Luận văn thạc sĩ phương trình nghiệm nguyên

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Nguyen ĐÉc Linh PHƯƠNG TRÌNH NGHIfiM NGUYÊN LUẳN VN THAC S KHOA HOC H Nđi - 2013 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Nguyen ĐÉc Linh PHƯƠNG TRÌNH NGHIfiM NGUYÊN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cap Mã so: 60.46.40 LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: PGS TS Phan Huy Khai Mnc lnc Lài nói đau Phương trình vơ đ%nh b¼c nhat 1.1 Đ%nh nghĩa 1.2 Các tính chat cna phương trình vơ đ%nh b¾c nhat 4 1.3 Nghi¾m tőng quát cna phương trình ax + by + c = 1.4 Các t¾p áp dung Phương trình nghi¼m ngun láp đa thÉc 13 2.1 Phương pháp tách phan nguyên 13 2.2 Phương pháp phân tích thành tích 14 2.3 Phương pháp su dung đieu ki¾n có nghi¾m cna phương trình b¾c hai 20 2.4 Phương pháp đánh giá 24 2.5 Phương pháp lna cHQN môđulô 33 2.6 Phương pháp su dung đ%nh lý ban cna so HQc .37 2.7 Phương pháp lùi vô han 46 Phương trình vơ đ%nh siêu vi¼t 51 3.1 Phương pháp mođulơ 51 3.2 Su dung tính chat ban cna so HQc 55 Ket lu¼n 58 Tài li¼u tham khao 59 LèI NĨI ĐAU Phương trình nghi¾m nguyên đe tài hay lý thú so HQc đai so Chúng ta hay g¾p phương trình nghi¾m ngun kỳ thi HQ c sinh gioi cap huy¾n, tinh, quoc gia Trong sách tốn lóp có đưa phương trình nghi¾m ngun cách giai cịn Trên thnc te đe giai phương trình nghi¾m ngun khơng có cách giai tőng hop mà tùy thu®c vào tùng tốn mà có cách giai khác Thịi gian qua, nhị sn hưóng dan cna thay giáo Phan Huy Khai, tơi hồn thành ln văn vúi e ti Phng trỡnh nghiẳm nguyờn Luắn ny sn t¾p hop phương pháp dang phương trình khác cna phương trình nghi¾m ngun sưu tam tù nguon kien thúc khác Tơi mong muon lu¾n văn se giúp ớch mđt phan cho viắc tỡm hieu cna cỏc ban HQc sinh ve van đe nêu Lu¾n văn cna đưoc chia làm ba chương Chương Phương trình vơ đ%nh b¼c nhat Trong chương này, chúng tơi trình bày ve phương trình vơ đ%nh b¾c nhat: đ %nh nghĩa dang phương trình, m®t so tính chat cna phương trình vơ đinh b¾c nhat vói chúng minh nhung tính chat đó, cuoi bi ỏp dung Chng Phng trỡnh nghiẳm nguyờn láp đa thÉc Trong chương này, trình bày phương pháp đe giai phương trình nghi¾m nguyên: phương pháp tách phan nguyên, phương pháp phân tích thành tích, phương pháp su dung đieu ki¾n có nghi¾m cna phương trình b¾c hai, phương pháp đánh giá, phương pháp lna cHQN môđulô, phương pháp su dung tính chat ban cna so HQc, phương pháp lùi vơ han Chương Phương trình vơ đ%nh siêu vi¼t Trong chương này, chúng tơi nêu m®t so phương pháp giai phương trình vơ đ%nh siêu vi¾t phương pháp mơđulơ, phương pháp su dung tính chat ban cna so HQc Qua đây, xin đưoc gui lòi cam ơn sâu sac đen ngưòi thay, ngưịi hưóng dan lu¾n văn cna mình, PGS.TS Phan Huy Khai, ngưịi đưa đe tài t¾n tình hưóng dan suot q trình làm lu¾n văn cna tác gia Tôi xin cam ơn thay cô khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, đ¾c bi¾t thay b® mơn Giai tích truyen đat cho nhieu kien thúc quý báu Cuoi tơi xin cam ơn thành viên lóp cao HQc chun ngành Phương pháp tốn sơ cap khóa 2009-2011 ln đ®ng viên, giúp đõ tơi q trình hồn thành lu¾n văn Do thịi gian trình đ cũn han che, chac chan ban luắn khụng the tránh khoi nhung thieu sót, tác gia rat mong nh¾n đưoc sn chi bao t¾n tình cna thay cô ban, tác gia xin chân thành cam ơn! Bac Ninh, tháng năm 2013 HQc viên Nguyen ĐÉc Linh Chương Phương trình vơ đ%nh b¾c nhat 1.1 Đ%nh nghĩa Phương trình vơ đ%nh b¾c nhat nghi¾m nguyên có dang ax + by + c = 0, ú x, y l cỏc an thuđc so nguyên, a, b c so nguyên 1.2 (1) Các tính chat cua phương trình vơ đ%nh b¾c nhat Tính chat 1: Phương trình (1) có nhat mđt nghiắm nguyờn v chs c (a, b) (túc ưác chung lán nhat cua a, b ưác cua c) Chúng Gia phương + by + c = cú ớt nhat mđt nghiắm nguyờn,minh tỳc l1)ton taisuc¾p (x , ytrình ) saoaxcho 0 ax0 + by0 + c = (*) Gia su (a, b) = d ⇒ a = da1, b = db1 (a1, b1 ∈ Z) Tù (*) ta có da1x0 + db1y0 + c = hay d(a1x0 + b1y0) + c = (**) c (a, b) Vì a 1x + b y1 ∈ Z nên tù (**) có đưoc c d hay , ∈ Z cho 2) Ngưoc lai gia su c (a, b) Ký hi¾u d = (a, b) ⇒ ton tai a1 b1 vói c1 Vì c d nên c = dc1 aa1 + bb1 = d ∈ Z Tù (***) ta có (***) −c1aa1 − c1bb1 = −c1d ⇒ a(−c1a1) + b(−c1b1) + dc1 = ⇒ a(−c1a1) + b(−c1b1) + c = Tù suy có mđt cắp 1a1, c 1b1) l nghiắm cna phng trỡnh (1) Tù đó, ta có đieu phai chúng (−c minh chat 2: Cho a, b,trên c nguyên dương Xét phương ax−by = c KhiTính neu phương trình có nghi¾m ngun, trình dang: có nghi¾m ngun dương Chúng minh Đưa phương trình ve dang: ax + (−b)y + (−c) = Sau áp dung tính chat 1, ta có đieu phai chúng minh Tính chat 3: i) ii) Cho a, b nguyên dương (a, b) = Khi đó, phương trình ax + by = ab khơng có nghi¾m ngun dương Cho phương trình ax − by = c, a, b, c nguyên dương, (a, b) = c > ab Khi phương trình cho có nghi¾m ngun dương dương Khi su phương đó, trình cótanghi¾m có 0, 0) Chúng minh i)(xGia thiet yngưoc lai: Gia nguyên ax0 + by0 = ab ⇒ by0 = a(b − x0) (1) Tù (1) suy by0 a Do (a, b) = ⇒ y0 a túc y0 = at0 vói t0 nguyên dương suy x0 = bk0 vói k0 ngun dương Thay (x0, y0) vào phươngLàm trìnhtương (1) ta tnđưoc: abk0 + abt0 = ab ⇒ k0 + t0 = (2) Vì k0, t0 nguyên dương nên k0 + t0 ≥ (3) Tù (2) (3) suy mâu thuan V¾y phương trình cho khơng có nghi¾m ngun dương (ii) Vì (a, b) = 1, theo tính chat suy phương trình ax − by = c (4) có nghi¾m ngun Do v¾y theo tính chat suy (4) có nghi¾m ngun dương, túc ton tai c¾p nguyên dương u0, v0 thoa mãn au0 − bv0 = c > ab Chia hai ve cho ab, ta có: u0 − v0 > (5) (6) b a Tù (6) suy ton tai t0 thoa mãn đieu ki¾n u0 v0 < (7) < t0 b a Đ¾t x0 = u0 −bt0, y0 = −v0 +at0 Khi x0, y0 nguyên u0, v0, a, b, t0 nguyên Tù (7) có khang đ%nh x0 > 0, y0 > M¾t khác, ta có ax0 + by0 = a(u0 − bt0) + b(at0 − v0) = au0 − bv0 = c Vì v¾y (x0, y0) nghi¾m ngun dương cna phương trình ax + by = c 1.3 Nghi¾m tong quát cua phương trình ax+by + c=0 Gia su (x0, y0) mđt nghiắm nguyờn cna phng trỡnh Khi ú ta cú: ax0 + by0 + c = (1) Xét c¾p so nguyên (x0 + bt, y0 − at), ta có a(x0 + bt) + b(y0 − at) + c = ax0 + by0 + c = (theo (1)) Tù suy (x0 + bt, y0 − at) nghi¾m cna phương trình ax + by + c = vói MQI t ∈ Z Bây giị ta chúng minh MQI nghi¾m ngun cna phương trình đeu có dang x = x0 + bt  = y − at Đ¾t x = x0 + α, y = y0 + β Khiyđó (x0, y0) 0và (x, y) c¾p so nguyên nên α, β so nguyên Vì (x, y) nghi¾m cna ax + by + c = nên ⇒ a(x0 + α) + b(y0 + β) + c = ⇒ (ax0 + by0 + c) + aα + bβ = Vì (x0, y0) nghi¾m cna ax + by + c = nên ax0 + by0 + c = V¾y suy đưoc: aα + bβ = (2) Tù (2) suy bβ a ⇒ β a, túc β = at1 (vói t ∈ Z) Tương tn, ta có α b, túc α = bt2 (vói t2 ∈ Z) Ket hop vói (2) suy ra: abt2 + abt1 = ⇒ ab(t1 + t2) = Do ab ƒ= ⇒ t1 + t2 = ⇒ t1 = −t2 Thay vào trên, ta có  x = x0 + bt y = y − at (t ∈ Z) (3) Bài 2.35 Tìm nghi¾m ngun khơng âm cna phương trình: x2 + y2 + z2 + t2 = x2y2z2 Lài giai GQI P t¾p hop nghi¾m khơng âm cna phương trình x + y + z + t2 = x y z (1) Rõ ràng P ƒ= ∅ tùy ítý nhat (0, 0, P GQI (x0 , y0 , z0 , t0 ) m®t nghi¾m ngun ≥0 cna (1), khi0,đó0)ta∈có: x2 + y2 + z2 + t2 = x2 y z 0 0 0 • Neu x0, y0, z0 so le, x2 ≡ 10 (mod 4), y2 (2) ≡ (mod 4), z02 ≡ (mod 4) Vì the 0x20y20z ≡ (mod 4) M¾t khác do0 t2 ≡ (mod 4) ho¾c t20 ≡ (mod 4), có the ho¾c x02 + y02 + z02 + t02 ≡ (mod 4), ho¾c x20 + y02 + z02 + 0t2 ≡ (mod 4) Trưòng hop dan đen vơ lý, v¾y khơng the xay trưịng hop • Neu hai ba so x0, y0, z0 so le (chang han x0, y0) Khi 2 z chan, nên z2 4, tù x2 y20z 20 ≡0 (mod 4) Lai có x2 + y 0+ z 0+ t ≡ (mod 4) ho¾c x02 + y02 + 0z2 + 0t2 ≡ (mod 4) V¾y trưịng hop khơng the xay ve trái cna (2) không chia het cho ve phai chia het cho ã Neu mđt ba so x0, y0, z0 le (gia su x0) Khi y0, z0 chan, suy 2 2 x20y20z20 M¾t khác x20 + y02 + 0z2 ≡ (mod 4), nên ho¾c x 0+ y + z + t ≡1 (mod 4), ho¾c 0x2 +0y2 +0 z2 + t ≡ (mod 4) L¾p lu¾n suy trưịng hop khơng the xay Tù suy x0, y0, z0 phai chan Đ¾t x0 = 2x1, y0 = 2y1, z0 = 2z1 Thay vào (2) có: 4x2 + 4y2 + 4z2 + t2 = 64x2y2z2 1 1 1 Tù (3) suy t2 ⇒ t0 (3) ⇒ t0 Thay lai vào (3), ta đen: = 2t1 x2 + y2 + z2 + t2 = 16x2y2z2 1 1 1 Vì ve phai cna (4) chia het suy ra: (x21+ y21 + z12 + t12) (4) Ta biet8) rang a2 ≡8) (mod 8),soho¾c a2 ≡ (mod ho¾c ≡ (mod aa2∈≡Z1thì (mod ⇔ a le Ta chúng minh8), rang caabon so x1, y1, z1, t1 đeu so chan Th¾t v¾y: - Neu x1, y1, z1, t1 le x2 + y2 + z2 + ≡ (mod 8), đieu t2 1 1 vơ lý - Neu có ba so so x1, y1, z1, t1 le (thì neu chang han x1, y1, z1 2 2 le), ta có x2 + y + z ≡ (mod 8) Vì v¾y x +1 y +1 z ≡ (mod 4), ho¾c x21 + y21 + z12 ≡ (mod 8), đieu vô lý bon sotn,x1cũng , y1, zkhơng 1, t1 le Vì the x1 = 2x2, y1 = 2y2, z1 = 2z2, t1 = 2t2 Thay - Tương the có hai so x1, y1, z1, t1 hoắc mđt vo (4) đen: 22y22z2 4x2 2+ 4y22 + 4z22 + 4t22 = 16 · 64x 2 2 2 ⇒ x2 + y2 + z2 + t2 = 16x2y2z2 (5) L¾p lu¾n lai dan đen x2, y2, z2, t2 so chan Quá trình cú tiep tuc vơ han lan Như v¾y chúng minh đưoc neu (x0, y0, z0, t0) m®t nghi¾m x0 y0 z0 t0 tùy ý cna (1), , , , so nguyên vói MQI k = 1, 2, Đieu k k k k 2 2 chúng to rang x0 = y0 = z0 = t0 = V¾y phương trình cho có nghi¾m khơng âm nhat (0, 0, 0, 0) Bài 2.36 Chúng minh rang phương trình sau khơng có nghi¾m ngun dương: 8x4 + 4y4 + 2z4 = t4 Lài giai Gia thiet phan chúng phương trình 8x4 + 4y4 + 2z4 = t4 (1) có nghi¾m ngun dương lý Ta cnccóhan GQI (x0 , y0 , z0 , t0 ) nghi¾m dương cna (1), trongTheo x nguyên bé nhat 8x4 + 4y4 + 2z4 = t4 0 (2) Tù (2) suy t0 so chan, nên t0 = 2t1 Thay lai vào (2) có: 0 0 8x + 4y + 2z = 16t ⇒ 4x + 2y + z = 8t4 4 4 4 (3) Tù (3) lai suy z0 chan, nên z0 = 2z1 Tù ta có: 0 1 0 1 4x4 + 2y4 + 16z4 = 8t4 ⇒ 2x4 + y4 + 8z4 = 4t4 Bây giò đen lưot y0 chan, nên y0 = 2y1 Sau thay vào (4) có: x4 + 8y4 + 4z4 = 2t4 1 (4) (5) Sau het nhò có (5), mà ta có x0 = 2x1 có: 8x4 + 4y4 + 2z4 = t4 1 (6) rang (x1 , y1 , z1 , t1 ) cng l mđt nghiắm dng cna (1).ang Tuy thỳc nhiên(6)dochúng x =to2x nên x1 < x0 Đieu mâu thuan vói cách cHQN nghi¾m (x0 , y0 , z00, t0 ) V¾y gia thiet phan chúng sai, túc (1) khơng có nghi¾m ngun dương Bài 2.37 Chúng minh rang phương trình: x2 + y2 = 3z2 khơng có nghi¾m ngun dương Lài giai Xét phương trình: x2 + y2 = 3z2 (1) gia su trái lai (1) có nghi¾m ngun dương (x0, y0, z0) Xét hai kha sau: 1) Neu x0 y0 Khi đ¾t x0 = 3x1 , y0 = (x1 , ) nguyên y1 3y1 dương có: 2 ⇒ 3x +13y2 9x12 + 9y = z2 = 3z Tù (2) suy z0 lai đen: (2) (khi z1 nguyên dương), tù (2) 3, lai đ¾t z0 = 3z1 x + y12 = 3z12 (3) Q trình cịn l¾p lai neu x y Vì the đen m®t lúc ta có x2 + y2 = 3z2, k k k o xk yk khơng đong thịi chia het cho Khi chuyen sang kha sau: 2) Neu x0 y0 khơng đong thịi chia het cho Đ¾t: x0 = 3x + r  3ynhưng + r r, r1 khơng đong thịi bang (do o r, r1 thuđc vo hop {0,y1,= 2}, x0, y0 khụng đong thịi chia het cho 3) Tù ta có: , r )2 x2 + y2 = (3x +0 r)2 + (3y + 0 = 9x2 + 6xr + r2 + 9y2 + 6yr1 + r2 1 = 23(3x2 + 3y2 + 2xr + 2yr1) + r2 + r2 Tù (4) x 0+ y 0= 3z 0, suy ra: 2 (4) (r2 + r2) Do r, r1 thuđc vo {0, 1, 2} r, r1 khơng đong thịi bang 0, nên tat ca kha cna tőng r2 + r2 chi có the là: 02 + 12 = 12 + 02 = 1, 02 + 22 = 22 + 02 = 4, 12 + 12 = 2, 12 + 22 = 22 + 12 = 5, 22 + 22 = 1,đen 2, 4, 5, vô đeu 2) taDo dan đieu lý không chia het cho Vì the neu xay trưịng hop M¾t khác neu xay trưịng hop 1), sau m®t so huu han bưóc quy ve trưịng hop Do v¾y ta ln g¾p mâu thuan Đieu chúng to gia thiet phan chúng sai, túc phương trình cho khơng có nghi¾m ngun dương Chương Phương trình vơ đ%nh siêu vi¾t Đe giai tốn dang này, thưòng nghĩ đen phương pháp sau 3.1 Phương pháp mođulơ Bài 3.1 Tìm nghi¾m nguyên dương cna phương trình: 3x + 4y = 5z x Lài giai.3xDo≡40≡(mod (mod 3) vói x nguyên Rõ ràng 3),z 3), nênnên 3x 4+ ≡ 4y1≡(mod (mod 3).MQI M¾t khác dương ≡ −1 z (mod 3), ≡ (−1) (mod 3) Vì the neu (x, y, z) l mđt nghiắm thỡ 3x + 4y = 5z Tù l¾p lu¾n đe 5z ≡ (mod 3) z Đ¾t z = 2w Khi 3x + 22y = 52w ⇔ 3x = (5w − 2y)(5w + 2y) Vì 5w − 2y + 5w + 2y = · 5w không chia het suy 5w − 2y 5w + 2y khơng đong thịi chia het cho M¾t khác 5w + 2y > 5w − 2y, v¾y có h¾ 5w − 2y =  w y (∗) x + Do ≡ (−1) (mod 3), ≡ (−1) (mod 3) nên tù (*) (**) thay: w w y y  y (−1)w + (−1) (mod 3) (∗ ∗ ∗) 2= ∗≡(∗∗)  (−1)w − (−1)y ≡ (mod 3) (∗ ∗ ∗∗) Tù (***) (****) đen w le, y chan Vì y chan nên trưịng hop sau có the xay ra: 1) y > y chan ⇒ y2 ⇒ 2y Chú ý rang 3x ≡ 1, (mod 8) Vì the suy 5w ≡ 3x (mod 8) 5w ≡ (mod 8) V¾y 5w ≡ (mod 8) (*****) Vì w le nên w = 2k + 1.2kThe mà k · = (5 ) · ≡ −3(******) Tù (*****) và(mod 8) (******) suy mâu thuan 2) y = Khi 5w =V¾y +y2>y = (loai) ⇒ w = Thay vào tính đưoc x = V¾y nghi¾m phai tìm (2, 2, 2) thoa mãn phương trình: 3x + 4y = 5z Bài 3.2 Tìm nghi¾m ngun cna phương trình: 2x + 65 = y2 Lài giai De thay ≥ nguyên neuchan x 0, x nguyên x ≥3) nên Gia31 su2xphương trình 3); cho có ≡ t¾p nghi¾m (x,xy) 31 ≡ 1hay (mod ≡ (mod 2005 2x 2x (mod 3) nên 2005 ≡2x (mod 2x 3); 12 ≡ (mod 3) (khi x ≥ 2x 1, x ∈ Z) V¾y V T = 31 + 12 + 2005 ≡ (mod 3) Tù suy y ≡ (mod 3) Ta biet neu a ∈ Z a2 ≡ 0, (mod 3) V¾y phương trình cho vơ nghi¾m Bài 3.4 Tìm tat ca so nguyên to thoa mãn: xy + = z (1) y Lài giai đe to x, y nguyên to nên ≥ Do 2, yđó≥ket Vì 1≥ Do z làTheo so ngun Vói z ≥ suy z xle hopv¾y vói x(1)+suy xy so chan Khi x = so nguyên to chan nhat có hai kha sau: 1) yl: 2y + = (3 + 1)(2y−1 − 2y−2 + · · · + 1) Tù suy z mà z ≥ V¾y khơng có z ngun to y nguyên to nên suy y = Khi 2y + = 22 + = 52)⇒Neu z =y5chan, (thoavìmãn) V¾y nghi¾m cna tốn (2, 2, 5) Bài 3.5 Tìm nghi¾m ngun cna phương trình: 3x + 3y = 6z Lài giai Xét phương trình: 3x + y = z Vói kha sau: (1) 1) x = y (1) tro thành: x z 2·3=6 ⇔ 3x−z = 2z−1 (2) Do x, y, z nguyên thoa mãn đưoc (2) thì: x−z = z−1 = V¾y x = y = z = 1⇒ nghi¾m cna phương trình (1, 1, 1) 2) Neu x = z Khi (1) tro thành: 3x + 3y = 6x ⇔ + 3y−x = 2x x ⇔2 −3 = (3) Neu y < x ve trái cna (3) khơng ngun Tương tn thỡ x Vắy phng trỡnh (3) cho ãx = ⇔x = y − x = y = ⇒ nghi¾m (1, 1, 1) •x = ⇔x = y − x = y = ⇒ nghi¾m (2, 3, 2) 3) Neu x > z Khi xét hai kha sau: a) Neu y > z Khi viet (1) thành: 3x−z + 3y−z = 2z Vì x > z, y > z nên ve trái chia het cho Nhưng ve phai không chia het cho (loai) b) Neu y < z Khi x > z > y, phương trình (1) thành: 3x−y + = 2z · 3z−y Vì > y, znày) > y nên ve trái không chia het cho 3, ve phai chia het cho (loai khaxnăng 4) Neu x < z Khi lai có kha năng: a) Neu y < x ⇒ y < x < z nên viet (1) thành: 3x−y + = 2z · 3z−y Ta thay x > y, z > y nên ve trái không chia het cho 3, ve phai chia het cho (loai trưòng hop này) b) Neu y > x Khi : - Neu x = y ho¾c x = z (đã xét) - Neu y < z x < y < z, viet (1) thành: + 3y−x = 2z · 3z−x Vì < y z > x nên ve trái không chia het cho 3, ve phai chia het cho (loai khaxnăng này) V¾y nghi¾m y,(1, 1, 1) (2, 2) - Neu y > z phai x tìm 105 V¾y suy y ≤ • Neu y = −6 ⇒ (5 · (−6) + 1)(−6 + 1) > 105 V¾y y = Đáp so (x, y) = (0, 4) Bài 3.7 Tìm nghi¾m ngun cna phương trình: x9 + y9 + z9 = 20092012 Lài giai.9)Ta có anh¾n xét: “Vói MQI a ∈ Z a3 ≡ (mod 9) ho¾c a3 ≡ 3≡ −1 (mod 9) Thắt vắy: (mod hoắc ã Neu a ⇒ a • Neu a chia dư a−1 a2+a+1 nên a3−1 = (a−1) (a2+a+1) • Neu a chia cho dư a + a2 − a + đeu chia het cho Do v¾y a3 + = (a + 1)(a2 − a + 1) V¾y viet lai phương trình cho dưói dang: (x3)3 + (y3)3 + (z3)3 = 20092012 Áp M¾tdung khácnh¾n xét ve trái se đong dư vói 0, ±1, ±2, ±3 theo mođulô 20092012 ≡ 22012 ≡ 26·335+2 ≡ 22 ≡ (mod 9) V¾y phương trình cho khơng có nghi¾m ngun Bài 3.8 Tìm nghi¾m ngun khơng âm cna phương trình: 5x · 7y + = 3z Lài giai Xét phương trình: 5x · 7y + = z De thay tù phương trình (1) suy ra: 3z > ⇒ z ≥ Xét kha sau: (1) y 1) Neu x= thìTù tù (1) suy = 3z ve Rõphai ràng 7y ≡ (mod 3), ≡ (mod 3) suy rara7ve+trái khác lay1 so dư theo mođulô (loai kha này) 2) Neu x ≥ 1, tù (1) ta có: 3x ≡ (mod 5), suy z = 4k + (k ≥ 0, k ∈ Z) Thay lai vào (1) có: 5x · 7y = 34k+2 − ⇔ 5x · 7y = (32k+1 − 2)(32k+1 + 2) 2k+1 2k+1 2k+1 Ta thay (3(3 ++ 2)2, − 3(3 Nhưng (32k+1 + 2) 2k+1 2k+1 đeu le nên −−2)2)=.y 1⇒ nên m®t hai so (3 phai là− 5x2) (*) Lai xét kha sau: 1) k = 0, ta có: x · y + = Tù x, y ≥ nên x = 1, y = V¾y nghi¾m (x, y, z) = (1, 0, 2) 2k+1 2k+1 k >xét 0, túc 25 Khivà đó73 + (vói >x 25, ≥ ket 25.lu¾n Ket y hop2)vóiNeu nh¾n thìk 5≥x ≥ ≥ 25 ≥ 2,3 y ≥ − 2).2Tù (*) ta có: 5x − 7y = ±[(32k+1 + 2) − (32k+1 − 2)] = ±4 Vì v¾y có 7y ≡ (mod 25) (**) M¾t khác hien nhiên: 71 ≡ (mod 25), 73 ≡ −7 (mod 74 25) ≡ ho¾c (mod 75 (mod ≡ (mod 25) V¾y vói MQI25), y ≥70 ≡ thì−1 7y (mod ≡ ±725), (mod 7y25), ≡ ±1 25) (***) Tù (**) (***) dan đen mâu thuan V¾y phương trình có nghi¾m (x, y, z) = (1, 0, 2) Bài 3.9 Tìm nghi¾m ngun dương cna phương trình: 5x + · 5y + 5z = 4500, vói x < y < z Lài giai Xét phương trình: 5x + · 5y + 5z = 4500 (1) Tù (1) suy 5z < 4500 < 56 ⇒ z < Do theo đe nên ≤ z < 6, x < y < z nên z ∈ {3, 4, 5} M¾t khác ta có: 5x + · 5y + 5z ≤ 53 + · 54 + 55 = 4500 Dau bang xay x = 3, y = 4, z = V¾y neu x < y < z phương trình (1) có nghi¾m nhat (x, y, z) = (3, 4, 5) KET LU¾N Lu¾n văn trình bày đưoc van e sau õy ve phng trỡnh nghiắm nguyờn: ã Phng trỡnh vụ %nh bắc nhat ã Phng trỡnh vụ %nh siờu viắt Chỳng tụi cng a mđt so phương pháp giai phương trình nghi¾m ngun lóp đa thúc Đó là: • Phương pháp tách phan ngun • Phương pháp phân tích thành tích • Phương pháp su dung đieu ki¾n có nghi¾m cna phương trình b¾c hai • Phương pháp đánh giá • Phương pháp lna cHQN mơđulơ • Phương pháp su dung tính chat ban cna so HQc • Phương pháp lùi vơ han Do khuụn kh cna mđt luắn cho nờn ban luắn ny cha phai l mđt tng ket đay đn ve phương pháp giai phương trình nghi¾m ngun, song cung cap cho m®t tài li¾u tương đoi đay đn ve phương pháp giai phương trình nghi¾m ngun TÀI LIfiU THAM KHAO Vũ Huu Bình (2004), Nâng cao phát trien đai so 6, 7, 8, Nhà xuat ban Giáo Duc Hà Huy Khoái (2004), So HQc, Nhà xuat ban Giáo Duc Phan Huy Khai (2009), Chuyên đe 5: Phương trình nghi¾m ngun, Nhà xuat ban Giáo Duc Nguyen Vũ Lương (chn biên), Nguyen Lưu Sơn tác gia khác (2009), Bài giang ve so HQc, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc Gia Hà N®i Nguyen Văn M¾u (chn biên) (2004), Tuyen t¾p đe thi, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc Gia Hà N®i Nguyen Văn M¾u (chn biên), Tran Nam Dũng tác gia khác (2008), M®t so van đe so HQc CHQN LQc, Nhà xuat ban Giáo Duc ... nghi¾m nguyên: phương pháp tách phan nguyên, phương pháp phân tích thành tích, phương pháp su dung đieu ki¾n có nghi¾m cna phương trình b¾c hai, phương pháp đánh giá, phương pháp lna cHQN môđulô, phương. .. van đe nêu Lu¾n văn cna đưoc chia làm ba chương Chương Phương trình vơ đ%nh b¼c nhat Trong chương này, chúng tơi trình bày ve phương trình vơ đ%nh b¾c nhat: đ %nh nghĩa dang phương trình, m®t so... Linh PHƯƠNG TRÌNH NGHIfiM NGUYÊN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cap Mã so: 60.46.40 LU¼N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: PGS TS Phan Huy Khai Mnc lnc Lài nói đau Phương trình