Ứng dụng đồ thị tìm ước số và xác định tập đồng dư

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ THỦY ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ TÌM ƯỚC SỐ VÀ XÁC ĐỊNH TẬP ĐỒNG DƯ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS ĐẶNG HUY RUẬN Hà Nội - Năm 2013 Mục lục MỞ ĐẦU 4 10 11 11 12 CÂY SINH ƯỚC 2.1 Cây 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Đặc điểm có hướng 2.2 Cây sinh ước 2.2.1 Định nghĩa 2.2.2 Thuật toán xây dựng sinh ước 2.2.3 Ứng dụng 16 16 16 18 22 22 22 24 27 27 27 27 28 31 39 49 51 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Định nghĩa đồ thị 1.1.2 Biểu diễn đồ thị hình học 1.1.3 Xích, chu trình, đường vịng 1.1.4 Đồ thị liên thông chu số 1.2 Đồ thị gán nhãn 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Nguồn NGUỒN ĐỒNG DƯ 3.1 Nguồn đồng dư 3.1.1 Định nghĩa nguồn đồng dư 3.1.2 Định nghĩa Euclid 3.1.3 Thuật toán xây dựng nguồn 3.2 Nguồn giao 3.3 Ứng dụng Kết luận Tài liệu tham khảo đồng dư MỞ ĐẦU Toán học rời rạc nghiên cứu cấu trúc có tính chất rời rạc khơng liên tục Tốn rời rạc bao gồm lĩnh vực quan hệ, lý thuyết đồ thị, logic tốn, ngơn ngữ hình thức , lý thuyết đồ thị phận trọng tâm với nhiều khối lượng kiến thức lý thú nghiên cứu nhiều Lý thuyết đồ thị chuyên ngành toán học đại ứng dụng vào nhiều ngành khoa học, kỹ thuật khác nhau, lý thuyết đồ thị phương pháp khoa học có tính khái qt cao có tính ổn định vững thơng qua đồ thị mã hóa mối quan hệ đối tượng nghiên cứu Vận dụng lý thuyết đồ thị để mơ hình hóa mối quan hệ giảng dạy chuyển thành phương pháp dạy học đặc thù nâng cao hiệu giảng dạy thúc đẩy trình tự học, tự nghiên cứu học sinh theo hướng tối ưu hóa Đặc biệt việc vận dụng lý thuyết đồ thị giảng dạy nhằm rèn luyện lực hệ thống hóa kiến thức lực sáng tạo học sinh Từ nhận thức trên, đề tài "Ứng dụng đồ thị tìm ước số xác định tập đồng dư" nhiệm vụ em phải thực kỳ bảo vệ luận văn tốt nghiệp, mà thực đề tài em quan tâm say mê nghiên cứu “Ứng dụng đồ thị tìm ước số tập đồng dư” đề tài mang tính nghiên cứu lý thuyết, có tầm quan trọng ý nghĩa thiết thực cao Luận văn bao gồm phần mở đầu ba chương: Chương Một số khái niệm Nhằm trình bày khái niệm đồ thị, sở tìm hiểu sâu sắc vấn đề Mỗi phần gồm: Định nghĩa, định lý tính chất đồ thị Ngồi ra, chương cịn trình bày số phương pháp biểu diễn đồ thị, phương pháp có ưu nhược điểm riêng, cần lựa chọn phương pháp, cho phù hợp với đặc điểm toán đạt hiệu thuật toán MỞ ĐẦU Chương Cây sinh ước Cây trường hợp riêng đồ thị, để nghiên cứu hết tính chất, khái niệm cần khối lượng kiến thức đồ sộ có đề tài nghiên cứu sâu Trong chương đề cập tới điểm nhất, tập trung khai thác ứng dụng Những ứng dụng nhiều, chương đề cập tới ứng dụng sở nhất, thiết thực Đó ứng dụng để giải tốn tìm ước số Chương Nguồn đồng dư Đây chương cuối chương đề cập tới nhiều ứng dụng Trong chương nhắc lại thuật toán gần gũi với sống Đó thuật tốn xây dựng đồ thị xác định tập đồng dư, gọi tắt nguồn đồng dư Từ cách xây dựng tập đồng dư ta thấy ứng dụng vào việc chuyển tốn phức tạp tính tốn toán giải đơn giản Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Các khái niệm Hai chữ “đồ thị” thường xuyên xuất đời sống toán học đời sống hàng ngày Trong tốn, nói tới đồ thị hàm số Hay công sở, nhân viên phải lập biểu đồ theo dõi lượng tiêu thụ điện Nói chung, khái niệm đồ thị khái niệm quen thuộc với nhằm biểu diễn tương quan qua lại hai nhiều đối tượng toán học khác Ở đây, khái niệm đồ thị dùng theo nghĩa mang tính trừu tượng 1.1.1 Định nghĩa đồ thị Tập hợp X = ∅ đối tượng E cặp thứ tự không thứ tự phần tử X gọi đồ thị,đồng thời ký hiệu G(X, E) G = (X, E) G(X) Các phần tử X gọi đỉnh Cặp đỉnh không thứ tự gọi cạnh, cặp đỉnh thứ tự gọi cạnh có hướng hay cung Đồ thị chứa cạnh gọi đồ thị vô hướng, đồ thị chứa cung gọi đồ thị có hướng Nếu đồ thị chứa cạnh lẫn cung gọi đồ thị hỗn hợp hay đồ thị hỗn tạp Một cặp đỉnh nối với hai nhiều hai cạnh (hai nhiều hai cung hướng) Các cạnh (cung) gọi cạnh (cung) bội Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Một cung hay cạnh bắt đầu kết thúc đỉnh Cung hay cạnh loại gọi khuyên hay nút Cặp đỉnh x, y nối với cạnh (cung) a x, y gọi đỉnh hay hai đầu cạnh (cung) a, a gọi cạnh (cung) thuộc đỉnh x, y Nếu cung b xuất phát từ đỉnh u vào đỉnh v , u gọi đỉnh đầu, cịn v gọi đỉnh cuối cung b Cặp đỉnh x, y gọi hai đỉnh kề nhau, x = y hai đầu cạnh hay cung Đối với đỉnh x dùng D(x) để tập đỉnh, mà đỉnh nối với x cạnh; D+ (x) để tập đỉnh, mà đỉnh từ x có cung tới; D− (x) dùng để tập đỉnh mà đỉnh có cung tới x Hai cạnh (cung) a, b gọi kề chúng khác có chung đỉnh (nếu a, b cung khơng phụ thuộc vào đỉnh chung đỉnh đầu hay đỉnh cuối cung a, đỉnh đầu hay đỉnh cuối cung b) Ví dụ 1.1 Cho đồ thị hỗn hợp có khuyên G(X, E) với tập đỉnh: X = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 }, Tập cạnh cung: E = {(x1 , x2 ) , (x2 , x3 ) , (x4 , x6 ) , (x5 , x6 ) , (x3 , x3 ) , (x1 , x6 ) , (x5 , x5 )} = { a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , b1 , b2 } Trong a1 , a2 , a3 , a4 , a5 - cạnh, b1 , b2 - cung, cung b1 có x1 đỉnh đầu, x6 đỉnh cuối Đồ thị G(X, E) khuyên cặp đỉnh nối với không cạnh, gọi đồ thị đơn hay đơn đồ thị thông thường gọi đồ thị Đồ thị G(X, E) khơng có khun có cặp đỉnh nối với từ hai cạnh trở lên gọi đa đồ thị Đa đồ thị vô hướng G(X, E), đó: (1) X = ∅ tập hợp hữu hạn gồm đỉnh đồ thị (2) E họ cặp khơng có thứ tự X gọi cạnh Đa đồ thị có hướng G(X, E), đó: (1) X = ∅ tập hợp hữu hạn gồm đỉnh đồ thị (2) E họ cặp có thứ tự X gọi cung Một đồ thị hay đa đồ thị có khun, gọi đồ thị hay đa đồ thị có khuyên Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Đồ thị vơ hướng (có hướng) G(X, E) gọi đồ thị đầy đủ, cặp đỉnh nối với cạnh (một cung với chiều tùy ý) Đồ thị (đa đồ thị) G(X, E) gọi hữu hạn số đỉnh hữu hạn, tức tập X có lực lượng hữu hạn Giả sử G(X, E) đồ thị hay đa đồ thị có hướng khơng có hướng Số cạnh cung thuộc đỉnh x gọi bậc đỉnh x ký hiệu m(x) Đỉnh có bậc gọi đỉnh biệt lập Đỉnh có bậc gọi đỉnh treo Cạnh (cung) có đầu đỉnh treo gọi cạnh (cung) treo 1.1.2 Biểu diễn đồ thị hình học Đồ thị có nhiều cách biểu diễn, phần trình bày cách biểu diễn hình học Giả sử có đồ thị G(X, E) Để có dạng biểu diễn hình học G ta cần biểu diễn đỉnh cạnh Biểu diễn đỉnh: Lấy điểm mặt phẳng hay không gian tương ứng với phần tử tập X dùng ký hiệu phần tử để ghi điểm tương ứng Biểu diễn cạnh: Nếu cạnh với hai đỉnh đầu x, y biểu diễn đoạn thẳng hay đoạn cong nối hai điểm x, y không qua điểm tương ứng trung gian khác Biểu diễn cung: Nếu cung có đỉnh đầu x, đỉnh cuối y , biểu diễn đoạn thẳng đoạn cong định hướng từ x sang y không qua điểm tương ứng trung gian khác Hình nhận gọi dạng biểu diễn hình học đồ thị G(X, E) Đôi người ta gọi dạng biểu diễn hình học đồ thị Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Ví dụ 1.2 Dạng biểu diễn hình học đồ thị G(X, E) cho ví dụ 1.1: 1.1.3 Xích, chu trình, đường vịng Đối với đồ thị (đa đồ thị) vơ hướng có khái niệm xích (dây chuyền) chu trình, cịn đồ thị (đa đồ thị) có hướng tồn khái niệm đường vòng Tuy vậy, người ta thường dùng khái niệm đường cho đồ thị đa đồ thị vơ hướng 1.1.3.1 Xích, chu trình Giả sử G(X, E) đồ thị hay đa đồ thị vô hướng Dãy α đỉnh G (X, E) : α = [x1 , x2 , , xi , xi+1 , , xn−1 , xn ] gọi xích hay dây chuyền, ∀i (1 ≤ i ≤ n − 1) cặp đỉnh xi , xi+1 kề (có cạnh nối với nhau) Các đỉnh x1 , xn gọi hai đỉnh đầu xích α gọi độ dài xích α, đồng thời ký hiệu |α| Các đỉnh x1 , xn gọi hai đỉnh đầu xích α Ngồi ra, cịn nói xích α nối đỉnh x1 xn Để rõ đỉnh đầu đỉnh cuối ta ký hiệu α α [x1 , xn ] Một xích với hai đầu trùng nhau, gọi chu trình Xích (chu trình) α gọi xích (chu trình) đơn (sơ cấp hay bản) qua cạnh (mỗi đỉnh) không lần Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Ví dụ 1.3 Cho đồ thị: α1 = x1 x2 x3 x4 x5 x6 xích đơn sơ cấp α2 = x2 x3 x4 x5 x1 x2 x5 xích đơn, khơng sơ cấp α3 = x1 x2 x4 x5 x6 x1 chu trình đơn sơ cấp α4 = x1 x5 x2 x4 x5 x6 x1 chu trình đơn, khơng chu trình sơ cấp 1.1.3.2 Đường, vịng Giả sử G(X, E) đồ thị hay đa đồ thị có hướng Dãy đỉnh β G(X, E) β = [x1 , x2 , , xi , xi+1 , , xm−1 , xm ] gọi đường hay đường đi, ∀i (1 ≤ i ≤ m − 1) đỉnh xi đỉnh đầu, xi+1 đỉnh cuối cung từ xi → xi+1 Tổng số vị trí tất cung xuất β gọi độ dài đường β , đồng thời ký hiệu |β| Đỉnh x1 gọi đỉnh đầu, đỉnh xm gọi đỉnh cuối đường β Người ta cịn nói rằng, đường β xuất phát từ đỉnh x1 tới đỉnh xm Đường β ký hiệu β [x1 , xm ] Một đường có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng gọi vòng Đường (vòng) β gọi đường (vòng) đơn (sơ cấp hay bản), qua cạnh (mỗi đỉnh) khơng q lần Chương MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Ví dụ 1.4 Cho đồ thị có hướng: β = [x1 x2 x3 x4 x5 x6 ] đường đơn đường sơ cấp β1 = [x2 x3 x4 x5 x7 x6 x2 ] vòng đơn vòng sơ cấp β2 = [x7 x2 x3 x4 x5 x7 x6 ] đường đơn, không đường sơ cấp β3 = [x1 x2 x3 x4 x2 ] không đường β4 = [x1 x7 x2 x5 x7 x2 x4 ] khơng đường đơn, khơng vịng sơ cấp β5 = [x1 x7 x2 x5 x7 x6 x1 ] vịng đơn, khơng vịng sơ cấp Hai xích (chu trình) gọi rời nhau, chúng khơng có cạnh chung Hai đường (vịng) gọi rời chúng khơng có cạnh chung Để dễ hình dung ta gọi chu trình có độ dài 3, 4, 5, , n chu trình tam giác, tứ giác, ngũ giác, , n giác 1.1.3.3 Một số tính chất Định lý 1.1 Trong đồ thị vô hướng với n (n ≥ 3) đỉnh đỉnh có bậc khơng nhỏ ln ln tồn chu trình sơ cấp Chứng minh Vì đồ thị hữu hạn, mà xích sơ cấp qua đỉnh khơng q lần, nên số xích sơ cấp đồ thị G(X, E) số hữu hạn Bởi ln ln xác định xích sơ cấp có độ dài cực đại đồ thị G(X, E) Giả sử α = [x1 , x2 , , xk−1 , xk ] xích sơ cấp có độ dài cực đại Do bậc đỉnh thuộc G không nhỏ 2, nên x1 phải kề với đỉnh y khác x2 Ngược lại, đỉnh y khác với đỉnh xi (3 ≤ i ≤ k) xích sơ cấp ... chương nhắc lại thuật tốn gần gũi với sống Đó thuật toán xây dựng đồ thị xác định tập đồng dư, gọi tắt nguồn đồng dư Từ cách xây dựng tập đồng dư ta thấy ứng dụng vào việc chuyển tốn phức tạp tính... tự, xác định số cách xếp, số số nguyên thỏa mãn điều kiện ước số nguyên dư? ?ng Trong luận văn xin trình bày ứng dụng để xác định số ước số nguyên dư? ?ng 2.1 2.1.1 Cây Định nghĩa Một đồ thị vô hướng... việc vận dụng lý thuyết đồ thị giảng dạy cịn nhằm rèn luyện lực hệ thống hóa kiến thức lực sáng tạo học sinh Từ nhận thức trên, đề tài "Ứng dụng đồ thị tìm ước số xác định tập đồng dư" nhiệm