Luận văn thạc sĩ về tính lồi đa thức của một số tập hợp trong cn

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN HỒNG PHƯƠNG KHÁNH VE TÍNH LOI ĐA THÚC CUA MđT SO TắP HeP TRONG Cn LUắN VN THAC SĨ TỐN HOC Hà N®i - Năm 2011 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN HỒNG PHƯƠNG KHÁNH VE TÍNH LOI ĐA THÚC CUA M®T SO T¾P HeP TRONG Cn Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so : 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS NINH VĂN THU Hà N®i - Năm 2011 Mnc lnc Lài nói đau M®t so kien thÉc chuan b% 1.1 Hàm chinh hình 1.2 Hàm đa đieu hòa .5 1.3 M®t so đ%nh lý xap xi .6 1.4 Khỏi niắm loi a thỳc v mđt so ví du 1.5 Đai so đeu 1.6 Bő đe Kallin 13 1.7 Đa tap thuan túy thnc 18 1.8 Vành chinh hình 21 Tính loi đa thÉc cua hap hai n-phang thEc Cn 22 2.1 Tính loi đa thúc cna hop hai n-phang thnc Cn 22 2.2 Xap xi đa thúc .31 2.3 Ví du 35 Ket lu¾n 38 Ti liắu tham khao 39 Chng Mđt so kien thÉc chuan b% 1.1 Hàm chinh hình n , ta nhat Cnn vói R2n Xét hàmGia f :su ΩΩ → C,t¾p f ∈mo C1trong (Ω),nΣ zC xj có + the iy j = 1, , j = nj,đong Σ ∂f dy df = + ∂f dx j= n ∂y j ∂xj + Σ j j= n = Σj ∂f j= dzj, j= ∂z j ∂f dz ∂zj i ∂f = ∂f ∂ ∂fzj = ∂ zj −i ∂f ∂ ∂∂f xj + iyj ∂f ∂ ∂ xj yj Σ, Σ n Ω Đ%nh vái y ∈ Rhàm Hàm GQI=làu(x, R2n -kha viiv(x, tai iy nghĩa 1.1 Gia fsuy)đưac fvà(z) y)vi+tai z0 + = x 0+neu iy xác x, đ%nh u(x, v(x, y) kha (x0z,0y), y=0 ).x Đ%nh nghĩa 1.2 Hàm f đưac GQI Cn -kha vi tai z0 ∈ Ω neu f R2n - kha vi tai z0 f thóa mãn phương trình Cauchy-Riemann: ∂f ∂ ∂ n f zj Σ dz (z0) = 0, j = 1, , n, ∂ túc df j j= zj = Đ%nh nghĩa 1.3 Hàm f đưac GQI chsnh hình tai z0 ∈ Ω neu Cn-kha vi mđt lõn cắn no ú cua z0 Hàm f đưoc GQI chinh hình Ω neu f chinh hình tai MQI z0 ∈ Ω Hàm f đưoc GQI chinh hình t¾p compact K ⊂ Ω neu ton tai t¾p mo ω cho K ⊂ ω ⊂ Ω f chinh hình ω Hàm f chinh hình tồn b® Cn đưoc GQi hàm ngun Đoi vói hàm chinh hình ta có tính chat sau: Đ%nh lý 1.1.Ngun lý mơđun cEc đai Gia su f hàm chsnh hình mien b% ch¾n D liên tnc D Khi ho¾c f hàm hang ho¾c f chs đat cnc đai biên bD cua D 1.2 Hàm đa đieu hòa Đ%nh 1.4.má Hàm thnc bien GQI u(x x2 ,đa , xnhịa ) kha vi liên tnc cap hainghĩa t¾p D⊂ Rnnđưac là1,hàm đieu neu 2 ∂u ∂ ∂u u Ou(x) = vái MQI x ∈ D ∂x (x) + (x) + + (x) = 0, ∂x22 ∂x n Đ%nh lý 1.2 Gia su f (z) = u(x, y) + iv(x, y) hàm chsnh hình mien Ω ⊂ Cn, vái z = x + iy x, y ∈ Rn Khi u(x, y) v(x, y) hàm đa hàm đieu hòa Ω Đ%nh lý 1.3.Nguyên lý cEc đai Gia su u : D → R hàm đa đieu hịa, D ⊂ Cn Neu K t¾p compact cua D f |K đat giá tr% cnc đai cnc tieu biên bK cua tai điem ∈ D hap D là t¾p hangliên so thơng, lân nàocnc đai cua đ%a z0 K Trongz0trưàng neu c¾n f đat phương 1.3 M®t so đ%nh lý xap xi Đ%nh lý 1.4.Đ%nh lý Stone-Weirstrass Mői hàm so liên tnc f (x) trờn mđt compact X Rn l giỏi han eu cua mđt dóy cỏc a thỳc vỏi hắ so huu ts Đ%nh lý 1.5.Đ%nh lý Runge Cho K t¾p compact C C \ K t¾p liên thơng, f hàm chsnh hình K Khi f giái han đeu K cua m®t dãy đa thúc Đ%nh lý 1.6.Đ%nh lý Mergelyan MQI hàm :K Kcólà → Cxap liên cho fvà |int(K) →liên C làthông hàm chsnh Gia compact C \:đaint(K) Kthúc t¾p Khi váifsu hình thet¾p xs tnc đeu K Cbái 1.4 Khái ni¾m t¾p loi đa thÉc m®t so ví dn Đ%nh 1.5 T¾pzhàm K ⊂tuyen Cn đưac neucho: vái l(z MQI0 )z= ∈ Cn \K, ton phiem tính lGQI : Clàn t¾p → Rloisao l(z)nghĩa < 1taivái MQI ∈ K Mo rđng khỏi niắm loi l khỏi niắm t¾p loi đa thúc Đ%nh nghĩa 1.6 T¾p compact X cua Cn đưac GQI loi đa thúc neu vái mői điem z ∈ Cn \ X ton tai đa thúc P cho: |P (z)| > sup{|P (x)| : x ∈ X} Ta ký hi¾u ǁPǁX = sup{|P (x)| : x ∈ X} Đ%nh nghĩa 1.7 Neu X t¾p compact cua Cn, bao loi đa thúc cua X t¾p X^ = {z ∈ Cn : |P (z)| ≤ ǁP ǁX vái MQI đa thúc P } De thay X t¾p loi đa thúc chi X = ^X Vì hàm chinh hình có the khai trien thành chuoi lũy thùa nên t¾p compact X ⊂ Cn loi đa thúc chi moi điem z ∈ Cn \ X ton tai hàm nguyên F cho: |F (z)| > ǁFǁ X Sau m®t so ví du đơn gian ve t¾p loi đa thúc C n Ví dn 1.1 MQI t¾p K compact loi Cn đeu loi đa thúc n z0 ∈ Cn \K Do K t¾p n L(z) L(z) ReL(z) Chúng minh Xét loi ton tai phiem hàm l(z) l(z) tuyen tính ltai : C →là Rhàm saotuyen cho: l(z ǁPǁK nên K t¾p loi đa thúc Ví dn 1.3 MQI t¾p compact K ⊂ Rn đeu loi đa thúc Chúng minh Xét x ∈ Rn\K đ¾t f (z) = Ta có hàm f z− liên tuc K Theo đ%nh lý Stone-Weierstrass x ton tai đa thúc P cho P (x) = > ǁP ǁK Do x ∈/ K^ Vì v¾y K^ ∩ Rn = K Xét w = u + iv ∈ Cn, vói u = (u1, , un), v = (v1, , vn) ∈ Rn, j ∈ Rn Đ¾t F (z) v = 0, túc w Qne−(z / = j= j Vì F |= (w) Qn e−(ivj )2 = −u )2 | j= Qn v 2j ^ e > ǁF ǁRn ≤ nên |F (w)| > ǁF ǁRn ≥ ǁF ǁK Do w ∈/ j= K V¾y K = K^ hay K t¾p loi đa thúc Tù ví du 1.2 đ%nh lý Runge, ta có MQI hm f chinh hỡnh trờn mđt loi a thúc C có the xap xi đeu boi đa thúc Li¾u ket qua có trưịng hop tőng quát Cn không? Đ%nh lý OkaWeil tra lòi cho câu hoi Đ%nh lý 1.7.Đ%nh lý Oka-Weil Do φv (z) ∈ K^ hay φv (∆(r)) K^ Lay z0 = rJ P = φv (z0) ∈/ ⊂ K Nhưng P ∈ K^ Vì v¾y nên K φv(∆(r)) nên P K^ hay Rn ∪ M ∈ (A) khơng loi đa thúc H¾ qua 2.1 Neu ǁAǁ < MQI t¾p compact X cua Rn ∪ M (A) loi đa thúc P(X) = C(X) Chúng minh Ta chúng minh t¾p phő cna A gom giá tr% riêng cna A Xét λ ∈ σ(A) chi A − λI khơng song ánh Vì A − λI : Cn → Cn tốn tu tuyen tính nên A − λI không song ánh chi ker(A − λI) ƒ= {0} Đieu tương đương vói det (A − λI) = hay λ giá tr% riêng cna A Theo đ%nh lý ve bán kính phő, ta có sup{|λ| : λ ∈ σ(A)} ≤ ǁAǁ < Do v¾y mơđun cna MQI giá tr% riêng cna ma tr¾n A đeu nho 1, nên A khơng the có giá tr% riêng thuan ao có mơđun lón Theo đ%nh lý 2.1, ta có đieu phai chúng minh Trong trưịng hop đieu ki¾n cna đ%nh lý 2.1 khơng đưoc thoa mãn, ta có ket qua sau: Đ%nh lý 2.2 Neu A ma tr¾n thnc n × n cho i khơng giá tr% riêng cua A k so giá tr% riêng cua A (ke ca b®i) có dang ti, t > Khi ton tai HQ k-tham so m¾t b¾c hai phúc (2n − k)-chieu thnc Cn mà mői m¾t b¾c hai đeu chúa bao loi đa thỳc cua mđt compact cua M (A) Rn Chúng minh L¾p lu¾n tương tn chúng minh đ%nh lý 2.1, ta có the gia su A có dang chuan Jordan Vì A có k giá tr % riêng ke ca b®i có dang ti nên A chúa k ma tr¾n 2 có dang −tm , tm × Σ m = 1, k GQI (zi1 , zj1 ), , (zik , zjk ) cỏc cắp TQA đ tng ỳng vúi cỏc v% trí cna ma tr¾n Neu z ∈ M (A) z có dang (A + iI)y, vói y = (y1, , yn) ∈ Rn.mVì zi tmyim + iyjm tm > = iyim −tm y jm , zj = m nên zi2 + j2 = (tm − 1)(yi2 + j2 ) không âm Neu z ∈ Rn my m m z m de thay zi2 + j2 không âm Xét đa thúc pm(z) = zi + j2 Neu K m z m m z m t¾p compact bat kỳ cna M (A) ∪ Rn đa thúc pm(z) ln khơng âm K v¾y khơng âm K^ Th¾t v¾y, gia su ton tai z0 ∈ K^ cho pm(z0) < ton tai lân c¾n V cna z0 tách han khoi K ton tai s0 > cho pm (z) ≤ −s0 < vói MQi z ∈ V CHQN hàm ϕ liên tuc cho ϕ|V = ϕ|K = Theo đ%nh lý Mergelyan ton tai đa thúc Q cho Q|V ≈ Q|K ≈ Do Q(z).pm(z) ≈ vói z ∈ K |Q(z0).pm(z0)| ≈ |pm(z0)| ≥ s0 > Khi |Q(z0).pm(z0)| >ǁ Q.pm ǁK hay z0 ∈/ tìm 2.2 K^ , mâu thuan vói gia su ban đau Vì v¾y m¾t b¾c hai can n {z ∈ C : pm(z) = sm, ≤ m ≤ k}sm∈R+ Xap xi đa thÉc Đ%nh lý 2.2 chi so chieu cna bao loi a thỳc cna mđt compact cna M (A) ∪ Rn ln b% ch¾n boi 2n − k Chú ý rang moi vành chinh hình chỳng minh %nh lý 2.1 nam mđt mắt b¾c hai o đ%nh lý 2.2 Trong phan hai đ%nh lý ve xap xi đeu đa thúc t¾p compact cna hop hai khơng gian thuan túy thnc Khi ma tr¾n A chi có m®t giá tr% riêng có dang ti, vói t > nghi¾m đơn cna phương trình đ¾c trưng, ta có ket qua sau: Đ%nh dang lý 2.3 Cho A l ma trắn thnc n ì n m đa thúc đ¾c trưng có p(λ) = (λ2 + t2)q(λ), t > q đa thúc b¾c n − khơng có nghi¾m dang ti, t ≥ Khi ton tai HQ m®t-tham so vành chsnh hình Cn có biên nam M (A) ∪ Rn cho MQI hàm f liên tnc M (A) ∪ Rn giái han đeu cua mđt dóy cỏc a thỳc trờn cỏc compact cua M (A) ∪ Rn neu chs neu f có the thác trien chsnh hình vào mői vành Chúng minh Ta có the gia.su ma tr¾n A có dang chuan Jordan Khi A= A1 L −t , vói A1 = Σ A t L có đa thúc đ¾c trưng q(λ) A nn−2 n2 n ký hiắu cỏc phộp2 chieu TQA đ lan lưot n T1 , Ta có C =T C C2Rvà T Khi ) = tuc M (A ) =vào M (M (A)∪ )∪ R T2n (A )∪ R Theo đ%nh lý 2.1, MQI hàm liên M (A)∪ R (Mchi(A)∪ phu R thu®c n− bien cuoi có the xap xi đeu t¾p compact cna M (A) ∪ Rn boi đa thúc Ta se chúng minh M (A1) ∪ R2.là hop cna goc cna biên vành chinh hình Xét r = HQ m®t-tham so t+1 t−1 Ω = {1 ≤ |λ| ≤ r} Đ¾t −1 G(λ) (i(λ− (λ ta +khơng λ−1λ)) =thì G(λ) vlà=ánh xa 1-1 vào C =tùvói G(λ) =λ(z, w) có (w−iz) Vói s vectơ ∈tùRC\{0} xét Fcna = Vói moi s),khác , 1vectơ (is,moi s) +,riêng s(λ) A1sG(λ) úng giá moi s khác không, anh cna Ω qua ánh xa Fs vành chinh hình C tr% Vói riêng it Su dung ký hi¾u đ%nh lý 2.1 ta có φv(λ) = sG(λ) có biên nam M (A1) ∪ R2 Ta có M (A1) ∪ R2 hop cna nhung biên vói goc g hàm liênvói tucmoi trêns,Mg (A R2tuc có the thác vào Neu moi vành ◦ 1F)s ∪ liên Ω vàtrien chinhchinh hìnhhình phan cna Ω Vì v¾y g◦F s giói han đeu cna đa thúc Neu s ƒ= 0, −1 (2s) (z2−1− izλ λ−1 (z2 1) = + =iz(2s) 1) nên moi biên g giói han đeu cna đa thúc vói bien z1, z2 Co đ%nh a > đ¾t L = [0, a] Ta ký hi¾u bΩ biên cna vành Ω đ¾t K = ∪s∈LFs(bΩ) Xét g hàm liên tuc K, chinh hình Fs(bΩ) nên g giói han đeu Fs(bΩ) cna đa thúc vói moi s ∈ L Ta se chúng minh g giói han đeu K cna đa thúc: Cho trưóc s > Vói moi s ∈ L ton tai đa thúc ps cho vói MQI λ ∈ bΩ, |ps(Fs(λ)) − g(Fs(λ)| < s tai huu hanvói đa thúcNp1t¾p , , pm vàvàcác L , , m phn choton Vì Kcácvà compact g t¾p ◦ Fsmo liênNtuc theoNbien s λ nên MQILslà∈các i ∩ L vói MQI λ ∈ bΩ |pi(Fs(λ)) − g(Fs(λ))| < s Xét {hi} m®t phân hoach đơn v% úng vói phn mo {Ni} Vói moi i, s ∈L vói moi λ ∈ bΩ, hi(s)|pi(Fs(λ)) − g(Fs(λ))| < s Vì Σhi = nên ta có |Σhi (s)pi (Fs (λ)) − g(Fs (λ)| < s, vói MQI s ∈ L λ ∈ bΩ √ Đ¾t ki(s) = s) hi(s) = ki(4s2) Neu z ∈ Fs(λ) z2 + z2 hi(1 = 2 4s Q(z1, z2) = Σki(z2 + z2)pi(z), Đ¾t ta có |Q(z) − g(z)| < s vói Weierstrass, MQI z ∈ K Theo đ%nh lý xap xi moi ki giói han đeu L cna đa thúc Vì v¾y g giói han đeu K cna đa thúc n s(Ω) ×{0}, s ∈ R+ hàm chinh hình đa vành chinh hìnhRF Xét Ecna Gia su trênmoi hàm liên thỏc trien túi mđt conf compact cnatuc Mtrờn (A) M ∪ (A) Rn.∪Neu S làcho t¾pf khơng đoi xúng P(E), −1 n−2 theo đ%nh lý 2.1 S nam T (ζ) vói ζtrên ∈M (A2R ∪làRhang Khi túc neu f ∈ P(E) f nh¾n giá tr% thnc Sζ f)n−2 n so S, ζ ƒ= 0, neu ζ ∈ M (A ) S ⊂ M (A), neu ∈ ⊂ R Trong ca hai trưòng hop f |S giói han đeu cna đa thúc Neu ζ = 0, vìSf thác trien chinh hình tói moi vành Fs (Ω) × {0} nên f |S giói han đeu cna đa thúc {pα} Theo chúng minh cna Bishop đ%nh lý StoneWeierstrass ta có f ∈ P(E) Neu k > vi¾c đưa cơng thúc cna hàm liên tuc M (A) ∪ Rn giói han đeu cna đa thúc rat khó Tuy nhiên, có the đưa ket qua thay the sau: Gia ma su n = 2k Trong trưòng hop này.dang chuan Jordan thnc cna , , ) vói > Ta có 2k Bj Bk = tr¾n A có khoi −tj L tj Σ (B1 L tj không gian thuan túy thnc cna Cn có dang E1 Ek, Ej R2 ho¾c M (Bj) Ký hi¾u X hop cna 2k không gian Đ%nh lý 2.4 Neu X xác đ%nh trên, ton tai HQ k-tham so đa vành chsnh hình Cn có biên nam X, có tính chat: hàm f liên tnc giái han đeu cua đa thúc t¾p compact cua X chs f thác trien tái m®t hàm chsnh hình mői đa vành Chúng minh Đ¾t r = tj +1 , Ω =1 λ r { ≤| |≤ tj−1 Vói moi s ∈ R+k , xét Fs : Ω → Cn: j j Ω = Ω } j × Ω ×j k Fs(λ1, , λk) = (s1G(λ1), , skG(λk)), G hàm xác đ%nh chúng minh đ%nh lý 2.3 Neu (λ1, , λk) ∈ bΩ Fs(λ1, , λk) ∈ X 2.3 Ví dn Sau õy l vớ du ve mđt cắp a tap thuan túy thnc Σ1 Σ2 cna C2 thoa mãn: a) Σ1 ∩ Σ2 = {0} b) Moi t¾p compact cna Σ1 ∪ Σ2 loi đa thúc c) T0(Σ1) ∩ T0(Σ2) = {0} d) T0(Σ T00(Σ (Σ12)) ∪ cóTt¾p compact mà bao loi đa thúc cna không 1) ∪ T chúa 0(Σ2) Chúng minh Neu a ∈ R, a ƒ= khơng gian Ma = {(z, az) : z ∈ C} thuan túy thnc Th¾t v¾y, taa )=có TJp,(M T iT z0 a= aζaJ)) = KhiM đóa ζXét = ζzJ 0= ∈0 p (M p (M a ) hay za0) =∩ Do v¾y Tp (M ) ∩(ζ, iTpaζ) (M =i(ζ {0} Đ¾t T (z, w) = ((z + w), i(z − w)) Xét (z, z) ∈ M1 ta có T (z, z) = ((z + z), i(z − z)) = (2x, −2y) vói z = x + iy, (x, y) ∈ R2 Do T (M1) = R2 Neu a ƒ= 1, xét (z, Ma, vói z = y +i 1−a x az) ∈ , (x, y) ∈ R2 Khi 1−a T (z, az) = ix − −a+1 1+a 1+a , + iyΣ ∈ M (A), a− a−1 Σ vói A = a+ a− a− Do v¾y T (Ma) = M (A) Theo đ%nh lý 2.1, M1 ∪ Ma có t¾p compact có t¾p compact khơng loi đa thúc chi giá tr% riêng cna A có mơđun lón 1, hay |λ| =a−| a+1 | > Đieu xay chi a > a ƒ= Đ¾t Σ1 = M2, Σ2 = {(z, z +4 i z|z|2 : |z| < 1)} Khi Σ2 đa tap thuan túy thnc cna {|z| < 1} Th¾t v¾y, ta chi can xét khơng gian tiep xúc tai điem goc đoi vói điem khác ta có the đưa ve điem nhũ i hắ TQA đ (z) = z, z + i z|z|2Σ , vàz = x + iy = x + iy, x − iy + Ta có ∂Φ ∂x = Vì ∂Φ ∂x (x − iy)(x2 + y2)Σ Σ y 2 3x + i Σ xy 1, +4 + ∂Φ x = i, 3y2 xy + −i i + ∂y ∂Φ , 0Σ ∂y i4 = {(1, 1), (i, −i)} so (Σ2 ) nên ta có (Σ2) = cna T0 T0 M1 Do v¾y Σ2 đa tap thuan túy thnc cna {|z| < 1} Ta chúng minh ánh xa R(z) = i4 z|z|2 thoa mãn đieu ki¾n Lipschitz vói z1, z2 ∈ {|z| < 1} Th¾t v¾y | )− R(z1 R(z2 )| = z1 = 2 | | − z1 | | + z1 | | − z2 | |2 z1 z2 z2 z2 z1(|z1 | − |z2|)(|z1| + |) + | | (z1 − z2) |z2 z2 | − |z2|| + |z1 − z2 |, 1 ,2||z ≤ ≤,2|z − z | + |z − z |,= |z − z | 2 Theo đ%nh lý 1.15 ta có moi t¾p compact cna Σ2 loi đa thúc có z) Σ1 =∩ z.z Σ2 = = {0} thúc F2(z, =chi z.w ∈ Σ1 i bang thì(ΣFTa (z, |z|2Ta≥xét 0, đa dau Vói(z, z = 0.z)Do F z|z| )xay ∈ w) Σra 1) = R+ ∪ {0} Vói u = (z, z + i i F (u) = zz + 4zz|z|2 = zz +4 |z|4 Vì ImF (u) = 0) 4|z| ≥ 0, dau bang4 chi xay z = hay u = (0, nên F (Σ2) ⊂ {Imλ > 0} ∪ {0} Ta có F (Σ1) ∩ F (Σ2) = {0} Hơn nua −1 F ∩ ∪ 0)} Theo bőt¾p Kallin, có MQI t¾p 1cna compact Σ ΣM ∩loi thúc Vì Tđe =chúng M2ta ,loiTminh (Σthúc )o=phan M1 2{(0, (Σ ) không 0đa nên (0) Tta0 (Σ )T∩ T10)Σ (Σ Mđa {(0, Theo có1(Σ ∪21)2 )T∪= (Σ M (Σ 0= )1= 12∪=M có 0)} Ket lu¾n Lu¾n văn trình bày thu đưoc: - Đieu ki¾n đe hop hai n− phang Rn M (A) có MQI t¾p compact đeu loi đa thúc A khơng có giá tr% riêng thuan ao có mơđun lón C2 giao chi taivígoc có hop c¾p t¾p thúc hopcna Lu¾n văn đãxúc đưa ducác ve mđt aloi tapacon thuan thnc khụng gian tiep tai có compact khơng loi túy đa thúc - Hưóng nghiên cúu có the phát trien tù lu¾n văn: Nghiên cúu tính loi đa thúc cna hop cna m¾t phang hình cau Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1] Nguyen Văn Khuê, Lê M¾u Hai, Hàm bien phúc, NXB Đai HQc Quoc gia 2009 Tieng Anh [1] Lars Hoărmander, An Introduction to complex analysis in several vari- ables, 3rd edn, North-Holland, Amsterdam 1990 [2] Edgar Lee Stout, Polynomial Convexity , Birkhaăuser 2007 [3] Walter Rudin, Real and complex analysis, 3rd edn Mc Graw-Hill Book Co., Singapore 1986 [4] Barnet M Weinstock, On the Polynomial Convexity of the Union of Two Maximal Totally Real Subspaces of Cn, Mathematlsche Annalen 282 (1988), 131-138 [5] Wermer, J., Banach algebras and severval complex variables, 2nd edn, Berlin Heidelberg New York: Springer 1976 ... loi compact rịi Cn hop cna chúng loi đa thúc chúng có the đưoc tách boi hàm tuyen tính M®t cách tőng qt, hop cna hai t¾p loi đa thúc Cn chưa chac t¾p loi đa thúc Ví du sau chi hop cna hai compact,... 1.5 Đai so đeu 1.6 Bő đe Kallin 13 1.7 Đa tap thuan túy thnc 18 1.8 Vành chinh hình 21 Tính loi đa thÉc cua hap hai n-phang thEc Cn 22 2.1 Tính loi đa thúc cna... ⊂ Cn, vái z = x + iy x, y ∈ Rn Khi u(x, y) v(x, y) hàm đa hàm đieu hòa Ω Đ%nh lý 1.3.Nguyên lý cEc đai Gia su u : D → R hàm đa đieu hịa, D ⊂ Cn Neu K t¾p compact cua D f |K đat giá tr% cnc đai