trận đơn vị cấp) (4) Khi gọi B m.trận nghịch đảo A, kí hiệu: 𝐵 = 𝐴−1 Vd 2: Khảo sát tính khả nghịch A tìm 𝐴−1 , A khả nghịch, −2 với: 𝐴 = −1 x y Giải: 𝐴 khả nghịch tức có B = cho: A.B = B.A = I, z t hay: x y x y −2 −2 = = , hay z t z t −1 −1 x −2x − y x − 2z y − 2t = = −Z −t z −2z − t x − 2z = y − 2t = x=1 −z = y = −2 −t = hay: ⇔ x=1 z=0 −2x − y = t = −1 z=0 −2z − t = Các tính chất: T/c 1: Phép cộng có t/c g.hốn, kết hợp, A + (-A) = 0; A + = A T/c 2: Với hai m.trận A, B, hai số thực a, b thì: a.(A + B) = a.A + a.B; (a + b).A = a.A + b.A T/c 3: 𝑎 𝐴 𝑇 = 𝑎 𝐴𝑇 ; 𝐴 + 𝐵 𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 ; 𝐴 𝐵 𝑇 = 𝐵𝑇 𝐴𝑇 ; 𝐴𝑇 𝑇 = 𝐴 T/c 4: 𝐴 = 𝒪; 𝐴 𝒪 = 𝒪; 𝒪 𝐴 = 𝒪; 𝐴 = 𝐴; −1 𝐴 = −𝐴; 𝐴𝑚×𝑛 𝐼𝑛 = 𝐴𝑚×𝑛 ; 𝐼𝑚 𝐴𝑚×𝑛 = 𝐴𝑚×𝑛 T/c 5: 𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴 𝐶 + 𝐵 𝐶; 𝐶 𝐴 + 𝐵 = 𝐶 𝐴 + 𝐶 𝐵 T/c 6: Nếu A, B m.trận vng cấp, khả nghịch A.B khả nghịch và: 𝐴 𝐵 −1 = 𝐵−1 𝐴−1 1.2 Định thức m.trận vuông: Đ.thức m.trận vuông A số, kí hiệu: det(A) hoặc: 𝐴 1.2.1 Đ.thức m.trận vuông cấp 2, cấp 3: 𝑎11 𝑎12 a Cho: 𝐴 = 𝑎 : 𝐝𝐞𝐭 𝐴 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎21 𝑎12 (5) 𝑎 21 22 𝑎11 𝑎12 𝑎13 b Cho 𝐴 = 𝑎21 𝑎22 𝑎23 ; 𝑎31 𝑎32 𝑎33 𝑎22 𝑎23 𝑎21 𝑎23 𝑎21 𝐝𝐞𝐭 𝐴 = 𝑎11 𝑎 − 𝑎12 𝑎 + 𝑎13 𝑎 𝑎 𝑎 32 33 31 33 31 = 𝑎11 𝑎22 𝑎33 +𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎13 𝑎21 𝑎32 −𝑎11 𝑎23 𝑎32 − 𝑎12 𝑎21 𝑎33 − 𝑎13 𝑎31 𝑎22 Quy tắc thực hành: (+) 𝑎11 𝑎21 𝑎31 (-) (+) (+) 𝑎12 𝑎13 𝑎22 𝑎23 𝑎32 𝑎33 (-) (-) 12 VD: Tính det(A), với: A = −1 𝑎11 𝑎21 𝑎31 11 𝑎12 𝑎22 𝑎32 𝑎22 𝑎32 (6) c Cho: A = 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 : Từ A bỏ (n – r) hàng (n – r) cột, m.trận vuông cấp r, gọi m.trận vng cấp r A Kí hiệu 𝑀𝑖𝑗 m.trận cấp (n – 1), thu từ A cách bỏ hàng i cột j Khi gọi: 𝐴𝑖𝑗 = −1 𝑖+𝑗 𝑑𝑒𝑡(𝑀𝑖𝑗 ) phần phụ đại số p.tử 𝑎𝑖𝑗 m.trận A Ta đ.nghĩa: 𝐝𝐞𝐭 𝐴 = 𝑎11 𝐴11 + 𝑎12 𝐴12 + + 𝑎1𝑛 𝐴1𝑛 (7a) N.xét: Từ (7), với n = 3, nhận (6) Các t.chất đ.thức: Giả sử A m.trận vuông cấp n T/c 1: 𝐝𝐞𝐭 𝐴 = 𝑎𝑖1 𝐴𝑖1 + 𝑎𝑖2 𝐴𝑖2 + + 𝑎𝑖𝑛 𝐴𝑖𝑛 , ∀𝑖 = 1, 𝑛 (7b) = 𝑎1𝑗 𝐴1𝑗 + 𝑎2𝑗 𝐴2𝑗 + + 𝑎𝑛𝑗 𝐴𝑛𝑗 , ∀𝑗 = 1, 𝑛 (7c) Đồng thời: 𝑎𝑖1 𝐴𝑘1 + 𝑎𝑖2 𝐴𝑘1 + + 𝑎𝑖𝑛 𝐴𝑘𝑛 = 0, ∀𝑘 ≠ 𝑖 (7d) 𝑎1𝑗 𝐴1𝑘 + 𝑎2𝑗 𝐴2𝑘 + + 𝑎𝑛𝑗 𝐴𝑛𝑘 = 0, ∀𝑘 ≠ 𝑗 (7e) T/c 2: Nếu A có hàng (cột 0) thì: 𝐝𝐞𝐭 𝐴 = 𝟎 T/c 3: 𝐝𝐞𝐭 𝑨𝑻 = 𝐝𝐞𝐭(𝑨) T/c 4: Nếu đổi chỗ hàng (2 cột) m.trận định thức đổi dấu Đặc biệt A có hàng (2 cột) giống 𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 𝟎 T/c 5: Nếu nhân hàng (cột) A với số a định thức nhân lên với a Đặc biệt: 𝒅𝒆𝒕 𝜶 𝑨 = 𝜶𝒏 𝐝𝐞𝐭 𝑨 T/c 6: Nếu A có hàng (2 cột) tương ứng tỉ lệ thì: 𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 𝟎 T/c 7: Nếu A có hàng (1 cột) mà phần tử tổng số hạng thì: 𝒅𝒆𝒕 𝑨 = 𝒅𝒆𝒕 𝑨𝟏 + 𝒅𝒆𝒕 𝑨𝟐 , ( 𝑨𝟏 𝑨𝟐 m.trận thu từ A cách giữ ngun hàng (cột) khác, cịn hàng (cột) nói giữ lại số hạng thứ thứ tương ứng) Minh họa: 𝑎11 𝑐12 𝑎13 𝑎11 𝑏12 + 𝑐12 𝑎13 𝑎11 𝑏12 𝑎13 𝑎21 𝑏22 + 𝑐22 𝑎23 = 𝑎21 𝑏22 𝑎23 + 𝑎21 𝑐22 𝑎23 𝑎31 𝑐32 𝑎33 𝑎31 𝑏32 + 𝑐32 𝑎33 𝑎31 𝑏32 𝑎33 T/c 8: Nếu A có hàng (1 cột) tổ hợp t.tính hàng (cột) khác thì: 𝒅𝒆𝒕 𝐴 = 𝟎 Do nhân hàng (1 cột) với số t cộng vào hàng (cột) khác đ.thức khơng đổi (==S2==) T/c 9: Nếu A m.t tam giác thì: 𝐝𝐞𝐭 𝐴 = 𝑎11 𝑎22 𝑎𝑛𝑛 T/c 10: 𝐝𝐞𝐭 𝐴 𝐵 = 𝒅𝒆𝒕 𝑨 𝒅𝒆𝒕 𝑩 Do đó: det 𝐴𝑚 = det(𝐴) 𝑚 Vd 5: Các tập ℕ, ℤ với phép cộng, phép nhân thông thường k.g véc tơ 3.1.3.Nhận xét: Trong k.g véc tơ X: a Véc tơ không (0) b Với véc tơ x, véc tơ đối (– x ) c 𝑥 = 𝟎 𝑣é𝑐 𝑡ơ 𝟎 ; 𝛼 𝟎 = 𝟎; −1 𝑥 = −𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝛼=0 d 𝛼 𝑥 = 𝟎(𝑣é𝑐 𝑡ơ 𝟎) ⇔ ቈ 𝑥 = 𝟎(𝑣é𝑐 𝑡ơ 𝟎) 3.1.2 Không gian a Đ/n 2: Tập 𝑌 ≠ ∅ k.g véc tơ X gọi k.g X, với phép cộng véc tơ X phép nhân véc tơ với số Y k.g véc tơ b Nx: Tập 𝑌 ≠ ∅ k.g véc tơ X k.g X 𝒖+𝒗∈𝒀 khi: ቄ , ∀𝒖, 𝒗 ∈ 𝒀, ∀𝒔ố 𝜶 𝜶 𝒖 ∈ 𝒀 c Các vd: Vd 6: 𝑃𝑛 [𝑥] k.g k.g véc tơ 𝐶[𝑎,𝑏] Vd 7: Tập tất m.trận đường chéo cấp n k.g Μ𝑛×𝑛 Vd 8: 𝑃 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3 : 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑦 + 𝑐 𝑧 = 𝑑 k.g k.g véc tơ ℝ3 khi: d = Lưu ý: Với k.g véc tơ X có k.g Y = {0} Y = X, gọi k.g tầm thường 3.1.3 Bao tuyến tính Cho k.g véc tơ X họ véc tơ: 𝑆 = {𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 } ⊂ X n số thực 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 Véc tơ 𝑢 = 𝑥1 𝑢1 + 𝑥2 𝑢2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑢𝑛 gọi tổ hợp tuyến tính véc tơ S hay 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 Đ.n 1: 𝑆𝑝𝑎𝑛 𝑆 = { 𝑢 = 𝑥1 𝑢1 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑢𝑛 : 𝑥𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 1, 𝑛} gọi bao tuyến tính S (cịn kí hiệu là: < S >), hay tập sinh S Nếu X = Span(S), ta nói S hệ sinh X Đ.lí: Span(S) k.g X k.g nhỏ chứa S (Vì gọi Span(S) k.g sinh S) (==S3+++) Vd 9: Trong ℝ3 , với 𝑆 = {𝑢1 = 0,1,0 , 𝑢2 = (1,0,0)} 𝑆𝑝𝑎𝑛 𝑆 mặt phẳng qua gốc tọa độ, nhận 𝑢1 , 𝑢2 làm véc tơ phương Vd 10: Trong Μ𝑛×𝑛 , tìm Span({I}) 3.2 Cơ sở số chiều không gian véc tơ Phần có nội dung sau: K.n độc lập t.tính, p.thuộc t.tính; Cơ sở số chiều k.g véc tơ, xác định sở số chiều k.g hữu hạn chiều 3.2.1 Hệ độc lập t.tính, hệ p.thuộc t.tính Đ.n1:Cho k.g véc tơ X hệ véc tơ 𝑆 = 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑚 ⊂ 𝑋 Ta nói: a 𝑆 hệ độc lập tuyến tính, tổ hợp tuyến tính: 𝑢 = 𝑥1 𝑢1 + 𝑥2 𝑢2 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝑢𝑚 = khi: 𝑥1 = 𝑥2 = ⋯ = 𝑥𝑚 = b 𝑆 hệ phụ thuộc tuyến tính, tồn số: 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑚 không đồng thời cho: 𝑥1 𝑢1 + 𝑥2 𝑢2 + ⋯ + 𝑥𝑚 𝑢𝑚 = c 𝑆 hệ độc lập tuyến tính cực đại X, 𝑆 hệ độc lập tuyến tính và: ∀𝑥 ∈ 𝑋, ℎệ {𝑆, 𝑥} phụ thuộc tuyến tính Vd 1: Trong ℝ3 , xét hệ: 𝑆 = {𝑢1 = 1,1,0 , 𝑢2 = 𝑚 − 1,1,0 , 𝑢3 = (𝑚, −1, 𝑚 + 1)} Tìm đ/k tham số m để hệ S phụ thuộc tuyến tính Vd 2: Trong ℝ𝑛 , hệ sau độc lập tuyến tính cực đại: Φ = 𝑒1 , 𝑒2 , … , 𝑒𝑛 , 𝑒𝑗 = (0, … , 0, ณ , 0, … , 0), j = 1,2, ,n 𝑗 Vd 3: Trong 𝑃𝑛 [𝑥], hệ 𝐵 = 𝜑0 , 𝜑1 , … , 𝜑𝑛−1 , 𝑣ớ𝑖: 𝜑0 𝑥 = 1, 𝜑1 𝑥 = 𝑥, … , 𝜑𝑛−1 𝑥 = 𝑥 𝑛−1 , ∀𝑥 ∈ ℝ hệ độc lập tuyến tính, khơng độc lập t.tính cực đại Đlí 1: Trong k.g véc tơ X: a Hệ 𝑆 = 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑚 p.thuộc t.tính có véc tơ hệ tổ hợp t.tính véc tơ cịn lại b Mọi hệ có chứa véc tơ hệ p.thuộc t.tính c Mọi hệ hệ độc lập t.tính độc lập t.tính d Nếu S chứa hệ phụ thuộc t.tính S hệ p.thuộc t.tính Đlí 2: (Bổ đề bản) Trong k.g véc tơ X, hệ 𝑆 = 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑚 gồm véc tơ tổ hợp t.tính véc tơ: 𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑘 , với m > k S hệ p.thuộc t.tính Vd 4: Trong ℝ2 , hệ véc tơ: u1 = 1, , u2 = 2, , u3 = 0, hệ p.thuộc t.tính 3.2.2 Cơ sở số chiều k.g véc tơ Đlí 3: Giả sử S B hệ véc tơ độc lập tuyến tính cực đại k.g véc tơ X Khi đó: a Nếu S gồm m véc tơ B bao gồm m véc tơ b Nếu S có vơ số véc tơ B có vơ số véc tơ Đ.n : Giả sử S hệ véc tơ độc lập tuyến tính k.g véc tơ X Khi ta nói S sở X, X = span (S), tức véc tơ X có biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính véc tơ S Khi đó: S gồm số hữu hạn véc tơ ta nói X k.g hữu hạn chiều; S có vơ số véc tơ nói X k.g vơ hạn chiều NX: * Nếu S sở k.g véc tơ X S hệ độc lập t.tính cực đại X Do đó, theo đ.lí 3, sở k.g véc tơ có vơ số véc tơ, có số lượng véc tơ * Trong k.g hữu hạn chiều: Một hệ véc tơ sở hệ độc lập tuyến tính cực đại G.sử S sở X Số chiều X, kí hiệu 𝑑𝑖𝑚𝑋, x.định bởi: 𝑛, 𝑛ế𝑢 𝑆 𝑔ồ𝑚 𝑛 𝑣é𝑐 𝑡ơ, 𝑑𝑖𝑚𝑋 = ቊ +∞, 𝑛ế𝑢 𝑆 𝑐ó 𝑣ơ 𝑠ố 𝑣é𝑐 𝑡ơ Các ví dụ: Vd 5: Trong ℝ𝑛 , hệ sau sở: Φ = 𝑒1 , 𝑒2 , … , 𝑒𝑛 , 𝑒𝑗 = (0, … , 0, ณ , 0, … , 0) (j = 1,2, ,n) 𝑛 𝑗 gọi sở tắc ℝ , đó: dim ℝ𝑛 = n Vd 6: 𝑃𝑛 [𝑥], hệ sau sở: Φ = 𝜑0 , 𝜑1 , … , 𝜑𝑛 , 𝑣ớ𝑖: 𝜑0 𝑥 = 1, 𝜑1 𝑥 = 𝑥, … , 𝜑𝑛 𝑥 = 𝑥 𝑛 , ∀𝑥 ∈ ℝ gọi sở tắc 𝑃𝑛 [𝑥], đó: dim 𝑃𝑛 [𝑥]= n + Vd 7: Vì: ∀𝑛, 𝑃𝑛 [𝑥] ⊂ 𝐶[𝑎,𝑏] , nên 𝐶[𝑎,𝑏] k.g vô hạn chiều Vd 8: Trong Μ𝑚×𝑛 , hệ véc tơ sau sở: Φ = ቊ𝜑𝑘𝑟 = 1, 𝑛ế𝑢 𝑖 = 𝑘, 𝑗 = 𝑟 𝑘 = 1, 𝑚 𝑎𝑖𝑗 : 𝑎𝑖𝑗 = ቊ ; ቋ 𝑚×𝑛 0, 𝑛ế𝑢 𝑖 ≠ 𝑘, ℎ𝑜ặ𝑐 𝑗 ≠ 𝑟 𝑟 = 1, 𝑛 gọi sở tắc Μ𝑚×𝑛 Do đó: dim Μ𝑚×𝑛 = 𝑚 𝑛 Vd 9: Xét 𝑌 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ3 : 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = Khi đó: Y k.g chiều ℝ3 , có sở là: 𝑆 = 𝑢1 = 1,0,1 , 𝑢2 = (0,1,1) Vd 10: Tập hợp ma trận chéo cấp n k.g Μ𝑛×𝑛 , có số chiều n, với sở: 𝑆 = {𝜑𝑘𝑘 : 𝑘 = 1, 𝑛} 3.3 Không gian véc tơ hữu hạn chiều Giả sử X k.g véc tơ hữu hạn chiều, dim(X) = n 3.3.1 Các tính chất chung Đlí 1: Trong k.g véc tơ n chiều: a Mọi hệ gồm nhiều n véc tơ hệ phụ thuộc t.tính, b Bất kì hệ gồm n véc tơ tập sinh k.gian, c Mọi hệ n véc tơ độc lập t.tính sở tập sinh k.gian, NX: Trong k.g véc tơ n chiều: a Số chiều (dim(X)) số tối đại véc tơ độc lập t.tính, b Số chiều số tối thiểu véc tơ tập sinh, c Số chiều k.g khơng vượt q n Đ.lí 2: a Đối với hệ gồm k véc tơ độc lập tuyến tính, với k < n, bổ sung vào thêm (n – k) véc tơ để hệ trở thành sở X b Nếu 𝑆 = {𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑚 } tập sinh X 𝑚 ≥ 𝑛 S chứa sở X 3.3.2 Tọa độ véc tơ theo sở: Cho k.g véc tơ n chiều X, với sở thứ tự: 𝑆 = 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 Khi véc tơ u X có biểu diễn dạng tổ hợp t.tính véc tơ S: 𝑢 = 𝑥1 𝑢1 + 𝑥2 𝑢2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑢𝑛 Ta gọi số 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 tọa đô véc tơ u sở thứ tự S Kí hiệu: 𝑢 𝑆 = (𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 ): gọi hàng tọa đô; 𝑢 𝑆 = 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 𝑇 : gọi cột tọa độ véc tơ u sở thứ tự S Nx: * Khi cố định sở thứ tự: Phép cộng véc tơ phép cộng ma trận hàng (cột) tọa độ, phép nhân véc tơ với số phép nhân số với ma trận hàng (cột) tọa độ, hai véc tơ hàng (cột) tọa độ nhau: 𝑢 + 𝑣 𝑆 = 𝑢 𝑆 + 𝑣 𝑆 ; 𝛼 𝑢 𝑆 = 𝛼 𝑢 𝑆 ; 𝑢 = 𝑣 ⇔ 𝑢 𝑆 = 𝑣 𝑆 * Trong ℝ𝑛 , cho véc tơ 𝑢 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 tọa độ u sở tắc Φ Điều tương tự 𝑃𝑛 [𝑥], hay Μ𝑚×𝑛 Vd: C/m: 𝑆 = {𝑢1 = 1, −1,0 , 𝑢2 = 0, −1,1 , 𝑢3 = (1,0,1)} sở ℝ3 Tìm 𝑢 𝑆 , với u = (2, 3, 4) Vd: C/m: 𝐵 = {𝑓1 : 𝑓1 𝑥 = + 𝑥, 𝑓2 : 𝑓2 𝑥 = − 𝑥; 𝑓3 : 𝑓3 (𝑥) = 𝑥 } sở 𝑃2 [𝑥] Tìm 𝑓 𝐵 , với 𝑓 x = 2𝑥 − 3𝑥 + Vd: C/m hệ U sau sở Μ2×2 : 𝑈 = ൜𝜑1 = 1 ; 𝜑2 = 0 −1 ; 𝜑3 = Tìm 𝐴 𝑈 , với A = 0 ; 𝜑4 = ൠ 0 3.3.3 Hạng hệ véc tơ Đ/n: Trong k.g véc tơ X, cho hệ véc tơ: 𝐵 = {𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑚 } Hạng hệ B số kí hiệu: rank(B), hay r(B), số véc tơ độc lập tuyến tính cực đại B Vd: Trong ℝ3 , tìm rank(B), với: B = {u = (-1,2,3), v = (-2,4,6), x = (-1,2,3)} Đ.lí 3: Hạng ma trận A hạng hệ véc tơ hàng hạng hệ véc tơ cột A Đ.lí 4: Cho X k.g véc tơ hữu hạn chiều S sở thứ tự X, xét hệ véc tơ 𝐵 = {𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑚 }; 𝐵 ∗ m.trận liên kết theo cột B: 𝐵 ∗ = 𝑢1 𝑆 , 𝑢2 𝑆 , … , 𝑢𝑚 𝑆 , 𝐵 ∗𝑇 m.trận liên kết theo hàng B Khi đó: 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐵 = 𝑟 𝐵 ∗ = 𝑟(𝐵 ∗𝑇 ) Chú ý: Trong ℝ𝑛 , 𝑃𝑛 [𝑥],Μ𝑚×𝑛 nên xét theo sở tắc Vd: Trong ℝ4 , tìm hạng họ véc tơ:𝐵 = {𝑢1 , 𝑢2 , 𝑢3 , 𝑢4 }, với: 𝑢1 = 1, 2, 1, , 𝑢2 = 2, 1, 2, , 𝑢3 = 1, 1, 1, , 𝑢4 = (1, 0, 1, 1) Vd: Trong 𝑃3 [𝑥], tìm hạng họ véc tơ: 𝐵 = {𝑓1 , 𝑓2 , 𝑓3 , 𝑓4 }, với: 𝑓1 𝑥 = − 2𝑥, 𝑓2 𝑥 = + 2𝑥, 𝑓3 𝑥 = 4𝑥 + 3, 𝑓4 𝑥 = 𝑥 − 𝑥2 Vd: Trong Μ3×2 , tìm hạng họ véc tơ: 𝐵 = {𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 , 𝐴4 }, 1 1 với: 𝐴1 = , 𝐴2 = , 𝐴3 = , 𝐴4 = 0 0 0 3.3.4 Đổi sở: Trong k.g véc tơ n chiều, cho sở thứ tự: 𝑆 = 𝑠1 , 𝑠2 , … , 𝑠𝑛 , B = 𝑢1 , 𝑢2 , … , 𝑢𝑛 V/đ là: biết tọa độ véc tơ u S 𝑢 𝑆 , tìm tọa độ 𝑢 𝐵 u B Biểu diễn véc tơ S qua B, ta có: 𝑠𝑗 = 𝑎1𝑗 𝑢1 + 𝑎2𝑗 𝑢2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑗 𝑢𝑛 , 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 (1) Ma trận 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 ( cột thứ j A cột tọa độ 𝑠𝑗 𝑛×𝑛 𝐵 véc tơ 𝑠𝑗 sở B), gọi ma trận chuyển từ B sang S Cịn kí hiệu : 𝑨 = 𝑷(𝑩→𝑺) A ma trận khả nghịch ( r(A) = rank S = n) A-1 ma trận chuyển từ sở S sang sở B Khi với véc tơ u, ta có: 𝑢 = σ𝑛𝑗=1 𝑥𝑗 𝑠𝑗 = σ𝑛𝑖=1 σ𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 𝑢𝑖 (2) Từ cho thấy: 𝒖 𝑩 = 𝑨 𝒖 𝑺 (3) Từ (3) ta có: 𝒖 𝑺 = 𝑨−𝟏 𝒖 𝑩 (4) Thuật tốn tìm ma trận chuyển sở: Trong không gian ℝn, để tìm ma trận A chuyển từ sở B sang sở S, ta ghép ma trận liên kết theo cột B 𝐵∗ S 𝑆 ∗ (trong sở tắc Φ) thành: 𝑩∗ 𝑺∗ dùng phép biến đổi sơ cấp hàng (như tiến hành khảo sát ma trận nghịch đảo) để đưa dạng: 𝑰 𝑨 Ví dụ 8: Trong ℝ3 cho: B = {v1= (1,0,1), v2= (1, 1, 0), v3= (0, 1, 1)}; S = {s1 = (1, 2, 3), s2 = (0, 1, 0), s3 = (0, 0, 1)} 1/ C/m S B sở ℝ3 2/ Tìm ma trận chuyển từ B sang S 3/ Tìm tọa độ véc tơ: u = s1 – 3s2 + 5.s3 sở B 3.3.5 Không gian nghiệm hệ phương trình t.tính Từ k.quả trên,đ/v k.g nghiệm hệ nhất, ta có: Đ.lí 5: Xét hệ nhất: 𝑨 𝒙𝑻 = 𝟎 (𝑨 = 𝒂𝒊𝒋 ) (5) 𝒎×𝒏 Khi đó: a Hệ (5)ln có nghiệm (nghiệm tầm thường) Hệ có nghiệm khi: 𝑟 𝐴 = 𝑛 ℎ𝑎𝑦 𝐴 𝑙à 𝑚 𝑡𝑟ậ𝑛 𝑣𝑢ô𝑛𝑔 𝑘ℎả 𝑛𝑔ℎị𝑐ℎ (𝑑𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0) b Khi 𝑟 𝐴 = 𝑟 < 𝑛, tập nghiệm hệ k.g (n – r) chiều ℝn Vd: Tìm k.g nghiệm hệ sau sở nó: 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑢 = 𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 𝑎 ቐ2𝑥 − 6𝑦 + 2𝑧 = ; 𝑏 ቐ5𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑢 = 3𝑥 − 9𝑦 + 3𝑧 = 𝑥−𝑦+𝑧−𝑢 =0 V𝑑: 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 ℝ4 cho họ véc tơ: 𝐵 = {𝑢1 = 1, 2, 1, , 𝑢2 = 1, 1, 2, , 𝑢3 = 0, 2, 2, , 𝑢4 = 1, 1, 2, }; 𝑆 = {𝑣1 = 0, 1,1, , 𝑣2 = 1, 4, 3, , 𝑣3 = 2, 1, 1, , 𝑣4 = 0, 2, 2, } a Chứng minh: 𝐵, 𝑆 𝑙à 𝑐á𝑐 𝑐ơ 𝑠ở 𝑐ủ𝑎 ℝ4 b Tìm ma trận chuyển từ sở 𝐵 𝑠𝑎𝑛𝑔 𝑐ơ 𝑠ở 𝑆 c Cho 𝑢 𝑐ó 𝑢 𝑆 = 𝑇ì𝑚 𝑢 𝐵 TÀI LIỆU: TL CHÍNH: BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP TL THAM KHẢO: BÀI TẬP TỐN CAO CẤP (BỘ MƠN TỐN) LH: T.HỒNG: 0904144835; T.DUY: 0908166608 ĐẶNG HẤN, TỐN CAO CẤP (ĐH KT TP.HCM) LÊ VĂN HỐT, TOÁN CAO CẤP (TẬP 1: ĐẠI SỐ, TẬP 2: GIẢI TÍCH) … ... ? ? 13