Luận văn thạc sĩ ứng dụng đồ thị tìm ước số và xác định tập đồng dư

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN PHAM TH± THUY ÚNG DUNG ĐO TH± TÌM ƯéC SO VÀ XÁC бNH T¾P ĐONG DƯ LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so: 60 46 01 13 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: GS.TS ắNG HUY RUẳN H Nđi - Năm 2013 Mnc lnc Me ĐAU M®T SO KHÁI NIfiM CƠ BAN 1.1 Các khái ni¾m ban 1.1.1 Đ%nh nghĩa đo th% 1.1.2 Bieu dien đo th% bang hình HQc 1.1.3 Xích, chu trình, đưịng vịng 1.1.4 Đo th% liên thông chu so .10 1.2 Đo th% đưoc gán nhãn 11 1.2.1 Đ%nh nghĩa 11 1.2.2 Nguon .12 CÂY SINH ƯéC 16 2.1 Cây 16 2.1.1 Đ%nh nghĩa 16 2.1.2 Đ¾c điem cna có hưóng 18 2.2 Cây sinh ưóc 22 2.2.1 Đ%nh nghĩa 22 2.2.2 Thu¾t tốn xây dnng sinh ưóc 22 2.2.3 Úng dung 24 NGUON ĐONG DƯ 27 3.1 Nguon đong dư .27 3.1.1 Đ%nh nghĩa nguon đong dư .27 3.1.2 Đ%nh nghĩa Euclid 27 3.1.3 Thu¾t tốn xây dnng nguon đong dư .28 3.2 Nguon giao 31 3.3 Úng dung 39 Ket lu¾n 49 Tài li¾u tham khao 51 Me ĐAU Tốn HQc rịi rac nghiên cúu cau trúc có tính chat rịi rac khơng liên tuc Tốn rịi rac bao gom lĩnh vnc quan h¾, lý thuyet đo th%, logic tốn, ngơn ngu hình thúc , lý thuyet đo th% l mđt bđ phắn TRQNG tõm vúi nhieu khoi long kien thúc lý thú đưoc nghiên cúu nhieu nhat Lý thuyet đo th% m®t chun ngành tốn HQc hi¾n đai đưoc úng dung vào nhieu ngành khoa HQc, ky thu¾t khác nhau, boi lý thuyet đo th% phương pháp khoa HQc có tính khái qt cao có tính őn đ%nh vung chac the thơng qua đo th% có the mã hóa moi quan h¾ cna đoi tưong đưoc nghiên cúu V¾n dung lý thuyet đo th% đe mơ hình hóa moi quan h¾ giang day se chuyen thành phương pháp day HQc đ¾c thù nâng cao đưoc hi¾u qua giang day thúc đay q trình tn hQc, tn nghiên cúu cna HQc sinh theo hưóng toi ưu hóa Đ¾c bi¾t vi¾c v¾n dung lý thuyet đo th% giang day cịn nham rèn luy¾n lnc h¾ thong hóa kien thúc lnc sáng tao cna HQc sinh Tù nh¾n thúc trên, đe tài "Úng ding đo th% tìm ưác so xác đ%nh t¾p đong dư" khơng nhung nhi¾m vu em phai thnc hi¾n kỳ bao v¾ lu¾n văn tot nghi¾p, mà thnc sn đe tài em rat quan tâm say mê nghiên cúu “Úng dnng đo th% tìm ưác so t¾p đong dư” đe tài mang tính nghiên cúu lý thuyet, có tam quan TRQNG ý nghĩa thiet thnc cao Lu¾n văn bao gom phan mo đau v ba chng: Chng Mđt so khỏi niắm c ban Nham trình bày nhung khái ni¾m ban nhat ve đo th%, so tìm hieu sâu sac van đe tiep theo Moi phan gom: Đ%nh nghĩa, đ%nh lý tính chat ban cna đo th% Ngồi ra, chương cịn trình bày m®t so phương pháp bieu dien đo th%, moi phương pháp đeu có nhung ưu nhưoc điem riêng, v¾y can lna cHQN phương pháp, cho phù hop vói đ¾c điem tùng tốn đat đưoc hi¾u qua ve thu¾t tốn Me ĐAU Chương Cây sinh ưác Cây m®t trưịng hop riêng cna đo th%, đe nghiên cúu het tính chat, khái ni¾m ve can ca m®t khoi lưong kien thúc đo s® có nhung đe tài nghiên cúu sâu ve Trong chương chi đe c¾p tói nhung điem nhat, ban nhat ve t¾p trung khai thác nhung úng dung cna Nhung úng dung cna rat nhieu, chương chi đe c¾p tói nhung úng dung so nhat, thiet thnc nhat Đó úng dung cna đe giai tốn tìm ưóc so Chương Nguon đong dư Đây chương cuoi chương se đe c¾p tói nhieu úng dung nhat Trong chương se nhac lai thu¾t tốn gan gũi vói cuđc song ú l thuắt toỏn xõy dnng o th% xác đ%nh t¾p đong dư, đưoc gQI tat nguon đong dư Tù cách xây dnng t¾p đong dư ta có the thay đưoc úng dung cna vào vi¾c chuyen tốn phúc tap tính tốn ve tốn giai đơn gian Hà N®i, tháng 11 năm 2013 Chương M®T SO KHÁI NIfiM CƠ BAN 1.1 Các khái ni¾m ban Hai chu “đo th%” van thưịng xun xuat hi¾n địi song tốn HQc ca đòi song hàng ngày Trong giị tốn, tùng nói tói đo th% cna hàm so Hay công so, nhân viên phai l¾p bieu đo theo dõi lưong tiêu thu iắn Núi chung, khỏi niắm o th% l mđt khỏi niắm khỏ quen thuđc vúi chỳng ta nham bieu dien tương quan qua lai giua hai ho¾c nhieu đoi tưong tốn HQc khác e đây, khái ni¾m đo th% van đưoc dùng theo nghĩa mang tính trùu tưong 1.1.1 Đ%nh nghĩa đo th% T¾p hop X ƒ= ∅ đoi tưong b® E c¾p sap thú tn khơng sap thú tn phan tu cna X đưoc GQI m®t đo th%,đong thịi đưoc ký hi¾u bang G(X, E) ho¾c bang G = (X, E) ho¾c bang G(X) Các phan tu cna X đưoc GQI đinh C¾p đinh khơng sap thú tn GQI canh, c¾p đinh sap thú tn đưoc GQI canh có hưóng hay cung Đo th% chi chúa canh đưoc GQI đo th% vô hưóng, cịn đo th% chi chúa cung đưoc GQI đo th% có hưóng Neu đo th% chúa ca canh lan cung đưoc gQI đo th% hon hop hay o th% hon tap Mđt cắp inh có the đưoc noi vói bang hai ho¾c nhieu hai canh (hai ho¾c nhieu hai cung hưóng) Các canh (cung) đưoc GQI canh (cung) b®i Chương M®T SO KHÁI NI›M CƠ BÁN M®t cung hay m®t canh có the bat đau ket thúc tai m®t đinh Cung hay canh loai đưoc GQI khuyên hay nút C¾p đinh x, y đưoc noi vói bang canh (cung) a x, y đưoc GQI đinh hay hai đau cna canh (cung) a, a đưoc GQI canh (cung) thu®c đinh x, y Neu cung b xuat phát tù đinh u vào đinh v, u đưoc GQI đinh đau, cịn v đưoc gQI đinh cuoi cna cung b C¾p đinh x, y đưoc GQI hai đinh ke nhau, neu x ƒ= y hai đau cna m®t canh hay m®t cung Đoi vói MQI đinh x dùng D(x) đe chi t¾p đinh, mà moi đinh đưoc noi vói x bang nhat m®t canh; D+ (x) đe chi t¾p đinh, mà moi đinh tù x có cung tói; D− (x) dùng đe chi t¾p đinh mà moi đinh có cung tói x Hai canh (cung) a, b đưoc GQI ke neu chúng khác có chung đinh (neu a, b cung khơng phu thu®c vào đinh chung đinh đau hay đinh cuoi cna cung a, đinh đau hay đinh cuoi cna cung b) Ví di 1.1 Cho đo th% hon hop có khuyên G(X, E) vói t¾p đinh: X = {x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7}, T¾p canh cung: E= {(x1, x2) , (x2, x3) , (x4, x6) , (x5, x6) , (x3, x3) , (x1, x6) , (x5, x5)} = { a1 , a2 , a3, a4 , a5 , b1 , b2 } Trong a1, a2, a3, a4, a5- canh, b1, b2- cung, cung b1 có x1 đinh đau, x6 đinh cuoi Đo th% G(X, E) khun moi c¾p đinh đưoc noi vói bang khơng q m®t canh, đưoc GQI đo th% đơn hay đơn đo th% thơng thưịng gQI đo th% Đo th% G(X, E) khơng có khun cú ớt nhat mđt cắp inh oc noi vúi tù hai canh tro lên đưoc GQI đa đo th% Đa đo th% vơ hưóng m®t b® G(X, E), đó: (1) X ƒ= ∅ t¾p hop huu han gom đinh cna đo th% (2) E l mđt HQ cỏc cắp khụng cú thỳ tn cna X GQI canh Đa đo th% có hưóng m®t b® G(X, E), đó: (1) X ƒ= ∅ t¾p hop huu han gom đinh cna o th% (2) E l mđt HQ cỏc cắp cú thú tn cna X GQI cung M®t đo th% hay đa đo th% có khun, đưoc GQI đo th% hay đa đo th% có khuyên Đo th% vơ hưóng (có hưóng) G(X, E) đưoc GQI đo th% đay đn, neu moi c¾p đinh đưoc noi vói bang m®t canh (m®t cung vói chieu tùy ý) Đo th% (đa đo th%) G(X, E) đưoc GQI huu han neu so đinh cna huu han, túc t¾p X có lnc lưong huu han Gia su G(X, E) m®t đo th% hay đa đo th% có hưóng ho¾c khơng có hưóng So canh v cung thuđc inh x oc GQI l bắc cna đinh x ký hi¾u bang m(x) Đinh có b¾c bang GQI đinh bi¾t l¾p Đinh có b¾c bang GQI đinh treo Canh (cung) có nhat m®t đau đinh treo đưoc GQI canh (cung) treo 1.1.2 Bieu dien đo th% bang hình HQC Đo th% có nhieu cách bieu dien, phan chi trình bày cách bieu dien bang hình HQc Gia su có đo th% G(X, E) Đe có dang bieu dien hình HQc cna G ta can bieu dien đinh canh Bieu dien đinh: Lay điem m¾t phang hay khơng gian tương úng vói phan tu cna t¾p X dùng ký hi¾u phan tu đe ghi điem tương úng Bieu dien canh: Neu canh vói hai đinh đau x, y đưoc bieu dien bang m®t đoan thang hay m®t đoan cong noi giua hai điem x, y không qua điem tương úng trung gian khác Bieu dien cung: Neu cung có đinh đau x, đinh cuoi y, oc bieu dien bang mđt oan thang hoắc mđt oan cong đưoc đ%nh hưóng tù x sang y khơng qua điem tương úng trung gian khác Hình nh¾n đưoc GQI dang bieu dien hình HQc cna đo th% G(X, E) Đơi ngưịi ta GQI dang bieu dien hình HQc đo th% Ví di 1.2 Dang bieu dien hình HQc cua đo th% G(X, E) cho ví dn 1.1: 1.1.3 Xích, chu trình, đưàng vịng Đoi vói đo th% (đa đo th%) vơ hưóng có khái ni¾m xích (dây chuyen) chu trình, cịn đoi vói đo th% (đa đo th%) có hưóng ton tai khái ni¾m đưịng vịng Tuy v¾y, ngưịi ta van thưịng dùng khái ni¾m đưịng cho ca đo th % đa đo th% vơ hưóng 1.1.3.1 Xích, chu trình Gia su G(X, E) m®t đo th% hay đa đo th% vơ hưóng Dãy α đinh cna G (X, E) : α = [x1, x2, , xi, xi+1, , xn−1, xn] đưoc GQI m®t xích hay m®t dây chuyen, neu ∀i (1 ≤ i ≤ n − 1) c¾p đinh xi, xi+1 ke (có canh noi vói nhau) Các đinh x1 , xn đưoc GQI hai đinh đau cna xích α đưoc GQI đ® dài cna xích α, đong thịi đưoc ký hi¾u bang |α| Các đinh x1 , xn đưoc GQI hai đinh đau cna xích α Ngồi ra, cịn nói rang xích α noi giua đinh x1 xn Đe chi rõ đinh đau đinh cuoi ta cịn ký hi¾u α bang α [x1 , xn ] M®t xích vói hai đau trùng nhau, đưoc gQI m®t chu trình Xích (chu trình) α đưoc GQI xích (chu trình) đơn (sơ cap hay ban) neu qua moi canh (moi đinh) khơng q m®t lan Ví di 1.3 Cho đo th%: α1 α2 α3 α4 = = = = x1x2x3x4x5x6 xích đơn sơ cap x2x3x4x5x1x2x5 xích đơn, khơng sơ cap x1x2x4x5x6x1 chu trình đơn sơ cap x1x5x2x4x5x6x1 chu trình đơn, khơng chu trình sơ cap 1.1.3.2 Đưàng, vịng Gia su G(X, E) đo th% hay đa đo th% có hưóng Dãy đinh β cna G(X, E) β = [x1, x2, , xi, xi+1, , xm−1, xm] đưoc gQI m®t đưịng hay m®t đưịng đi, neu ∀i (1 ≤ i ≤ m − 1) đinh xi đinh đau, xi+1 đinh cuoi m®t cung tù xi → xi+1 Tőng so v% trí cna tat ca cung xuat hi¾n β đưoc GQI đ® dài cna đưịng β , đong thịi đưoc ký hi¾u bang |β| Đinh x1 đưoc GQI đinh đau, đinh xm đưoc GQI đinh cuoi cna đưòng β Ngưịi ta cịn nói rang, đưịng β xuat phát tù đinh x1 tói đinh xm Đưịng β cũn oc ký hiắu bang [x1, xm] Mđt ũng có đinh đau đinh cuoi trùng đưoc GQI m®t vịng Đưịng (vịng) β đưoc GQI đưịng (vịng) đơn (sơ cap hay ban), neu qua moi canh (moi đinh) khơng q m®t lan Ví di 1.4 Cho đo th% có hưáng: β = [x1x2x3x4x5x6] đưòng đơn đưòng sơ cap β1 = [x2x3x4x5x7x6x2] vòng đơn vòng sơ cap β2 = [x7x2x3x4x5x7x6] đưịng đơn, khơng đưịng sơ cap β3 = [x1x2x3x4x2] khơng đưịng β4 = [x1x7x2x5x7x2x4] khơng đưịng đơn, khơng vịng sơ cap β5 = [x1x7x2x5x7x6x1] vịng đơn, khơng vịng sơ cap Hai xích (chu trình) đưoc GQI rịi nhau, neu chúng khơng có canh chung Hai đưịng (vịng) GQI rịi neu chúng khơng có canh chung Đe de hình dung ta GQI chu trình có đ® dài 3, 4, 5, , n chu trình tam giác, tú giác, ngũ giác, , n giác 1.1.3.3 M®t so tính chat Đ%nh lý 1.1 Trong m®t đo th% vơ hưáng vái n (n ≥ 3) đsnh đsnh đeu có b¾c khơng nhó ln ln ton tai chu trình sơ cap ChÚng minh Vì đo th% huu han, mà moi xích sơ cap qua tùng đinh khơng q m®t lan, nên so xích sơ cap đo th% G(X, E) m®t so huu han Boi v¾y ln ln xác đ%nh đưoc xích sơ cap có đ® dài cnc đai đo th% G(X, E) Gia su α = [x1, x2, , xk−1, xk] m®t nhung xích sơ cap có đ® dài cnc Do bắc cna moi inh thuđc G khụng nho 2, nên x1 phai ke vói m®t đinh y khác x2 Ngưoc lai, neu đinh y khác vói đinh xi (3 ≤ i ≤ k) xích sơ cap 2) Cung *) Xuat phát tù đinh vào (K, V ) có cung vói nhãn tương úng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, +) Các cung nhãn 3, 6, tói đinh (T, 0) +) Các cung nhãn 1, 4, tói đinh (T, 1) +) Các cung nhãn 2, 5, tói đinh (T, 2) +) Các cung nhãn 3, tói đinh ket (L, 0) *) Xuat phát tù moi đinh (T, i) (i ∈ {0, 1, 2}) có 10 cung vói nhãn tương úng 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, +) Các cung nhãn 0, 3, 6, khuyên tai đinh (T, i) (i ∈ {0, 1, 2}) +) Các cung nhãn 1, 4, tù đinh (T, k) sang đinh (T, k + 1) (k ∈ {0, 1}) tù đinh (T, 2) ve đinh (T, 0) +) Các cung nhãn 2, 5, tù đinh (T, s) sang đinh (T, s − 1) (s ∈ {1, 2}) Tù đinh (T, 0) cung nhãn 2, 5, tói đinh (T, 2) Ngồi • Tù đinh (T, 0) cịn có +) Các cung nhãn 3, tói đinh (L, 0) +) Các cung nhãn 1, tói đinh (L, 1) +) Cung nhãn tói đinh (L, 2) • Tù đinh (T, 1) cịn có +) Các cung nhãn 3, tói đinh (L, 1) +) Các cung nhãn 1, tói đinh (L, 2) +) Cung nhãn tói đinh (L, 0) • Tù đinh (T, 2) cịn có +) Các cung nhãn 1, ve đinh (L, 0) +) Các cung nhãn 3, ve đinh (L, 2) +) Cung nhãn ve đinh (L, 1) Nguon Il3 Hình 3.3 Như v¾y: Nhãn cna moi đưòng xuat phát tù đinh vào (K, V ) tói đinh ket (L, 0) đeu m®t so le chia het cho 3.3 Úng dnng Trong phan se xây dnng m®t so nguon đong dư Cách làm tương tn trình bày phan ví du Bài tốn 3.1 Hãy xây dnng nguon I2 sinh t¾p hap so nguyên dương chia cho dư Hình 3.4 Bài toán 3.2 Hãy xây dnng nguon I0 het cho sinh t¾p hap so ngun dương chia Hình 3.5 Bài toán 3.3 Hãy xây dnng nguon I0 het cho sinh t¾p hap so nguyên dương chia Hình 3.6 Bài tốn 3.4 Hãy xây dnng nguon I2 cho dư sinh t¾p hap so ngun dương chia Hình 3.7 Bài tốn 3.5 Hãy xây dnng nguon I6 cho dư sinh t¾p hap so nguyên dương chia Hình 3.8 Bài toán 3.6 Hãy xây dnng nguon I0 het cho sinh t¾p hap so nguyên dương chia Hưáng dan: Vói tốn phúc tap ta nên gap đơi t¾p đinh lên đe de quan sát Khi tói đinh i (0 ≤ i ≤ 7)o tang hai, chuyen ve đinh i thu®c tang m®t mà tiep cho đen het so can xác đ%nh so dư dùng lai (có the cho tat ca cung tù tang m®t xuong thang tang hai) Hình 3.9 Ví dn: So 176440 chang han: Thì ta có so o “tang thú nhat”, so xuong “tang thú hai” muon tìm tiep so ta lai tro ve tang thú nhat đe xuat phát tù đinh Ket qua so 176440 chia het cho Sau ta se nghiên cúu toán xây dnng nguon đong dư o nhung phép chia cho nhung so lón 10 Bài tốn 3.7 Hãy xây dnng nguon I0 het cho 11 1 sinh t¾p hap so nguyên dương chia Hưáng dan: Vói tốn phúc tap ta nên gap ba t¾p đinh lên đe de quan sát Khi đen đinh i (0 ≤ i ≤ 10) mà đinh khơng có cung ra, chuyen lên i o tang khác, có cung mà tiep Hình 3.10 Ví dn: So 117975 chia het cho 11 Bài toán 3.8 Hãy xây dnng nguon I0 het cho 13 có dang sau: sinh t¾p hap so nguyên dương chia Nguon I1 Đinh vào ký hi¾u bang chu v đ¾t trịn có mũi tên vào 13 đinh cịn lai tương úng vói 13 so dư, nên đưoc ký hi¾u bang so dư Đinh đưoc thùa nh¾n đinh ket, nên đưoc đ¾t vuông Đe đõ phúc tap ve cung Nên trù đinh vào, đinh lai đeu đưoc tăng gap lan Hưáng dan: Khi tói đinh i (0 ≤ i ≤ 13), mà đinh khơng có cung ra, chuyen i tang khác, có cung mà tiep Hình 3.11 Bài tốn 3.9 Hãy xác đ%nh nguon G sinh t¾p so dương lé gom so chia het cho chia het cho Hưáng dan: Vì nguon G sinh t¾p so có nhieu tính chat nên trưóc het ta phai phân tính chat roi xây dnng nguon thành phan, sau thnc hi¾n phép giao đe đưoc nguon G Bưác 1: - Xây dnng nguon I1 sinh so dương le chia het cho - Xây dnng nguon I2 sinh so dương chia het cho Bưác 2: Xây dnng nguon giao cna I1và I2 ta đưoc nguon G Hình 3.12 Ket lu¾n Lu¾n văn: "Úng ding đo th% đe tìm ưác so xác %nh ong d" ó at oc mđt so ket qua sau: Luắn ó trỡnh by mđt so khái ni¾m ban ve đo th%, đo th% đưoc gán nhãn, cách bieu đo th% bang hình HQc tính chat cna xích, chu trình, đưịng vịng Lu¾n văn trình bày ve cây, sinh ưóc thu¾t tốn xây dnng sinh ưóc Luắn ó trỡnh by mđt dang a o th% có hưóng đưoc gán nhãn có tên GQI nguon thu¾t tốn xây dnng nguon Lu¾n văn su tam v cHQN LQc oc mđt hắ thong cỏc t¾p tù de tói khó ve so HQc chương trình phő thơng mà có the su dung đo th% đe giai tốn Lu¾n văn trình bày đưoc úng dung cna đe xác đ%nh so ưóc cna so nguyên dương úng dung cna nguon đong dư đe tìm so dư tốn thnc hiắn phộp tớnh chia qua mđt so bi toỏn (như toán 2.1, toán 2.2, toán 2.3; ví du 3.1, ví du 3.2), m®t so tốn sáng tao (như toán 3.7, toán 3.8, tốn 3.9) Vói ưóc muon góp phan nho làm phong phú thêm van đe nghiên cúu, m¾c dù co gang nhieu song ket qua chưa đưoc Em rat co gang nghiên cúu trình bày lu¾n văn, song khó tránh khoi thieu sót Em rat mong đưoc sn chi bao, góp ý cna thay ban đe lu¾n văn hồn chinh 49 LèI CAM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan nhi¾t tình, quan tâm chu đáo cna GS TS Đ¾ng Huy Ru¾n Thay dành rat nhieu thịi gian đe hưóng dan giai đáp thac mac cna em suot trình làm lu¾n văn Em xin bày to lịng cam ơn sâu sac nhat tói ngưịi thay cna Qua đây, em xin gui lịi cam ơn sâu sac tói thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc trưịng Đai HQc Khoa HQ c Tn Nhiên - Đai HQc Quoc Gia H Nđi v Xemina Toỏn s cap, ắc bi¾t thay tham gia giang day khóa cao HQc 2011 - 2013 Em xin cam ơn gia đình, ban bè tat ca MQI ngưịi quan tõm, tao ieu kiắn, đng viờn, c v em e em có the hồn thành tot lu¾n văn Vói ưóc muon góp phan nho làm phong phú thêm van đe nghiên cúu, m¾c dù co gang nhieu song ket qua chưa đưoc Em rat co gang nghiên cúu trình bày lu¾n văn, song khó tránh khoi thieu sót Em rat mong đưoc sn chi bao, góp ý cna thay ban đe em hồn thành tot đe tài lu¾n văn 50 Tài li¾u tham khao [1] Claude Berge (1967), Theorie des Graphes et ses applications, Dunod, Paris [2] Hoàng Chúng (1992), Graph giai tốn phő thơng [3] Nguyen Huu Ngn (2002), Lý thuyet đo th%, NXB Đai HQc quoc gia H Nđi [4] ắng Huy Ruắn, Nguyen ng Phat, Nguyen Văn M¾u, Tr%nh Đào Chien (2011), Các chuyên đe CHQN LQc tù Olympic toán HQc trung HQc phő thơng [5] Đ¾ng Huy Ru¾n (2004), Lý thuyet đo th% úng dnng, NXB Khoa HQc Ky thu¾t [6] Đ¾ng Huy Ru¾n, Phương pháp giai tốn chia het, NXB Khoa HQc Ky thu¾t 51 ... đong dư Đ%nh nghĩa nguon đong dư Nguon có t¾p nhãn t¾p so đong dư đưoc GQI nguon đong dư Nguon vói nhãn t¾p so đong dư vói k theo modul m đưoc GQI nguon đong dư vói k theo modul m đong thịi đưoc... hi¾n xác đ%nh thú tn, xác đ%nh so cách sap xep, so so nguyên thoa mãn nhung đieu ki¾n ưóc cna so nguyên dư? ?ng Trong lu¾n văn xin trình bày úng dung cna đe xác đ%nh so ưóc cna so nguyên dư? ?ng... so dư? ?ng le chia het cho - Xây dnng nguon I2 sinh so dư? ?ng chia het cho Bưác 2: Xây dnng nguon giao cna I 1và I2 ta đưoc nguon G Hình 3.12 Ket lu¾n Lu¾n văn: "Úng ding đo th% đe tìm ưác so xác